附录F 式(9.4-1)的计算
将 \(r(t) = s_1(t) + n(t)\) 代入式 (9.3-3)，得到
\[
n _ {0} \ln \frac {1}{P (1)} + \int_ {0} ^ {T _ {*}} n ^ {2} (t) \mathrm{d} t > n _ {0} \ln \frac {1}{P (0)} + \int_ {0} ^ {T _ {*}} [ s _ {1} (t) - s _ {0} (t) + n (t) ] ^ {2} \mathrm{d} t
\]
上式化简后，得出
\[
\int_ {0} ^ {T _ {s}} n (t) [ s _ {1} (t) - s _ {0} (t) ] \mathrm{d} t < \frac {n _ {0}}{2} \ln \frac {P (0)}{P (1)} - \frac {1}{2} \int_ {0} ^ {T _ {s}} [ s _ {1} (t) - s _ {0} (t) ] ^ {2} \mathrm{d} t \quad (\text {附F-1})
\]
式 (附 F-1) 左端是和此码元中的噪声电压随机值 \(n(t)\) 有关的随机量，而右端则仅与先验概率 \(P(0)\) 和 \(P(1)\) 、确知信号 \(s_{0}(t)\) 和 \(s_{1}(t)\) 以及噪声功率谱密度 \(n_{0}\) 有关，它们不是随机量。所以，若我们用一个随机量 \(\xi\) 代表左端，用一个常量 a 代表右端，则上述错误概率可以简写为是使不等式
\[
\xi < a \quad (\text {附} F - 2)
\]
成立的概率。
式 (附 F-2) 中
\[
\xi = \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{s}}} n (t) [ s _ {1} (t) - s _ {0} (t) ] \mathrm{d} t \tag {附F-3}
\]
\[
a = \frac {n _ {0}}{2} \mathrm{ln} \frac {P (0)}{P (1)} - \frac {1}{2} \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{s}}} [ s _ {1} (t) - s _ {0} (t) ] ^ {2} \mathrm{d} t \qquad \qquad (\text {附F-4})
\]
在式 (附 F-3) 中，噪声 \(n(t)\) 原是一个高斯分布随机过程，和它相乘的确知信号不是随机的，积分运算相当求和，是一种线性变换，所以根据 3.4 节的结论，\(n(t)\) 这一高斯随机过程经过式 (附 G-3) 的线性变换后得到的 \(\xi\) 仍然是一个高斯随机过程。若知道了它的数学期望 (简称均值) 和方差，则马上就能写出它的概率密度函数。
\(\xi\) 的数学期望为
\[
E (\xi) = E \left\{\int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{s}}} n (t) [ s _ {1} (t) - s _ {0} (t) ] \mathrm{d} t \right\} = \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{s}}} E [ n (t) ] \cdot [ s _ {1} (t) - s _ {0} (t) ] \mathrm{d} t = 0
\]
(附 F - 5)
式 (附 F-5) 求出的 \(E(\xi)=0\) ，是因为原已假设噪声的均值 \(E[n(t)]=0\) 。
\(\xi\) 的方差为
\[
\begin{array}{l} \sigma_ {\xi} ^ {2} = D (\xi) = E \left(\xi^ {2}\right) = E \left\{\int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{s}}} \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{s}}} n (t) \left[ s _ {1} (t) - s _ {0} (t) \right] n \left(t ^ {\prime}\right) \left[ s _ {1} \left(t ^ {\prime}\right) - s _ {0} \left(t ^ {\prime}\right) \right] d t d t ^ {\prime} \right\} \\ = \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{s}}} \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{s}}} E [ n (t) n (t ^ {\prime}) ] \cdot [ s _ {1} (t) - s _ {0} (t) ] [ s _ {1} (t ^ {\prime}) - s _ {0} (t ^ {\prime}) ] \mathrm{d} t \mathrm{d} t ^ {\prime} \\ \end{array}
\]
(附 F - 6)
式 (附 F-6) 中的 \(E[n(t)n(t')]\) 是 \(n(t)\) 的自相关函数。由于 \(n(t)\) 是带限白噪声，由式 (3.7-3) 可知，白噪声的自相关函数为
\[
R _ {n} (\tau) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} P _ {X} (f) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} \omega \tau} \mathrm{d} f = \int_ {- \infty} ^ {\infty} \frac {n _ {0}}{2} \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} \omega \tau} \mathrm{d} f = \frac {n _ {0}}{2} \delta (\tau)
\]
将式 \((3.7-3)\) 代入式 (附 F-6)，得到
\[
\sigma_ {\xi} ^ {2} = D (\xi) = \frac {n _ {0}}{2} \int_ {0} ^ {T _ {*}} [ s _ {1} (t) - s _ {0} (t) ] ^ {2} \mathrm{d} t \qquad \mathrm{(附F-7)}
\]
求出了 \(\xi\) 的均值和方差后，就可以直接写出使不等式
\[
\xi < a
\]
成立的概率为
\[
P (\xi < a) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\xi}} \int_ {- \infty} ^ {a} \mathrm{e} ^ {- \frac {x ^ {2}}{2 \sigma_ {\xi} ^ {2}}} \mathrm{d} x \tag {附F-8}
\]
式中：
\[
a = \frac {n _ {0}}{2} \mathrm{ln} \frac {P (0)}{P (1)} - \frac {1}{2} \int_ {0} ^ {T _ {*}} [ s _ {1} (t) - s _ {0} (t) ] ^ {2} \mathrm{d} t \tag {附F-9}
\]
这个概率就是发送 \(s_{1}(t)\) 时，判为收到 \(s_{0}(t)\) 的条件错误概率，它可以记为 \(P(0/1)\) 。所以有
\[
P (0 / 1) = P (\xi < a) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\xi}} \int_ {- \infty} ^ {a} \mathrm{e} ^ {- \frac {x ^ {2}}{2 \sigma_ {\xi} ^ {2}}} \mathrm{d} x
\]
附录 F 式 (9.4-1) 的计算