第2章 确知信号

2.1 确知信号的类型

信号在数学上可以用一个时间函数表示。确知信号 (deterministic signal) 是指其取值在任何时间都是确定的和可预知的信号，通常可以用数学公式表示它在任何时间的取值。例如，振幅、频率和相位都是确定的一段正弦波，它就是一个确知信号。按照是否具有周期重复性，确知信号可以分为周期信号 (periodic signal) 和非周期信号 (nonperiodic signal)。在数学上，若信号 \(s(t)\) 满足下述条件:

\[ s (t) = s \left(t + T _ {0}\right) - \infty < t < \infty \tag {2.1-1} \]

式中 \(T_{0} > 0\) ，为一常数，则称此信号为周期信号，否则为非周期信号，并将满足式 (2.1-1) 的最小 \(T_{0}\) 称为此信号的周期，将 \(1 / T_{0}\) 称为基频 \(f_{0}\) 。一个无限长的正弦波，例如， \(s(t) = 8\sin (5t + 1), - \infty < t < \infty\) ，就属于周期信号，其周期 \(T_{0} = 2\pi /5\) 。一个矩形脉冲就是非周期信号。

按照能量是否有限区分，信号可以分为能量信号 (energy signal) 和功率信号 (power signal) 两类。在通信理论中，通常把信号功率定义为电流在单位电阻 (1Ω) 上消耗的功率，即归一化 (normalized) 功率 P。因此，功率就等于电流或电压的平方:

\[ P = V ^ {2} / R = I ^ {2} R = V ^ {2} = I ^ {2} \quad (\mathrm{W}) \tag {2.1-2} \]

式中：V 为电压 (V)；I 为电流 (A)。

可以认为，信号电流 I 或电压 V 的平方都等于功率。后面我们一般化为用 S 代表信号的电流或电压来计算信号功率。若信号电压和电流的值随时间变化，则 S 可以改写为时间 t 的函数 \(s(t)\) 。故 \(s(t)\) 代表信号电压或电流的时间波形。这时，信号能量 E 应当是信号瞬时功率的积分:

\[ E = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s ^ {2} (t) \mathrm{d} t \tag {2.1-3} \]

其中，E 的单位是焦耳 (J)。

若信号的能量是一个正的有限值，即

\[ 0 < E = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s ^ {2} (t) \mathrm{d} t < \infty \tag {2.1-4} \]

则称此信号为能量信号。例如，第 1 章中提到的数字信号的一个码元就是一个能量信号。现在，我们将信号的平均功率定义为

\[ P = \lim _ {T \rightarrow \infty} \frac {1}{T} \int_ {- T / 2} ^ {T / 2} s ^ {2} (t) \mathrm{d} t \tag {2.1-5} \]

由式 (2.1-5) 看出，能量信号的平均功率 P=0, 因为式 (2.1-5) 表示若信号的能量有限，则在被趋于无穷大的时间 T 去除后，所得平均功率趋近于零。

在实际的通信系统中，信号都具有有限的功率、有限的持续时间，因而具有有限的能量。但是，若信号的持续时间非常长，如广播信号，则可以近似认为它具有无限长的持续时间。此时，认为由式 (2.1-5) 定义的信号平均功率是一个有限的正值，但是其能量近似等于无穷大。我们把这种信号称为功率信号。

上面的分析表明，信号可以分成两类:①能量信号，其能量等于一个有限正值，但平均功率为零；②功率信号，其平均功率等于一个有限正值，但能量为无穷大。顺便提醒，能量信号和功率信号的分类对于非确知信号也适用。

2.2 确知信号的频域性质

确知信号在频域 (frequency domain) 中的性质，即频率特性，由其各个频率分量的分布表示。它是信号的最重要的性质之一，和信号的占用频带宽度以及信号的抗噪声能力有密切关系。信号的频率特性有 4 种，即功率信号的频谱、能量信号的频谱密度、能量信号的能量谱密度和功率信号的功率谱密度。下面将分别对其讨论。

2.2.1 功率信号的频谱

对于周期性的功率信号，我们很容易计算其频谱。设一个周期性功率信号 \(s(t)\) 的周期为 \(T_{0}\) ，则将其频谱 (frequency spectrum) 函数定义为下式积分变换：

\[ C _ {n} = C \left(n f _ {0}\right) = \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} s (t) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} t} \mathrm{d} t \tag {2.2-1} \]

式中： \(f_{0}=1/T_{0}\) ; n 为整数， \(-\infty<n<+\infty\) ; \(C(nf_{0})\) 表示 C 是 \(nf_{0}\) 的函数，并简记为 \(C_{n}\) 。

由傅里叶级数 (Fourier series) 理论可知，式 (2.2-1) 就是周期性函数展开成傅里叶级数的系数，即周期性信号可以展开成如下的傅里叶级数:

\[ s (t) = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} C _ {n} \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi n t / T _ {0}} \tag {2.2-2} \]

在数学上能将周期性函数展开成傅里叶级数的狄利克雷 (Dirichlet) 条件，一般信号都是能满足的。

当 n=0 时，式 (2.2-1) 变成

第 2 章 确知信号

\[ C _ {0} = \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} s (t) \mathrm{d} t \tag {2.2-3} \]

它是信号 \(s(t)\) 的时间平均值，即直流分量。

一般说来，式 (2.2-1) 中频谱函数 \(C_{n}\) 是一个复数，代表在频率 \(nf_{0}\) 上信号分量的复振幅 (complex amplitude)。我们可以把它写作:

\[ C _ {n} = \mid C _ {n} \mid \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} \theta_ {n}} \tag {2.2-4} \]

式中： \(|C_{n}|\) 为频率 \(nf_{0}\) 的信号分量的振幅； \(\theta_{n}\) 为频率 \(nf_{0}\) 的信号分量的相位。

式 (2.2-4) 表示，对于周期性功率信号来说，其频谱函数 \(C_{n}\) 是离散的，只在 \(f_{0}\) 的整数倍上取值。由于 n 可以取负值，所以在负频率上 \(C_{n}\) 也有值。通常称 \(C_{n}\) 为双边 (频) 谱。双边谱中的负频谱仅在数学上有意义；在物理上，并不存在负频率。但是我们可以找到物理上实信号的频谱和数学上的频谱函数之间的关系。下面就来分析两者的关系。

对于物理可实现的实信号，由式 \((2.2-1)\) 有

\[ C _ {- n} = \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} s (t) \mathrm{e} ^ {+ \mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} t} \mathrm{d} t = \left[ \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} s (t) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} t} \mathrm{d} t \right] ^ {*} = C _ {n} ^ {*} \tag {2.2-5} \]

即频谱函数的正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系。这就是说，负频谱和正频谱的模是偶对称的，相位是奇对称的，如图 2-1 所示。

将式 \((2.2-5)\) 代入式 \((2.2-2)\) ，并利用欧拉公式，得到

\[ \begin{array}{l} s (t) = C _ {0} + \sum_ {n = 1} ^ {\infty} C _ {n} \left[ \cos \left(2 \pi n t / T _ {0}\right) + j \sin \left(2 \pi n t / T _ {0}\right) \right] + \\ \sum_ {n = 1} ^ {\infty} C _ {n} ^ {*} \left[ \cos (2 \pi n t / T _ {0}) - \mathrm{j} \sin (2 \pi n t / T _ {0}) \right] \\ = C _ {0} + \sum_ {n = 1} ^ {\infty} \left[ \left(C _ {n} + C _ {n} ^ {*}\right) \cos (2 \pi n t / T _ {0}) + j \left(C _ {n} - C _ {n} ^ {*}\right) \sin (2 \pi n t / T _ {0}) \right] \tag {2.2-6} \\ \end{array} \]

令

\[ C _ {n} = \frac {1}{2} (a _ {n} - \mathrm{j} b _ {n}), C _ {- n} = C _ {n} ^ {*} = \frac {1}{2} (a _ {n} + \mathrm{j} b _ {n}), n \geqslant 1 \tag {2.2-7} \]

2.2

确知信号的频域性质

将式 \((2.2-7)\) 关系代入式 \((2.2-6)\) ，有

\[ \begin{array}{l} s (t) = C _ {0} + \sum_ {n = 1} ^ {\infty} \left[ a _ {n} \cos \left(2 \pi n t / T _ {0}\right) + b _ {n} \sin \left(2 \pi n t / T _ {0}\right) \right] \\ = C _ {0} + \sum_ {n = 1} ^ {\infty} \left[ \sqrt {a _ {n} ^ {2} + b _ {n} ^ {2}} \cos (2 \pi n t / T _ {0} + \theta_ {n}) \right] \tag {2.2-8} \\ \end{array} \]

式中

\[ \theta_ {n} = - \arctan (b _ {n} / a _ {n}) \tag {2.2-9} \]

式 (2.2-8) 表明，实信号 \(s(t)\) 的各次谐波的振幅等于 \(\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\) , 但是仅有正频率分量。数学上频谱函数的各次谐波的振幅可由式 (2.2-7) 得

\[ \mid C _ {n} \mid = \frac {1}{2} \sqrt {a _ {n} ^ {2} + b _ {n} ^ {2}} \tag {2.2-10} \]

它分布在全部正负频率范围，并且是实信号各次谐波振幅的一半。所以，可以认为，若将数学上频谱函数的负频率分量的模和正频率分量的模相加，就等于物理上实信号的频谱的模。式 (2.2-8) 将实信号 \(s(t)\) 展开的各频率分量的振幅为 \(\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\) ，相位为 \(\theta\) 。通常我们将其称为单边谱。在许多文献中将数学上的频谱函数称为双边谱，将实信号的频谱称为单边谱。前者便于数学分析，后者便于实验测量。各有其适用的场所。

此外，若 \(s(t)\) 不但是实信号，而且还是偶信号，则由式 (2.2-1) 得

\[ \begin{array}{l} C _ {n} = \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} s (t) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} t} \mathrm{d} t = \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} s (t) [ \cos (2 \pi n f _ {0} t) - \mathrm{j} \sin (2 \pi n f _ {0} t) ] \mathrm{d} t \\ = \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} s (t) \cos (2 \pi n f _ {0} t) d t - j \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} s (t) \sin (2 \pi n f _ {0} t) d t \\ = \operatorname{Re} \left(C _ {n}\right) - \mathrm{jIm} \left(C _ {n}\right) \tag {2.2-11} \\ \end{array} \]

式中： \(\mathrm{Re}(C_{n})\) 为 \(C_{n}\) 的实部； \(\mathrm{Im}(C_{n})\) 为 \(C_{n}\) 的虚部。

由式 (2.2-11) 可见，若 \(s(t)\) 是偶信号，则因被积函数是奇函数，使 \(C_{n}\) 的虚部等于 0, 即

\[ \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} s (t) \sin (2 \pi n f _ {0} t) \mathrm{d} t = 0 \tag {2.2-12} \]

所以 \(C_{n}\) 为实函数。

【例 2-1】试求图 2-2 (a) 所示周期性方波的频谱。

【解】此周期性方波的周期为 T，宽度为 \(\tau\) ，幅度为 V，它用公式表示如下：

\[ \left\{ \begin{array}{l} s (t) = \left\{ \begin{array}{l l} V & - \tau / 2 \leqslant t \leqslant \tau / 2 \\ 0 & \tau / 2 < t < (T - \tau / 2) \end{array} \right. \\ s (t) = s (t - T) \quad - \infty < t < \infty \end{array} \right. \tag {2.2-13} \]

其频谱可由式 \((2.2-1)\) 求出

第 2 章 确知信号

\[ C _ {n} = \frac {1}{T} \int_ {- \tau / 2} ^ {\tau / 2} V \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} t} \mathrm{d} t = \frac {1}{T} \left[ - \frac {V}{\mathrm{j} 2 \pi n f _ {0}} \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} t} \right] _ {- \tau / 2} ^ {\tau / 2} \tag {2.2-14} \]

\[ = \frac {V}{T} \frac {\mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} \tau / 2} - \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} \tau / 2}}{\mathrm{j} 2 \pi n f _ {0}} = \frac {V}{\pi n f _ {0} T} \sin \pi n f _ {0} \tau = \frac {V \tau}{T} \mathrm{Sa} \left(\frac {n \pi \tau}{T}\right) \]

式中： \(\mathrm{Sa}(t)=\sin t/t\) ，称为抽样函数 [函数 \(\mathrm{Sa}(t)\) 有时也写为 \(\mathrm{sinc}(t)\)]。

由式 (2.2-14) 可知，这时的频谱是一个实函数，我们记为 \(C_{n}\) , 示于图 2-2 (b) 中。由频谱图可见，它是一些高度不等的离散线条。每根线条的高度代表该频率分量的振幅。这样，将式 (2.2-14) 代入式 (2.2-2), 得到此信号的傅里叶级数表示式为

\[ s (t) = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} C _ {n} \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} t} = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} \frac {V \tau}{T} \mathrm{Sa} \left(\frac {n \pi \tau}{T}\right) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} t} \tag {2.2-15} \]

【例 2-2】试求图 2-3 所示周期性方波的频谱。

【解】此周期性方波的表示式如下：

\[ \left\{ \begin{array}{l l} s (t) = \left\{ \begin{array}{l l} V & 0 \leqslant t \leqslant \tau \\ 0 & \tau < t < T \end{array} \right. \\ s (t) = s (t - T) & - \infty < t < \infty \end{array} \right. \tag {2.2-16} \]

其频谱可由式 \((2.2-1)\) 求出

2.2

确知信号的频域性质

\[ C _ {n} = \frac {1}{T} \int_ {0} ^ {\tau} V \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} t} \mathrm{d} t = \frac {1}{T} \left[ - \frac {V}{\mathrm{j} 2 \pi n f _ {0}} \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} t} \right] _ {0} ^ {\tau} = \tag {2.2-17} \]

\[ \frac {V}{T} \frac {1 - \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} \tau}}{\mathrm{j} 2 \pi n f _ {0}} = \frac {V}{\mathrm{j} 2 \pi n} (1 - \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi n \tau / T}) \]

比较例 2-1 和例 2-2 的结果可见，例 2-1 中的信号是偶函数，其频谱 \(C_n\) 为实函数；例 2-2 中的信号不是偶函数，其频谱 \(C_n\) 是复函数。

对于非周期性功率信号，原则上可以看作其周期等于无穷大，仍然可以按照以上公式计算，但是实际上式 \((2.2-1)\) 中的积分是难以计算出的。

2.2.2 能量信号的频谱密度

设一个能量信号为 \(s(t)\) ，则将它的傅里叶变换 \(S(f)\) 定义为它的频谱密度 (frequency spectrum density):

\[ S (f) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (t) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{d} t \tag {2.2-18} \]

而 \(S(f)\) 的逆傅里叶变换就是原信号：

\[ s (t) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} S (f) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{d} f \tag {2.2-19} \]

能量信号的频谱密度 \(S(f)\) 和周期性功率信号的频谱 \(C_{n}\) 的主要区别有两点：第一， \(S(f)\) 是连续谱， \(C_{n}\) 是离散谱；第二， \(S(f)\) 的单位是伏 / 赫（V/Hz），而 \(C_{n}\) 的单位是伏（V）。能量信号的能量有限，并分布在连续频率轴上，所以在每个频率点 f 上信号的幅度是无穷小；只有在一小段频率间隔 df 上才有确定的非零振幅。功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定的非零振幅。顺便指出，在本书后面章节和其他书籍中，在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简称为频谱；这时在概念上不要把它和周期信号的频谱相混淆。

实能量信号的频谱密度和实功率信号的频谱有一个共同的特性，即其负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称。这可以从式 (2.2-20) 看出:

\[ \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (t) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{d} t = \left[ \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (t) \mathrm{e} ^ {+ \mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{d} t \right] ^ {*} S (f) = [ S (- f) ] ^ {*} \tag {2.2-20} \]

或者说，其频谱密度的正频率部分和负频率部分成复数共轭 (complex conjugate)

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关系。

【例 2-3】试求一个矩形脉冲的频谱密度。

【解】设此矩形脉冲的表示式为

\[ g _ {\tau} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & | t | \leqslant \tau / 2 \\ 0 & | t | > \tau / 2 \end{array} \right. \tag {2.2-21} \]

则它的频谱密度就是它的傅里叶变换 (Fourier transform):

\[ \begin{array}{l} G _ {\tau} (f) = \int_ {- \tau / 2} ^ {\tau / 2} \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{d} t = \frac {1}{\mathrm{j} 2 \pi f} (\mathrm{e} ^ {\mathrm{j} \pi f \tau} - \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} \pi f \tau}) \\ = \tau \frac {\sin (\pi f \tau)}{\pi f \tau} = \tau \mathrm{Sa} (\pi f \tau) \tag {2.2-22} \\ \end{array} \]

在图 2-4 中画出了 \(g_{\tau}(t)\) 的波形和其频谱密度 \(G_{\tau}(f)\) 。 \(g_{\tau}(t)\) 称为单位门函数（unit gate function），也可以用 \(\operatorname {rect}(t / \tau)\) 表示。

如图 2-4 所示，此频谱密度曲线的零点间隔为 \(1 / \tau\) 。为了传输这样的矩形脉冲，在实用中通常按图 2-4 中第一个零点的位置作为带宽就够了，即认为矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这里它等于 \((1 / \tau)\mathrm{Hz}\) 。

【例 2-4】试求单位冲激函数 (unit impulse function) 的频谱密度。

【解】单位冲激函数常简称为 \(\delta\) 函数，其定义是:

\[ \left\{ \begin{array}{l l} \int_ {- \infty} ^ {\infty} \delta (t) \mathrm{d} t = 1 \\ \delta (t) = 0 & t \neq 0 \end{array} \right. \tag {2.2-23} \]

通常我们认为这个冲激函数是其自变量的偶函数。在物理意义上，单位冲激函数可以看作是一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为 1 的脉冲。这种脉冲仅有理论上的意义，是不可能物理实现的。但是在数学上 \(\delta(t)\) 可以用某些函数的极限来描述它。例如，可以用抽样函数 (sample function) 的极限描述。可以证明，抽样函数有如下性质：

\[ \int_ {- \infty} ^ {\infty} \frac {k}{\pi} \mathrm{Sa} (k t) \mathrm{d} t = 1 \tag {2.2-24} \]

参照图 2-4 (b) 可以看出，k 越大，式 (2.2-24) 中的被积因子波形的振幅越大，而波形零点的间隔越小，波形振荡的衰减越快。图 2-5 中画出了几个这样波形的例子。当 \(k\to\infty\) 时，波形的零点间隔趋近于 0, 被积因子仅在原点存在，但是曲线下的净面积仍等于 1。这样，将式 (2.2-24) 和式 (2.2-23) 比较可见，两式中的被积因子相当，即有

2.2 确知信号的频域性质

\[ \delta (t) = \lim _ {k \to \infty} \frac {k}{\pi} \mathrm{Sa} (k t) \tag {2.2-25} \]

换句话说，抽样函数的极限就是冲激函数。

单位冲激函数 \(\delta(t)\) 的频谱密度 \(\Delta(f)\) 为

\[ \Delta (f) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} \delta (t) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{d} t = 1 \cdot \int_ {- \infty} ^ {\infty} \delta (t) \mathrm{d} t = 1 \tag {2.2-26} \]

计算式 \((2.2-26)\) 时，用了以下关系:

\[ \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f t} \mid_ {t = 0} = 1 \]

式 (2.2-26) 表明单位冲激函数的频谱密度等于 1, 即它的各频率分量连续地均匀分布在整个频率轴上。图 2-6 示出单位冲激函数的波形和频谱密度曲线，图中 \(\delta(t)\) 用一个箭头表示。

单位冲激函数具有如下一个非常有用的特性，即

\[ f (t _ {0}) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} f (t) \delta (t - t _ {0}) \mathrm{d} t \tag {2.2-27} \]

第 2 章 确知信号

这时，假设式中的函数 \(f(t)\) 在 \(t_{0}\) 处连续。

这个特性的证明很容易。根据单位冲激函数的定义，式 (2.2-27) 左边积分的被积函数仅在 \(t=t_{0}\) 处不为零，所以 \(f(t)\) 对积分的影响仅由 \(t=t_{0}\) 处的值决定。因此可以把式 (2.2-27) 右边积分写成

\[ \int_ {- \infty} ^ {\infty} f (t) \delta (t - t _ {0}) \mathrm{d} t = f (t _ {0}) \int_ {- \infty} ^ {\infty} \delta (t - t _ {0}) \mathrm{d} t = f (t _ {0}) \]

上式中积分的物理意义可以看作是用 \(\delta\) 函数在 \(t = t_{0}\) 时刻对 \(f(t)\) 抽样。

由于单位冲激函数是偶函数，即有 \(\delta(t)=\delta(-t)\) , 所以式 (2.2-27) 可以改写成

\[ f (t _ {0}) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} f (t) \delta (t _ {0} - t) \mathrm{d} t \tag {2.2-28} \]

单位冲激函数也可以看作是单位阶跃函数 (unit step function) (图 2-7)

\[ u (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & t < 0 \\ 1 & t \geqslant 0 \end{array} \right. \tag {2.2-29} \]

的导数，即

\[ u ^ {\prime} (t) = \delta (t) \tag {2.2-30} \]

这里需要特别指出的是，有时我们可以把功率信号当作能量信号看待，计算其频谱密度。从概念上不难想象，功率信号的频谱中，在其各个谐波频率上具有一定的非零功率，故在这些频率上的功率密度为无穷大。但是，我们可以用冲激函数来表示这些频率分量。现在以一个无限长的余弦波为例，说明之。

【例 2-5】试求无限长余弦波的频谱密度。

【解】设一个余弦波的表示式为 \(s(t) = \cos 2\pi f_0t\) ，则其频谱密度 \(S(f)\) 按式 (2.2-18) 计算，可以写为

\[ \begin{array}{l} S (f) = \lim _ {\tau \rightarrow \infty} \int_ {- \tau / 2} ^ {\tau / 2} \cos 2 \pi f _ {0} t e ^ {- j 2 \pi f t} d t \\ = \lim _ {\tau \rightarrow \infty} \frac {\tau}{2} \left\{\frac {\sin [ \pi (f - f _ {0}) \tau ]}{\pi (f - f _ {0}) \tau} + \frac {\sin [ \pi (f + f _ {0}) \tau ]}{\pi (f + f _ {0}) \tau} \right\} \\ \end{array} \]

2.2 确知信号的频域性质

\[ = \lim _ {\tau \rightarrow \infty} \frac {\tau}{2} \left\{\mathrm{Sa} \left[ \pi \tau (f - f _ {0}) \right] + \mathrm{Sa} \left[ \pi \tau (f + f _ {0}) \right]\right\} \tag {2.2-31} \]

参照式 \((2.2-25)\) ，式 \((2.2-31)\) 可以改写为

\[ S (f) = \frac {1}{2} \left[ \delta (f - f _ {0}) + \delta (f + f _ {0}) \right] \tag {2.2-32} \]

在图 2-8 中画出了其波形和频谱密度。

例 2-5 表明，只要引入冲激函数，我们同样可以求出一个功率信号的频谱密度。换句话说，引用了冲激函数就能把频谱密度的概念推广到功率信号上。这一点在信号分析中是非常有用的。

一些常用信号的傅里叶变换如表 2-1 所列。

表2-1		常用信号的傅里叶变换
序号	$f(t)$	$F(\omega)$	序号	$f(t)$	$F(\omega)$
1	$\delta(t)$	1	8	$\text{rect}(t/\tau)$	$\tau\text{Sa}(\omega\tau/2)$
2	1	$2\pi\delta(\omega)$	9	$\frac{W}{2\pi}\text{Sa}\left(\frac{Wt}{2}\right)$	$\text{rect}\left(\frac{\omega}{W}\right)$
3	$e^{j\omega t}$	$2\pi\delta(\omega - \omega_0)$	10	$\cos(\omega_0t)$	$\pi[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]$
4	$\text{sgn}(t)$	$\frac{2}{\text{j}\omega}$	11	$\sin(\omega_0t)$	$\frac{\pi}{\text{j}}[\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0)]$
5	$\text{j}\frac{1}{\pi t}$	$\text{sgn}(\omega)$	12	$e^{-\alpha|t|}$	$\frac{2\alpha}{\alpha^2 + \omega^2}$
6	$u(t)$	$\pi\delta(\omega) + \frac{1}{\text{j}\omega}$	13	$u(t)e^{-\alpha t}$	$\frac{1}{\alpha + \text{j}\omega}$
7	$\delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)$	$\frac{2\pi}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(\omega - n \cdot \frac{2\pi}{T}\right)$	14	$u(t)te^{-\alpha t}$	$\frac{1}{(\alpha + \text{j}\omega)^2}$

2.2.3 能量信号的能量谱密度

设一个能量信号 \(s(t)\) 的能量为 E，则此信号的能量为

第 2 章 确知信号

\[ E = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s ^ {2} (t) \mathrm{d} t \tag {2.2-33} \]

若此信号的傅里叶变换 (频谱密度) 为 \(S(f)\) ，则由巴塞伐尔（Parseval）定理（见附录 A）得知

\[ E = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s ^ {2} (t) \mathrm{d} t = \int_ {- \infty} ^ {\infty} | S (f) | ^ {2} \mathrm{d} f \tag {2.2-34} \]

式 (2.2-34) 表示 \(|S(f)|^{2}\) 在频率轴 f 上的积分等于信号能量，所以称 \(|S(f)|^{2}\) 为能量谱密度 (energy spectrum density), 它表示在频率 f 处宽度为 df 的频带内的信号能量，或者也可以看作是单位频带内的信号能量。式 (2.2-34) 可以改写为

\[ E = \int_ {- \infty} ^ {\infty} G (f) \mathrm{d} f \tag {2.2-35} \]

式中

\[ G (f) = \left| S (f) \right| ^ {2} (\mathrm{J/Hz}) \tag {2.2-36} \]

为能量谱密度。

由于信号 \(s(t)\) 是一个实函数，所以 \(|S(f)|\) 是一个偶函数。因此，式 (2.2 - 35) 可以写为

\[ E = 2 \int_ {0} ^ {\infty} G (f) \mathrm{d} f \tag {2.2-37} \]

【例 2-6】试求例 2-3 中矩形脉冲的能量谱密度。

【解】在例 2-3 中已经求出其频谱密度为

\[ S (f) = \tau \mathrm{Sa} (\pi f \tau) \]

故由式 (2.2-36) 得出

\[ G (f) = | S (f) | ^ {2} = | \tau \mathrm{Sa} (\pi f \tau) | ^ {2} = \tau^ {2} | \mathrm{Sa} (\pi f \tau) | ^ {2} \]

2.2.4 功率信号的功率谱密度

由于功率信号具有无穷大的能量，式 (2.2-33) 的积分不存在，所以不能计算功率信号的能量谱密度。但是，可以求出它的功率谱密度。为此，我们首先将信号 \(s(t)\) 截短为长度等于 T 的一个截短信号 \(s_{T}(t), - T/2 < t < T/2\) 。这样， \(s_{T}(t)\) 就成为一个能量信号了。对于这个能量信号，我们就可以用傅里叶变换求出其能量谱密度 \(|S_{T}(f)|^{2}\) ，并由巴塞伐尔定理有

\[ E = \int_ {- T / 2} ^ {T / 2} s _ {T} ^ {2} (t) \mathrm{d} t = \int_ {- \infty} ^ {\infty} | S _ {T} (f) | ^ {2} \mathrm{d} f \tag {2.2-38} \]

于是，我们可以将

\[ \lim _ {T \rightarrow \infty} \frac {1}{T} \left| S _ {T} (f) \right| ^ {2} \tag {2.2-39} \]

定义为信号的功率谱密度 (power spectrum density) \(P(f)\) ，即

2.2

确知信号的频域性质

\[ P (f) = \lim _ {T \to \infty} \frac {1}{T} | S _ {T} (f) | ^ {2} \tag {2.2-40} \]

信号功率则为

\[ P = \lim _ {T \to \infty} \frac {1}{T} \int_ {- \infty} ^ {\infty} | S _ {T} (f) | ^ {2} \mathrm{d} f = \int_ {- \infty} ^ {\infty} P (f) \mathrm{d} f \tag {2.2-41} \]

若此功率信号具有周期性，则可以将 T 选作等于信号的周期 \(T_{0}\) , 并且用傅里叶级数代替傅里叶变换，求出信号的频谱。这时，式 (2.1-5) 变成

\[ P = \lim _ {T \to \infty} \frac {1}{T} \int_ {- T / 2} ^ {T / 2} s ^ {2} (t) \mathrm{d} t = \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} s ^ {2} (t) \mathrm{d} t \tag {2.2-42} \]

并且由周期函数的巴塞伐尔定理得知

\[ P = \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} s ^ {2} (t) \mathrm{d} t = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} | C _ {n} | ^ {2} \tag {2.2-43} \]

式中： \(C_{n}\) 为此周期信号的傅里叶级数的系数。

若 \(f_{0}\) 是此信号的基波频率，则 \(C_{n}\) 是此信号的第 n 次谐波（其频率为 \(nf_{0}\) ）的振幅； \(|C_{n}|^{2}\) 为第 n 次谐波的功率，可以称为信号的（离散）功率谱。

若我们仍希望用连续的功率谱密度表示此离散谱 (discrete spectrum)，则可以利用上述的 \(\delta\) 函数的特性 (式 (2.2-27)) 将式 (2.2-43) 表示为

\[ P = \int_ {- \infty} ^ {\infty} \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} | C (f) | ^ {2} \delta (f - n f _ {0}) \mathrm{d} f \tag {2.2-44} \]

式中

\[ C (f) = \left\{ \begin{array}{l l} C _ {n} & f = n f _ {0} \\ 0 & \text {其他} \end{array} \right. \]

式 \((2.2-44)\) 中的被积因子就是此信号的功率谱密度 \(P(f)\) ，即

\[ P (f) = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} | C (f) | ^ {2} \delta (f - n f _ {0}) \tag {2.2-45} \]

而

\[ \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} | C (f) | ^ {2} \delta (f - n f _ {0}) \mathrm{d} f = P (f) \mathrm{d} f \tag {2.2-46} \]

就是在频率间隔 df 内信号的功率。

【例 2-7】试求例 2-1 中周期性信号的功率谱密度。

该例中信号的频谱已经求出，它等于式 \((2.2-14)\) , 即

\[ C _ {n} = \frac {V \tau}{T} \mathrm{Sa} \left(\frac {n \pi \tau}{T}\right) \]

所以由式 \((2.2-45)\) ，得

\[ P (f) = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} | C (f) | ^ {2} \delta (f - n f _ {0}) = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} \left(\frac {V \tau}{T}\right) ^ {2} \mathrm{Sa} ^ {2} (\pi \tau f) \delta (f - n f _ {0}) \tag {2.2-47} \]

第 2 章 确知信号

2.3 确知信号的时域性质

确知信号在时域中 (time domain) 的性质主要有自相关 (autocorrelation) 函数和互相关 (cross-correlation) 函数。下面将介绍其定义和基本性质。

2.3.1 能量信号的自相关函数

能量信号 \(s(t)\) 的自相关函数的定义为

\[ R (\tau) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (t) s (t + \tau) \mathrm{d} t - \infty < \tau < \infty \tag {2.3-1} \]

自相关函数反映了一个信号与延迟 \(\tau\) 后的同一信号间的相关程度。自相关函数 \(R(\tau)\) 和时间 t 无关，只和时间差 \(\tau\) 有关。当 \(\tau=0\) 时，能量信号的自相关函数 \(R(0)\) 等于信号的能量，即

\[ R (0) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s ^ {2} (t) \mathrm{d} t = E \tag {2.3-2} \]

式中：E 为能量信号的能量。

此外， \(R(\tau)\) 是 \(\tau\) 的偶函数，即

\[ R (\tau) = R (- \tau) \tag {2.3-3} \]

这可以容易地证明如下：

由 \(R(\tau)\) 的定义，有

\[ R (- \tau) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (t) s (t - \tau) \mathrm{d} t \tag {2.3-4} \]

令 \(x = t - \tau\) ，代入式 (2.3-4)，得

\[ R (- \tau) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (x + \tau) s (x) \mathrm{d} (x + \tau) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (x) s (x + \tau) \mathrm{d} x = R (\tau) \tag {2.3-5} \]

能量信号的自相关函数和其能量谱密度之间有简单的关系。下面就来具体分析。对定义式 \((2.3-1)\) 求傅里叶变换，即

\[ \begin{array}{l} \int_ {- \infty} ^ {\infty} R (\tau) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f \tau} \mathrm{d} \tau = \int_ {- \infty} ^ {\infty} \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (t) s (t + \tau) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f \tau} \mathrm{d} t \mathrm{d} \tau \\ = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (t) \mathrm{d} t \left[ \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (t + \tau) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f (t + \tau)} \mathrm{d} (t + \tau) \right] \mathrm{e} ^ {+ \mathrm{j} 2 \pi f t} \tag {2.3-6} \\ \end{array} \]

令 \(t' = t + \tau\) 代入式 (2.3-6)，得

\[ \begin{array}{l} \int_ {- \infty} ^ {\infty} R (\tau) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f \tau} \mathrm{d} \tau = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (t) \mathrm{d} t \left[ \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (t ^ {\prime}) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f t ^ {\prime}} \mathrm{d} t ^ {\prime} \right] \mathrm{e} ^ {+ \mathrm{j} 2 \pi f t} \\ = S (f) \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (t) \mathrm{e} ^ {+ \mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{d} t = S (f) S (- f) \tag {2.3-7} \\ \end{array} \]

2.3 确知信号的时域性质

式中： \(S(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)\mathrm{e}^{-j2\pi ft}\mathrm{d}t\) ，为能量信号 \(s(t)\) 的频谱密度。

因为一般说来 \(S(f)\) 是复函数，所以可以令

\[ S (f) = A (f) + \mathrm{j} B (f) \tag {2.3-8} \]

式中： \(A(f)\) 和 \(B(f)\) 为实函数。并且，对于实能量信号，其频谱密度的正频率部分和负频率部分有复数共轭关系。这样，式 (2.3-7) 变为

\[ \int_ {- \infty} ^ {\infty} R (\tau) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi / \tau} \mathrm{d} \tau = S (f) S (- f) = [ A (f) + \mathrm{j} B (f) ] [ A (f) - \mathrm{j} B (f) ] = \]

\[ A ^ {2} (f) + B ^ {2} (f) = | S (f) | ^ {2} \tag {2.3-9a} \]

将式 \((2.3-9a)\) 和式 \((2.2-34)\) 比较表明，能量信号的自相关函数的傅里叶变换就是其能量谱密度。反之，能量信号的能量谱密度的逆傅里叶变换就是能量信号的自相关函数，即

\[ R (\tau) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} | S (f) | ^ {2} \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi f \tau} \mathrm{d} f \tag {2.3-9b} \]

\(R(\tau)\) 和 \(|S(f)|^{2}\) 构成一对傅里叶变换。

2.3.2 功率信号的自相关函数

功率信号 \(s(t)\) 的自相关函数的定义为

\[ R (\tau) = \lim _ {T \to \infty} \frac {1}{T} \int_ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) s (t + \tau) \mathrm{d} t - \infty < \tau < \infty \tag {2.3-10} \]

由定义式不难看出，当 \(\tau=0\) 时，功率信号的自相关函数 \(R(0)\) 等于信号的平均功率，即

\[ R (0) = \lim _ {T \to \infty} \frac {1}{T} \int_ {- T / 2} ^ {T / 2} s ^ {2} (t) \mathrm{d} t = P \tag {2.3-11} \]

式中：P 为信号的功率。

和能量信号的自相关函数类似，功率信号的自相关函数也是偶函数。

对于周期性功率信号，自相关函数的定义可以改写为

\[ R (\tau) = \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} s (t) s (t + \tau) \mathrm{d} t - \infty < \tau < \infty \tag {2.3-12} \]

周期性功率信号的自相关函数和其功率谱密度之间也有简单的关系。下面就来具体分析。由式 (2.3-12)，有

\[ R (\tau) = \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} s (t) s (t + \tau) \mathrm{d} t = \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} s (t) \left[ \sum_ {- \infty} ^ {\infty} C _ {n} \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi n (t + \tau) / T _ {0}} \right] \mathrm{d} t = \]

\[ \sum_ {- \infty} ^ {\infty} \left[ C _ {n} \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi n \tau / T _ {0}} \cdot \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} s (t) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi n t / T _ {0}} \mathrm{d} t \right] = \sum_ {- \infty} ^ {\infty} \left[ C _ {n} \cdot C _ {n} ^ {*} \right] \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi n \tau / T _ {0}} = \]

\[ \sum_ {- \infty} ^ {\infty} | C _ {n} | ^ {2} \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi n \tau / T _ {0}} = \int_ {- \infty} ^ {\infty} \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} | C (f) | ^ {2} \delta (f - n f _ {0}) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi f \tau} \mathrm{d} f \tag {2.3-13} \]

第 2 章 确知信号

将式 \((2.2-45)\) 代入式 \((2.3-13)\) ，得

\[ R (\tau) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} P (f) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi f \tau} \mathrm{d} f \tag {2.3-14a} \]

式 (2.3-14a) 表明，周期性功率信号的自相关函数 \(R(\tau)\) 和其功率谱密度 \(P(f)\) 之间是傅里叶变换关系，即 \(P(f)\) 的逆傅里叶变换是 \(R(\tau)\) , 而 \(R(\tau)\) 的傅里叶变换是功率谱密度，即

\[ P (f) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} R (\tau) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f \tau} \mathrm{d} \tau \tag {2.3-14b} \]

【例 2-8】试求余弦信号 \(s(t) = A\cos (\omega_0t + \theta)\) 的自相关函数、功率谱密度和平均功率。

【解】信号 \(s(t)\) 是周期性功率信号，根据自相关函数定义式 (2.3-12) 可得其自相关函数为

\[ R (\tau) = \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} s (t) s (t + \tau) \mathrm{d} t = \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} A ^ {2} \cos (\omega_ {0} t + \theta) \cos [ \omega_ {0} (t + \tau) + \theta ] \mathrm{d} t \tag {2.3-15} \]

式中： \(\omega_{0}=2\pi f_{0}=2\pi/T_{0}\)

利用三角函数公式 (见附录 A), 式 (2.3-15) 可以变为

\[ \begin{array}{l} R (\tau) = \frac {A ^ {2}}{2} \cos \omega_ {0} \tau \cdot \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} d t + \frac {A ^ {2}}{2} \frac {1}{T _ {0}} \int_ {- T _ {0} / 2} ^ {T _ {0} / 2} \cos (2 \omega_ {0} t + \omega_ {0} \tau + 2 \theta) d t \\ = \frac {A ^ {2}}{2} \cos \omega_ {0} \tau \tag {2.3-16} \\ \end{array} \]

对式 \((2.3-16)\) 作傅里叶变换，则可得此余弦信号的功率谱密度为

\[ P (\omega) = \frac {A ^ {2}}{2} \pi [ \delta (\omega - \omega_ {0}) + \delta (\omega + \omega_ {0}) ] \tag {2.3-17} \]

若将角频率 \(\omega\) 换成频率 f 表示，并利用冲激函数的尺度变换特性

\[ \delta (\omega) = \delta (2 \pi f) = \frac {1}{2 \pi} \delta (f) \tag {2.3-18} \]

则式 \((2.3-17)\) 可改写为

\[ P (f) = \frac {A ^ {2}}{4} \left[ \delta \left(f - f _ {0}\right) + \delta \left(f + f _ {0}\right) \right] \tag {2.3-19} \]

由式 \((2.3-11)\) 可得信号的平均功率为

\[ P = R (0) = \frac {A ^ {2}}{2} \]

2.3

确知信号的时域性质

2.3.3 能量信号的互相关函数

两个能量信号 \(s_{1}(t)\) 和 \(s_{2}(t)\) 的互相关函数的定义为

\[ R _ {1 2} (\tau) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s _ {1} (t) s _ {2} (t + \tau) \mathrm{d} t - \infty < \tau < \infty \tag {2.3-20} \]

由式 (2.3-20) 看出，互相关函数反映了一个信号和延迟 \(\tau\) 后的另一个信号间相关的程度。互相关函数 \(R_{12}(\tau)\) 和时间 \(t\) 无关，只和时间差 \(\tau\) 有关。需要注意的是，互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关，即有

\[ R _ {2 1} (\tau) = R _ {1 2} (- \tau) \tag {2.3-21} \]

这一点很容易证明。若令 \(x = t + \tau\) ，则由式 (2.3-20) 得

\[ \begin{array}{l} R _ {2 1} (\tau) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s _ {2} (t) s _ {1} (t + \tau) \mathrm{d} t = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s _ {2} (x - \tau) s _ {1} (x) \mathrm{d} x \\ = \int_ {- x} ^ {x} s _ {1} (x) s _ {2} [ x + (- \tau) ] \mathrm{d} x = R _ {1 2} (- \tau) \tag {2.3-22} \\ \end{array} \]

现在来考虑互相关函数和信号能量谱密度的关系。由定义式 \((2.3-20)\) ，有

\[ \begin{array}{l} R _ {1 2} (\tau) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s _ {1} (t) s _ {2} (t + \tau) \mathrm{d} t = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s _ {1} (t) \mathrm{d} t \int_ {- \infty} ^ {\infty} S _ {2} (f) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi f (t + \tau)} \mathrm{d} f \\ = \int_ {- \infty} ^ {\infty} S _ {2} (f) \mathrm{d} f \int_ {- \infty} ^ {\infty} s _ {1} (t) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi f (t + \tau)} \mathrm{d} t = \int_ {- \infty} ^ {\infty} S _ {1} ^ {*} (f) S _ {2} (f) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi f \tau} \mathrm{d} f \\ = \int_ {- \infty} ^ {\infty} S _ {1 2} (f) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi f \tau} \mathrm{d} f \tag {2.3-23} \\ \end{array} \]

式中： \(S_{12}(f)=S_{1}^{*}(f)S_{2}(f)\) ，称为互能量谱密度。

式 (2.3-23) 表示，\(R_{12}(\tau)\) 是 \(S_{12}(f)\) 的逆傅里叶变换。故 \(S_{12}(f)\) 是 \(R_{12}(\tau)\) 的傅里叶变换，即

\[ S _ {1 2} (f) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} R _ {1 2} (\tau) \mathrm{e} ^ {- j 2 \pi f \tau} \mathrm{d} \tau \tag {2.3-24} \]

因此，互相关函数和互能量谱密度也是一对傅里叶变换。

2.3.4 功率信号的互相关函数

两个功率信号 \(s_{1}(t)\) 和 \(s_{2}(t)\) 的互相关函数的定义为

\[ R _ {1 2} (\tau) = \lim _ {T \rightarrow \infty} \frac {1}{T} \int_ {- T / 2} ^ {T / 2} s _ {1} (t) s _ {2} (t + \tau) \mathrm{d} t - \infty < \tau < \infty \tag {2.3-25} \]

同样，功率信号的互相关函数 \(R_{12}(\tau)\) 也和时间 \(t\) 无关，只和时间差 \(\tau\) 有关，并且互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关。类似式 (2.3-22)，有

第 2 章 确知信号

\[ \begin{array}{l} R _ {2 1} (\tau) = \lim _ {T \rightarrow \infty} \frac {1}{T} \int_ {- T / 2} ^ {T / 2} s _ {2} (t) s _ {1} (t + \tau) d t \\ = \lim _ {T \rightarrow \infty} \frac {1}{T} \int_ {- T / 2} ^ {T / 2} s _ {2} (x - \tau) s _ {1} (x) d x \\ = \lim _ {T \rightarrow \infty} \frac {1}{T} \int_ {- T / 2} ^ {T / 2} s _ {1} (x) s _ {2} (x - \tau) \mathrm{d} x = R _ {1 2} (- \tau) \quad - \infty < \tau < \infty \tag {2.3-26} \\ \end{array} \]

若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数的定义可以写为

\[ R _ {1 2} (\tau) = \frac {1}{T} \int_ {- T / 2} ^ {T / 2} s _ {1} (t) s _ {2} (t + \tau) \mathrm{d} t - \infty < \tau < \infty \tag {2.3-27} \]

式中：T 为信号的周期。

在功率信号的互相关函数和其功率谱之间也有如下简单的傅里叶变换关系：

\[ \begin{array}{l} R _ {1 2} (\tau) = \frac {1}{T} \int_ {- T / 2} ^ {T / 2} s _ {1} (t) s _ {2} (t + \tau) \mathrm{d} t = \frac {1}{T} \int_ {- T / 2} ^ {T} s _ {1} (t) \mathrm{d} t \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} \left(C _ {n}\right) _ {2} \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} (t + \tau)} \\ = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} \left[ \left(C _ {n}\right) _ {2} \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} \tau} \frac {1}{T} \int_ {- T / 2} ^ {T / 2} s _ {1} (t) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} t} \mathrm{d} t \right] = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} \left[ \left(C _ {n}\right) _ {1} ^ {*} \left(C _ {n}\right) _ {2} \right] \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} \tau} \\ = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} \left[ C _ {1 2} \right] \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi n f _ {0} \tau} \tag {2.3-28} \\ \end{array} \]

式中： \(C_{12}=(C_{n})_{1}^{*}(C_{n})_{2}\) ，称为信号的互功率谱。

式 (2.3-28) 表示，周期性功率信号的互功率谱 \(C_{12}\) 是其互相关函数 \(R_{12}(\tau)\) 的傅里叶级数的系数。若用傅里叶变换表示，式 (2.3-28) 可以改写为

\[ R _ {1 2} (\tau) = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} \int_ {- \infty} ^ {\infty} C _ {1 2} (f) \delta \left(f - n f _ {0}\right) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi n f _ {0 \tau}} \mathrm{d} f \tag {2.3-29} \]

式中： \(\int_{-\infty}^{\infty}C_{12}(f)\delta (f - nf_0)\mathrm{d}f = C_{12} = (C_n)_1^* (C_n)_2\)

2.4 小结

本章集中讨论确知信号的特性。确知信号按照其强度可以分为能量信号和功率信号。功率信号按照其有无周期性划分，又可以分为周期性信号和非周期性信号。能量信号的振幅和持续时间都是有限的，其能量有限，（在无限长的时间上）平均功率为零。功率信号的持续时间无限，故其能量为无穷大。

确知信号的性质可以从频域和时域两方面研究。

确知信号在频域中的性质有 4 种，即频谱、频谱密度、能量谱密度和功率谱密度。周期性功率信号的波形可以用傅里叶级数表示，级数的各项构成信号的离散频谱，其单位是 V。能量信号的波形可以用傅里叶变换表示，波形变换得出的函数是信号的频谱密度，其单位是 \(\mathrm{V / Hz}\) 。只要引入冲激函数，我们同样可以对于一个功率信号求出其频谱密度。能量谱密度是能量信号的能量在频域中的分布，其单位是 \(\mathrm{J / Hz}\) 。功率谱密度则是功率信号的功率在频域中的分布，其单位是 \(\mathrm{W / Hz}\) 。周期性信号的功率谱密度是由离散谱线组成的，这些谱线就是信号在各次谐波上的功率分量 \(|C_n|^2\) ，称为功率谱，其单位为 \(\mathbf{W}\) 。但是，若用 \(\delta\) 函数表示此谱线，则它可以写成功率谱密度 \(|C(f)|^2\delta (f - nf_0)\) 的形式。

2.4 小结

确知信号在时域中的特性主要有自相关函数和互相关函数。自相关函数反映一个信号在不同时间上取值的关联程度。能量信号的自相关函数 \(R(0)\) 等于信号的能量；而功率信号的自相关函数 \(R(0)\) 等于信号的平均功率。互相关函数反映两个信号的相关程度，它和时间无关，只和时间差有关，并且互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关。能量信号的自相关函数和其能量谱密度构成一对傅里叶变换。周期性功率信号的自相关函数和其功率谱密度构成一对傅里叶变换。能量信号的互相关函数和其互能量谱密度构成一对傅里叶变换。周期性功率信号的互相关函数和其互功率谱构成一对傅里叶变换。

思考题

2-1 何谓确知信号？

2-2 试分别说明能量信号和功率信号的特性。

2-3 试用语言 (文字) 描述单位冲激函数的定义。

2-4 试画出单位阶跃函数的曲线。

2-5 试述信号的四种频率特性分别适用于何种信号。

2-6 频谱密度 \(S(f)\) 和频谱 \(C(\mathrm{j}n\omega_0)\) 的量纲分别是什么？

2-7 自相关函数有哪些性质？

2-8 冲激响应的定义是什么？冲激响应的傅里叶变换等于什么？

习题

2-1 试判断下列信号是周期信号还是非周期信号，能量信号还是功率信号:

2-2 试证明图 P2-1 中周期性信号可以展开为

第 2 章 确知信号

\[ s (t) = \frac {4}{\pi} \sum_ {n = 0} ^ {\infty} \frac {(- 1) ^ {n}}{2 n + 1} \cos (2 n + 1) \pi t \]

2-3 设信号 \(s(t)\) 可以表示成

\[ s (t) = 2 \cos (2 \pi t + \theta) - \infty < t < \infty \]

试求：(1) 信号的傅里叶级数的系数 \(C_{n}\) ;

(2) 信号的功率谱密度。

2-4 设有一信号如下：

\[ x (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 2 \exp (- t) & t \geqslant 0 \\ 0 & t < 0 \end{array} \right. \]

试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。

2-5 求图 P2-2 所示的单个矩形脉冲（门函数）的频谱（密度）、能量谱密度、自相关函数及其波形、信号能量。

2-6 设信号 \(s(t)\) 的傅里叶变换为 \(S(f) = \sin \pi f / \pi f\) ，试求此信号的自相关函数 \(R_{\mathrm{s}}(\tau)\) 。

2-7 已知信号 \(s(t)\) 的自相关函数为

\[ R _ {s} (\tau) = \frac {k}{2} \mathrm{e} ^ {- k | \tau |} \qquad k = \text {常数} \]

(1) 试求其功率谱密度 \(P_{s}(f)\) 和功率 P;

(2) 试画出 \(R_{s}(\tau)\) 和 \(P_{n}(f)\) 的曲线。

2-8 已知信号 \(s(t)\) 的自相关函数 \(R(\tau)\) 是周期 \(T = 2\) 的周期性函数，其在区间 \((-1, 1)\) 上的截断函数为

\[ R _ {\mathrm{T}} (\tau) = 1 - | \tau | \quad - 1 \leqslant \tau < 1 \]

试求 \(s(t)\) 的功率谱密度 \(P(f)\) 并画出其曲线。

2-9 (1) 求正弦信号 \(c(t)=\sin\omega_{0}t\) 的频谱 (密度);

(2) 已知 \(s(t) \Leftrightarrow S(\omega)\) ，试求 \(x(t) = s(t) \sin \omega_{0} t\) 的频谱（密度）。

习题

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