附录E A律的推导

现在，由式 (10.4-16) 推导出式 (10.4-17) 中的 A 律。

式 (10.4-16) 中的理想对数压缩特性曲线如图 E-1 所示。由此图可见，A 律曲线

没有通过坐标原点。当 x=0 时， \(y=-\infty\) 。而我们要求的物理可实现特性是当输入电压 x=0 时，输出电压 y=0。所以，需要对此理想特性作适当修正。

A 律的修正方法是对此曲线作一条通过原点的切线 Ob，以这段直线 Ob 和曲线段 bc 作为压缩特性。这样，就需要用两个方程式来描述这两段曲线。由于直线 Ob 通过原点，所以若能找到它的斜率，就可以写出它的方程式。设切点的坐标为 \((x_{1},y_{1})\) ，则由式 (10.4-16) 可以求出此斜率为

\[ \left. \frac {\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right| _ {x = x _ {1}} = \frac {1}{k} \frac {1}{x _ {1}} \]

故此直线 \(Ob\) 的方程为

\[ y = \frac {1}{k x _ {1}} x \]

(附 E - 1)

但是，式 (附 E-1) 中的切点横坐标值 \(x_{1}\) 还是未知数。由式 (附 E-1) 可知，当 \(x = x_{1}\) 时， \(y_{1} = 1/k\) 。将此值代入式 (10.4-16)，得到

\[ \frac {1}{k} = 1 + \frac {1}{k} \ln x _ {1} \]

所以有

\[ x _ {1} = \mathrm{e} ^ {1 - k} \]

这样，我们就求出了切点坐标为 \(\left(\mathrm{e}^{1-k},1/k\right)\) 。

若将此切点横坐标 \(x_{1}\) 记为 1/A，即令

\[ x _ {1} = \mathrm{e} ^ {1 - k} = \frac {1}{A} \tag {附E-2} \]

则有

\[ k = 1 + \ln A \quad (\text {附} E - 3) \]

将此 k 值代入式 (附 E-1)，就得到直线段 Ob 的表示式为

\[ y = \frac {A x}{1 + \ln A}, \qquad 0 < x \leqslant \frac {1}{A} \tag {附E-4} \]

将式 (附 E-3) 的 k 值代入式 (10.4-17)，就能得到 bc 段的表示式：

\[ y = 1 + \frac {1}{1 + \ln A} \mathrm{ln} x = \frac {1 + \ln A x}{1 + \ln A}, \qquad \frac {1}{A} \leqslant x \leqslant 1 \tag {附E-5} \]

式 (附 E-4) 和式 (附 E-5) 就是式 (10.4-17) 给出的 A 律。

附录 E A 律的推导