第8章 新型数字带通调制技术¶
第 8 章 新型数字带通调制技术¶
第 7 章中讨论了基本的二进制和多进制数字带通传输系统。为了提高其性能，人们对这些数字调制体制不断加以改进，提出了多种新的调制解调体制。这些新型调制解调体制，各有所长，分别在不同方面有其优势。本章将介绍几种较常用的有代表性的新型调制体制。
8.1 正交振幅调制¶
正交振幅调制 (QAM) 是一种振幅和相位联合键控。在前面讨论的多进制键控体制中，相位键控的带宽和功率占用方面都具有优势，即带宽占用小和比特信噪比要求低。因此，MPSK 和 MDPSK 体制为人们所喜用。但是，由图 7-34 可见，在 MPSK 体制中，随着 \(M\) 的增大，相邻相位的距离逐渐减小，使噪声容限随之减小，误码率难于保证。为了改善在 \(M\) 大时的噪声容限，发展出了 QAM 体制。在 QAM 体制中，信号的振幅和相位作为两个独立的参量同时受到调制。这种信号的一个码元可以表示为
式中：k = 整数； \(A_{k}\) 和 \(\theta_{k}\) 分别可以取多个离散值。
式 \((8.1-1)\) 可以展开为
令
则式 \((8.1-1)\) 变为
\(X_{k}\) 和 \(Y_{k}\) 也是可以取多个离散值的变量。从式 (8.1-3) 看出， \(e_{k}(t)\) 可以看作是两个正交的振幅键控信号之和。
在式 (8.1-1) 中，若 \(\theta_{k}\) 值仅可以取 \(\pi /4\) 和 \(-\pi /4,A_{k}\) 值仅可以取 \(+A\) 和 \(-A\) ，则此
QAM 信号就成为 QPSK 信号，如图 8-1 (a) 所示。因此，QPSK 信号是一种最简单的 QAM 信号。有代表性的 QAM 信号是 16 进制的，记为 16QAM, 它的矢量图如图 8-1 (b) 所示。图中用黑点表示每个码元的位置，并且示出它是由两个正交矢量合成的。类似地，有 64QAM 和 256QAM 等 QAM 信号，如图 8-1 (c) 和 (d) 所示。它们总称为 MQAM 调制。由于从其矢量图看像是星座，故又称星座 (constellation) 调制。
下面以 16QAM 信号为例作进一步的分析。16QAM 信号的产生方法主要有两种：第一种是正交调幅法，即用两路独立的正交 4ASK 信号叠加，形成 16QAM 信号，如图 8-2 (a) 所示；第二种方法是复合相移法，它用两路独立的 QPSK 信号叠加，形成 16QAM 信号，如图 8-2 (b) 所示。图中虚线大圆上的 4 个大黑点表示第一个 QPSK 信号矢量的位置。在这 4 个位置上可以叠加上第二个 QPSK 矢量，后者的位置用虚线小圆上的 4 个小黑点表示。
8.1
正交振幅调制
现将 16QAM 信号和 16PSK 信号的性能作一比较。在图 8-3 中，按最大振幅相等，画出这两种信号的星座图。设其最大振幅为 \(A_{M}\) ，则 16QAM 信号的相邻信号点间的欧几里得距离为
而 16PSK 信号的相邻点欧几里得距离为
此距离直接代表着噪声容限的大小。所以， \(d_{1}\) 和 \(d_{2}\) 的比值就代表这两种体制的噪声容限之比。按式 (8.1-4) 和式 (8.1-5) 计算， \(d_{1}\) 超过 \(d_{2}\) 约 1.57dB。但是，这时是在最大功率（振幅）相等的条件下比较的，没有考虑这两种体制的平均功率差别。16PSK 信号的平均功率（振幅）就等于其最大功率（振幅）。而 16QAM 信号，在等概率出现条件下，可以计算出其最大功率和平均功率之比等于 1.8 倍，即 2.55dB。因此，在平均功率相等条件下，16QAM 比 16PSK 信号的噪声容限大 4.12dB。
QAM 特别适用于频带资源有限的场合。例如，由于电话信道的带宽通常限制在话音频带 (300Hz\~3400Hz) 范围内，若希望在此频带中提高通过调制解调器 (Modem) 传输数字信号的速率，则 QAM 是非常适用的。在图 8-4 中示出一种用于调制解调器的传输速率为 9600b/s 的 16QAM 方案，其载频为 1650Hz，滤波器带宽为 2400Hz，滚降系数为 10%。
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在 ITU-T 的建议 V.29 和 V.32 中均采用 16QAM 体制以 2.4kBaud 的码元速率传输 9.6kb/s 的数字信息。
QAM 的星座形状并不是像图 8-1 中的正方形为最好，实际上以边界越接近圆形越好。例如，在图 8-5 中给出了一种改进的 16QAM 方案，其中星座各点的振幅分别等于 ±1、±3 和 ±5。将其和图 8-4 相比较，不难看出，其星座中各信号点的最小相位差比后者大，因此容许较大的相位抖动。目前最新的调制解调器的传输速率更高，所用的星座图也更复杂，但仍然占据一个话路的带宽。例如，在 ITU-T 的建议 V.34 中采用 960QAM 体制使调制解调器的传输速率达到 28.8kb/s。
8.2 最小频移键控和高斯最小频移键控¶
最小频移键控 (MSK) 是 7.1.2 节中讨论的 2FSK 的改进。2FSK 体制虽然性能优良、易于实现，并应用广泛，但是它也有不足之处。首先，它占用的频带宽度比 2PSK 大，即频带利用率较低。其次，若用开关法产生 2FSK 信号，则相邻码元波形的相位可能不连续，因此在通过带通特性的电路后由于通频带的限制，使得信号波形的包络产生较大起伏。这种起伏是不希望有的。此外，一般说来，2FSK 信号的两种码元波形不一定严格正交。由第 9 章的分析可知，若二进制信号的两种码元互相正交，则其误码率性能将更好。
为了克服上述缺点，对于 2FSK 信号作了改进，发展出 MSK 信号。MSK 信号是一种包络恒定、相位连续、带宽最小并且严格正交的 2FSK 信号，其波形图如图 8-6 所示。下面将对 MSK 信号的特性作详细分析。
8.2.1 正交 2FSK 信号的最小频率间隔¶
在正式讨论 MSK 信号之前，作为理论准备，我们先来考虑正交 2FSK 信号两种码元的最小容许频率间隔。在原理上，若两个信号互相正交，就可以把它完全分开。假设 2FSK 信号码元的表达式为
8.2 最小频移键控和高斯最小频移键控
式中： \(\omega_{1}\neq\omega_{0}\)
现在，为了满足正交条件，要求
即要求
式 \((8.2-3)\) 积分结果为
假设 \(\omega_{1} + \omega_{0}\gg 1\) ，式 (8.2-4) 左端第 1 和 3 项近似等于零，则它可以化简为
由于 \(\varphi_{1}\) 和 \(\varphi_{0}\) 是任意常数，故必须同时有
式 \((8.2-5)\) 才等于零。
式 (8.2-6) 要求 \(\left(\omega_{1}-\omega_{0}\right)T_{B}=n\pi\) ，式 (8.2-7) 要求 \(\left(\omega_{1}-\omega_{0}\right)T_{B}=2m\pi\) ，其中 n 和 m 均为不等于 0 的整数。为了同时满足这两个要求，应当令
即要求
所以，当取 m=1 时是最小频率间隔。故最小频率间隔等于 \(1/T_{B}\) 。
上面讨论中，假设初始相位 \(\varphi_{1}\) 和 \(\varphi_{0}\) 是任意的，它在接收端无法预知，所以只能采用非相干检波法接收。对于相干接收，则要求初始相位是确定的，在接收端是预知的，这时可以令 \(\varphi_{1}-\varphi_{0}=0\) 。于是，式 (8.2-5) 化简为
因此，仅要求满足
所以，对于相干接收，保证正交的 2FSK 信号的最小频率间隔等于 \(1/2T_{B}\) 。
8.2.2 MSK 信号的基本原理¶
上面已经提到，MSK 信号是一种相位连续、包络恒定并且占用带宽最小的二进制正
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交 2FSK 信号。下面将证明 MSK 的这些特性。
1. MSK 信号的频率间隔¶
MSK 信号的第 k 个码元可以表示为
式中： \(\omega_{v}=2\pi f_{c}\) ，为载波角载频； \(a_{k}=\pm1\) （分别对应输入码元为 “1” 或 “0” 时）； \(T_{B}\) 为码元宽度； \(\varphi_{k}\) 为第 k 个码元的初始相位，它在一个码元宽度中是不变的。
由式 (8.2-12) 可以看出，当输入码元为 “1” 时， \(a_{k}=+1\) ，故码元频率 \(f_{1}=f_{c}+1/(4T_{B})\) ；当输入码元为 “0” 时， \(a_{k}=-1\) ，故码元频率 \(f_{0}=f_{c}-1/(4T_{B})\) 。所以， \(f_{1}-f_{0}=1/(2T_{B})\) 。在 8.2.1 节已经证明，这是 2FSK 信号的最小频率间隔。
2. MSK 码元中波形的周期数¶
式 \((8.2-12)\) 可以改写为
式中： \(f_{1} = f_{\mathrm{c}} + 1 / (4T_{\mathrm{B}}), f_{0} = f_{\mathrm{c}} - 1 / (4T_{\mathrm{B}})\) (8.2-14)
由于 MSK 信号是一个正交 2FSK 信号，它应该满足式 (8.2-4)，即
上式左端 4 项应分别等于零，所以将第 3 项 \(\sin (2\varphi_k) = 0\) 的条件代入第 1 项，得到要求
即要求
或 \(T_{B}=n\frac{1}{4f_{c}}\quad n=1,2,3,\cdots\) (8.2-17)
式 (8.2-17) 表示，MSK 信号每个码元持续时间 \(T_{B}\) 内包含的波形周期数必须是 1/4 载波周期的整数倍，即式 (8.2-17) 可以改写为
式中：N 为正整数；m=0,1,2,3。
以及有
8.2 最小频移键控和高斯最小频移键控
由式 \((8.2-19)\) 可以得知：
式中： \(T_{1}=1/f_{1}\) ; \(T_{0}=1/f_{0}\) 。
式 (8.2-20) 给出一个码元持续时间 \(T_{B}\) 内包含的正弦波周期数。由此式看出，无论两个信号频率 \(f_{1}\) 和 \(f_{0}\) 等于何值，这两种码元包含的正弦波数均相差 1/2 个周期。例如，当 N=1,m=3 时，对于比特 “1” 和 “0”，一个码元持续时间内分别有 2 个和 1.5 个正弦波周期（图 8-6）。
3. MSK 信号的相位连续性¶
在 7.4.3 节和图 7-36 中讨论过相位连续性问题。波形 (相位) 连续的一般条件是前一码元末尾的相位等于后一码元开始时的相位。
由式 \((8.2-12)\) 可知，这就是要求
由式 \((8.2-21)\) 可以容易地写出下列递归条件：
由式 (8.2-22) 可以看出，第 k 个码元的相位 \(\varphi_{k}\) 不仅和当前的输入 \(a_{k}\) 有关，而且和前一码元的相位 \(\varphi_{k-1}\) 及前一码元的输入 \(a_{k-1}\) 有关。这就是说，要求 MSK 信号的前后码元之间存在相关性。在用相干法接收时，可以假设 \(\varphi_{k-1}\) 的初始参考值等于 0。这时，由式 (8.2-22) 可知
式 \((8.2-12)\) 可以改写为
式中： \(\theta_{k}(t)=\frac{a_{k}\pi}{2T_{B}}t+\varphi_{k}\) (8.2-25)
\(\theta_{k}(t)\) 称作第 \(k\) 个码元的附加相位。由式 (8.2-25) 可见，在此码元持续时间内它是 \(t\) 的直线方程。并且，在一个码元持续时间 \(T_{\mathrm{B}}\) 内，它变化 \(a_{k}\pi /2\) ，即变化 \(\pm \pi /2\) 。按照相位连续性的要求，在第 \(k - 1\) 个码元的末尾，即当 \(t = kT_{\mathrm{B}}\) 时，其附加相位 \(\theta_{k - 1}(kT_{\mathrm{B}})\) 就应该是第 \(k\) 个码元的初始附加相位 \(\theta_{k}(kT_{\mathrm{B}})\) 。所以，每经过一个码元的持续时间，MSK 码元的附加相位就改变 \(\pm \pi /2\) ；若 \(a_{k} = +1\) ，则第 \(k\) 个码元的附加相位增加 \(\pi /2\) ；若 \(a_{k} = -1\) ，则第 \(k\) 个码元的附加相位减小 \(\pi /2\) 。按照这一规律，可以画出 MSK 信号附加相位 \(\theta_{k}(t)\) 的轨迹图，如图 8-7 所示。图 8-7 (a) 中给出的曲线所对应的输入数据序列是： \(a_{k} = +1, + 1, + 1,\) \(-1, - 1, + 1, + 1, + 1, - 1, - 1, - 1, - 1, - 1,\) 图 8-7 (b) 示出附加相位的全部可能路径；图 8-7 (c) 示出 mod2π 运算后的附加相位路径。由此图也可以看出，附加相位在码元间是连续的。
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4. MSK 信号的正交表示法¶
下面将证明式 \((8.2-12)\) 可以用频率为 \(f_{c}\) 的两个正交分量表示。将式 \((8.2-12)\) 用三角公式展开：
考虑到式 \((8.2-23)\) ，有
以及考虑到 \(a_{k} = \pm 1, \cos \frac{a_{k}\pi}{2T_{\mathrm{B}}} t = \cos \frac{\pi t}{2T_{\mathrm{B}}}\) , 及 \(\sin \frac{a_{k}\pi}{2T_{\mathrm{B}}} t = a_{k}\sin \frac{\pi t}{2T_{\mathrm{B}}}\) , 式 (8.2-26) 变为
式中： \(p_{k}=\cos\varphi_{k}=\pm1\) (8.2-28)
8.2 最小频移键控和高斯最小频移键控
式 (8.2-27) 表示，此 MSK 信号可以分解为同相分量 (I) 和正交分量 (Q) 两部分。I 分量的载波为 \(\cos\omega_{c}t,p_{k}\) 中包含输入码元信息，\(\cos(\pi t/2T_{B})\) 是其余弦形加权函数；Q 分量的载波为 \(\sin\omega_{c}t,q_{k}\) 中包含输入码元信息，\(\sin(\pi t/2T_{B})\) 是其正弦形加权函数。
虽然每个码元的持续时间为 \(T_{B}\) ，似乎 \(p_{k}\) 和 \(q_{k}\) 每 \(T_{B}\) 秒可以改变一次，但是 \(p_{k}\) 和 \(q_{k}\) 不可能同时改变。因为由式 (8.2-22) 得知，仅当 \(a_{k} \neq a_{k-1}\) ，且 k 为奇数时， \(p_{k}\) 才可能改变。但是由式 (8.2-29) 看出，当 \(p_{k}\) 和 \(a_{k}\) 同时改变时， \(q_{k}\) 不改变；另外，仅当 \(a_{k} \neq a_{k-1}\) ，且 k 为偶数时， \(p_{k}\) 不改变， \(q_{k}\) 才改变。换句话说，当 k 为奇数时， \(q_{k}\) 不会改变。所以两者不能同时改变。
此外，对于第 \(k\) 个码元，它处于 \(kT_{\mathrm{B}} \leqslant t \leqslant (k + 1)T_{\mathrm{B}}\) 范围内，其起点是 \(kT_{\mathrm{B}}\) 。由于 \(k\) 为奇数时 \(p_k\) 才可能改变，所以只有在起点为 \((2n + 1)T_B\) （ \(n\) 为整数）处，即 \(\cos (\pi t / 2T_{\mathrm{B}})\) 的过零点处 \(p_k\) 才可能改变。同理， \(q_k\) 只能在 \(\sin (\pi t / 2T_{\mathrm{B}})\) 的过零点改变。因此，加权函数 \(\cos (\pi t / 2T_{\mathrm{B}})\) 和 \(\sin (\pi t / 2T_{\mathrm{B}})\) 都是正负符号不同的半个正弦波周期。这样就保证了波形的连续性。在表 8-1 和图 8-8 中给出了一个例子。其中设 \(k = 0\) 时为初始状态，输入序列 \(a_k\) 是：+1, -1, +1, -1, -1, +1, +1, -1, +1。由此例可以看出， \(p_k\) 仅当 \(k\) 等于奇数时才可能改变符号，而 \(q_k\) 仅当 \(k\) 等于偶数时才可能改变符号，即两者不可能同时改变符号。另外，由此图可见，MSK 信号波形相当于一种特殊的 OQPSK 信号波形，其正交的两路码元也是偏置的，特殊之处主要在于其包络是正弦形，而不是矩形。
| 表8-1 | MSK信号举例 | |||||||||
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| t | $(0,T_B)$ | $(T_B, 2T_B)$ | $(2T_B, 3T_B)$ | $(3T_B, 4T_B)$ | $(4T_B, 5T_B)$ | $(5T_B, 6T_B)$ | $(6T_B, 7T_B)$ | $(7T_B, 8T_B)$ | $(8T_B, 9T_B)$ | $(9T_B, 10T_B)$ |
| $a_k$ | +1 | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | +1 | +1 | -1 | +1 |
| $b_k$ | +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | -1 | -1 | -1 | +1 | +1 |
| $φ_k$ | 0 | 0 | 0 | π | π | π | π | π | π | 0 |
| $p_k$ | +1 | +1 | +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | +1 |
| $q_k$ | +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | +1 |
上面较详细地讨论了 MSK 信号的正交表示法。下面将介绍根据这种表示法来构成 MSK 信号产生器。
8.2.3 MSK 信号的产生和解调¶
1. MSK 信号的产生方法¶
由式 \((8.2-27)\) 可知，MSK 信号可以用两个正交的分量表示:
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式中：右端第 1 项称作同相分量，其载波为 \(\cos \omega_{\mathrm{c}}t\) ；第 2 项称作正交分量，其载波为 \(\sin \omega_{\mathrm{c}}t\) 。
根据上式构成的方框图如图 8-9 所示。
8.2 最小频移键控和高斯最小频移键控
图 8-9 中输入数据序列为 \(a_{k}\) ，它经过差分编码后变成序列 \(b_{k}\) ，差分波形见 6.1.1 节。差分编码器就是 DPSK 调制中采用的码变换器（双稳触发器），但是令这时的双稳触发器仅当输入数据为 “-1” 时才反转。在表 8-1 给出的例子中，输入序列：
它经过此差分编码器后得到输出序列：
序列 \(b_{k}\) 经过串 / 并变换，分成 \(p_{k}\) 支路和 \(q_{k}\) 支路，\(b_{k}\) 的码元交替变成上下支路的码元，即有
这里，串 / 并变换后的支路码元 \(p_{k}^{\prime}\) ， \(q_{k}^{\prime}\) 的长度是 \(b_{k}\) 的 2 倍。若仍采用表 8-1 中原来的序号 k，将支路第 k 个码元长度仍当作为 \(T_{B}\) ，则可以写出
这就是说，在式 \((8.2-32a)\) 和式 \((8.2-32b)\) 中，有
这里的 \(p_{k}\) 和 \(q_{k}\) 仍为表 8-1 中的 \(p_{k}\) 和 \(q_{k}\) ，其长度仍是原来的 \(T_{B}\) 。
例如，因为 \(p_{1}=p_{2}=b_{1}\) , 所以由 \(p_{1}\) 和 \(p_{2}\) 构成一个长度等于 \(2T_{B}\) 的取值为 \(b_{1}\) 的码元。在图 8-10 中画出了这些码元之间的时间关系。
这两路数据 \(p_{k}\) 和 \(q_{k}\) 再经过两次相乘，就能合成 MSK 信号了。
现在证明为什么 \(a_{k}\) 和 \(b_{k}\) 之间是差分编码关系。
由式 (8.2-32a) 可知，序列 \(b_{k}\) 由 \(p_{1}^{\prime},q_{2}^{\prime},p_{3}^{\prime},q_{4}^{\prime},\cdots,p_{k-1}^{\prime},q_{k}^{\prime},p_{k+1}^{\prime},q_{k+2}^{\prime},\cdots\) 组成，所以按照差分编码的定义，需要证明仅当输入码元 \(a_{k}\) 为 “-1” 时，\(b_{k}\) 变号，即需要证明当输入码元为 “-1” 时，\(q_{k}=-p_{k-1}\) , 或 \(p_{k}=-q_{k-1}\) 。
（1）当 \(k\) 为偶数时，式 (8.2-32a) 右端中的码元为 \(q_{k}^{\prime}\) 。由式 (8.2-22) 可知，这时 \(p_k^\prime = p_{k - 1}^\prime\) ，将其代入式 (8.2-29)，得
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所以，当且仅当 \(a_{k} = -1\) 时， \(q'_{k} = -p'_{k-1}\) ，即 \(b_{k}\) 变号。
（2）当 \(k\) 为奇数时，式 (8.2-32a) 右端中的码元为 \(p^{\prime}_{k}\) 。由式 (8.2-22) 可知，此时若 \(a_{k}\) 变号，则 \(\varphi_{k}\) 改变 \(\pi\) ，即 \(p^{\prime}_k\) 变号，否则 \(p^{\prime}_k\) 不变号，故有
将 \(a_{k} = -1\) 代入式 (8.2-35)，得
上面证明了 \(a_{k}\) 和 \(b_{k}\) 之间是差分编码关系。
2. MSK 信号的解调方法¶
现在来讨论 MSK 信号的解调。由于 MSK 信号是一种 2FSK 信号，所以它也像 2FSK 信号那样，可以采用相干解调或非相干解调方法。在这里，我们将介绍另一种解调方法，即延时判决相干解调法的原理。
现在先考察 k=1 和 k=2 的两个码元。设 \(\varphi_{1}(t)=0\) ，则由图 8-7 (b) 可知，在 \(t=2T_{B}\) 时， \(\theta_{k}(t)\) 的相位可能为 0 或 \(\pm\pi\) 。将图 8-7 (b) 中的这部分放大画在图 8-11 (a) 中。
在解调时，若用 \(\cos(\omega_{c}t+\pi/2)\) 作为相干载波与此信号相乘，则得
式 (8.2-36) 中右端第二项的频率为 \(2\omega_{c}\) 。将它用低通滤波器滤除，并省略掉常数 1/2 后，得到输出电压
按照输入码元 \(a_{k}\) 的取值不同，输出电压 \(v_{\mathrm{o}}\) 的轨迹图如图 8-11 (b) 所示。若输入的两个码元为 “+1，+1” 或 “+1，-1”，则 \(\theta_{k}(t)\) 的值在 \(0 < t \leqslant 2T_{\mathrm{B}}\) 期间始终为正。若输入的一对码元为 “-1，+1” 或 “-1，-1”，则 \(\theta_{k}(t)\) 的值始终为负。因此，若在此 \(2T_{\mathrm{B}}\) 期间对式 (8.2-37) 积分，则积分结果为正值时，说明第一个接收码元为 “+1”；若积分结果为负值，则说明第 1 个接收码元为 “-1”。按照此法，在 \(T_{\mathrm{B}} < t \leqslant 3T_{\mathrm{B}}\) 期间积分，就能判断第 2 个接收码元的值，依此类推。
用这种方法解调，由于利用了前后两个码元的信息对于前一个码元作判决，故可以提高数据接收的可靠性。图 8-12 给出了按照这一原理画出的 MSK 信号延迟解调法方框图。图中两个积分判决器的积分时间长度均为 \(2T_{B}\) ，但是错开时间 \(T_{B}\) 。上支路的积分判决器先给出第 2i 个码元输出，然后下支路给出第 \((2i+1)\) 个码元输出。
8.2.4 MSK 信号的功率谱¶
MSK 信号的归一化 (平均功率 = 1W 时) 单边功率谱密度 \(P_{s}(f)\) 的计算结果如下 \(^{[1]}\) :
8.2 最小频移键控和高斯最小频移键控
式中： \(f_{c}\) 为信号载频； \(T_{B}\) 为码元持续时间。
按照式 (8.2-38) 画出的曲线在图 8-13 中用实线示出。应当注意，图中横坐标是以载频为中心画的，即横坐标代表频率 \(f-f_{c}\) 。图中还给出了其他几种调制信号的功率谱密度曲线作为比较。由此图可见，与 QPSK 和 OQPSK 信号相比，MSK 信号的功率谱密度更为集中，即其旁瓣下降得更快。故它对于相邻频道的干扰较小。计算表明 \(^{[2]}\) ，包含 90% 信号功率的带宽 B 近似值如下。
对于 QPSK、OQPSK、MSK: \(B \approx 1/T_{B}\) (Hz)
对于 BPSK: \(B \approx 2/T_{B}\) (Hz)
而包含 99% 信号功率的带宽近似值为
对于 MSK: \(B \approx 1.2 / T_{\mathrm{B}}(\mathrm{Hz})\)
对于 QPSK 及 OPQSK: \(B \approx 6/T_{B}\) (Hz)
对于 BPSK: \(B \approx 9/T_{B}\) (Hz)
由此可见，MSK 信号的带外功率下降非常快。
8.2.5 MSK 信号的误码率性能¶
在第 7 章中我们曾经提到 2PSK 信号和 QPSK 信号的误比特率性能相同，因为可以把 QPSK 信号看作是两路正交的 2PSK 信号，在作相干接收时这两路信号是不相关的。
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OQPSK 信号只是将这两路信号偏置了，所以其误比特率也和前两种信号的相同。现在的 MSK 信号是用极性相反的半个正 (余) 弦波形去调制两个正交的载波。因此，当用匹配滤波器分别接收每个正交分量时，MSK 信号的误比特率性能和 2PSK、QPSK 及 OQPSK 等的性能一样。但是，若把它当作 FSK 信号用相干解调法在每个码元持续时间 \(T_{\mathrm{B}}\) 内解调，则其性能将比 2PSK 信号的性能差 \(3 \mathrm{~dB}^{[3]}\) 。
8.2.6 高斯最小频移键控¶
上面讨论的 MSK 信号的主要优点是包络恒定，并且带外功率谱密度下降快。为了进一步使信号的功率谱密度集中和减小对邻道的干扰。可以在进行 MSK 调制前将矩形信号脉冲先通过一个高斯型的低通滤波器。这样的体制称为高斯最小频移键控 (Gaussian MSK, GMSK)。此高斯型低通滤波器的频率特性表示式为
式中：B 为滤波器的 3dB 带宽。
将式 \((8.2-39)\) 作逆傅里叶变换，得到此滤波器的冲激响应 \(h(t)\) 为
式中： \(\alpha=\sqrt{\frac{\ln2}{2}}\frac{1}{B}\) 。
由于 \(h(t)\) 为高斯特性，故称为高斯型滤波器。
GMSK 信号的功率谱密度很难分析计算，用计算机仿真方法得到的结果 \(^{[4]}\) 也示于图 8-13 中。仿真时采用的 \(BT_{B}=0.3\) , 即滤波器的 3dB 带宽 B 等于码元速率的 0.3 倍。在 GSM 制的蜂窝网中就是采用 \(BT_{B}=0.3\) 的 GMSK 调制，这是为了得到更大的用户容量，因为在那里对带外辐射的要求非常严格。GMSK 体制的缺点是有码间串扰 (ISI)。 \(BT_{B}\) 值越小，码间串扰越大。
8.2 最小频移键控和高斯最小频移键控
8.3 正交频分复用¶
8.3.1 概述¶
上述各种调制系统都是采用一个正弦形振荡作为载波，将基带信号调制到此载波上。若信道不理想，在已调信号频带上很难保持理想传输特性时，会造成信号的严重失真和码间串扰。例如，在具有多径衰落的短波无线电信道上，即使传输低速 (1200 波特) 的数字信号，也会产生严重的码间串扰。为了解决这个问题，除了采用均衡器外，途径之一就是采用多个载波，将信道分成许多子信道。将基带码元均匀分散地对每个子信道的载波调制。假设有 10 个子信道，则每个载波的调制码元速率将降低至 \(1 / 10\) ，每个子信道的带宽也随之减小为 \(1 / 10\) 。若子信道的带宽足够小，则可以认为信道特性接近理想信道特性，码间串扰可以得到有效的克服。在图 8-14 中画出了单载波调制和多载波调制特性的比较。在单载波体制的情况下，码元持续时间 \(T\) 短，但占用带宽 \(B\) 大；由于信道特性 \(\mid C(f)\mid\) 不理想，产生码间串扰。采用多载波后码元持续时间 \(T_{\mathrm{B}} = NT_{\mathrm{b}}\) ，码间串扰将得到改善。早在 1957 年出现的 Kin-eplex 系统就是著名的这样一种系统 [5]，它采用了 20 个正弦子载波并行传输低速率 (150 波特) 的码元，使系统总信息传输速率达到 \(3\mathrm{kb / s}\) ，从而克服了短波信道上严重多径效应的影响。
随着要求传输的码元速率不断提高，传输带宽也越来越宽。今日多媒体通信的信息传输速率要求已经达到若干 Mb/s, 并且移动通信的传输信道可能是在大城市中多径衰落严重的无线信道。为了解决这个问题，并行调制的体制再次受到重视。正交频分复用 (OFDM) 就是在这种形势下得到发展的。OFDM 也是一类多载波并行调制的体制。它和
第 8 章 新型数字带通调制技术
20 世纪 50 年代类似系统的区别主要有：
目前，OFDM 已经较广泛地应用于非对称数字用户环路（ADSL）、高清晰度电视（HDTV）信号传输、数字视频广播（DVB）、无线局域网（WLAN）等领域，并且开始应用于无线广域网（WWAN）和正在研究将其应用在下一代蜂窝网中。IEEE 的 5GHz 无线局域网标准 802.11a 和 2GHz \~ 11GHz 的标准 802.16a 均采用 OFDM 作为它的物理层标准。欧洲电信标准化组织（ETSI）的宽带射频接入网（BRAN）的局域网标准也把 OFDM 定为它的调制标准技术。
OFDM 的缺点主要有两个: ① 对信道产生的频率偏移和相位噪声很敏感；② 信号峰值功率和平均功率的比值较大，这将会降低射频功率放大器的效率。
8.3.2 OFDM 的基本原理¶
设在一个 OFDM 系统中有 N 个子信道，每个子信道采用的子载波为
式中： \(B_{k}\) 为第 k 路子载波的振幅，它受基带码元的调制； \(f_{k}\) 为第 k 路子载波的频率； \(\varphi_{k}\) 为第 k 路子载波的初始相位，则在此系统中的 N 路子信号之和可以表示为
式 \((8.3-2)\) 还可以改写成复数形式如下：
式中： \(B_{k}\) 是一个复数，为第 k 路子信道中的复输入数据。
因此，式 (8.3-3) 右端是一个复函数，但是，物理信号 \(e(t)\) 是实函数。所以若希望用上式的形式表示一个实函数，式中的输入复数据 \(B_{k}\) 应该使上式右端的虚部等于零。如何做到这一点，将在以后讨论。
为了使这 N 路子信道信号在接收时能够完全分离，要求它们满足正交条件。在码元持续时间 \(T_{B}\) 内任意两个子载波都正交的条件为
式 \((8.3-4)\) 可以用三角公式改写成
8.3
正交频分复用
它的积分结果为
令式 (8.3-6) 等于 0 的条件是：
其中，m 和 n 均为整数，并且 \(\varphi_{k}\) 和 \(\varphi_{i}\) 可以取任意值。
由式 \((8.3-7)\) 解出，要求
即要求子载频满足
式中：k 为整数。
且要求子载频间隔：
故要求的最小子载频间隔为
上面求出了子载频正交的条件。现在来考察 OFDM 系统在频域中的特点。
设在一个子信道中，子载波的频率为 \(f_{k}\) 、码元持续时间为 \(T_{B}\) ，则此码元的波形和其频谱密度如图 8-15 所示 (频谱密度图中仅画出正频率部分)。
在 OFDM 中，各相邻子载波的频率间隔等于最小容许间隔:
故各子载波合成后的频谱密度曲线如图 8-16 所示。虽然由图上看，各路子载波的频谱重叠，但是实际上在一个码元持续时间内它们是正交的，见式 (8.3-4)。故在接收端很容易利用此正交特性将各路子载波分离开。采用这样密集的子载频，并且在子信道间不需要保护频带间隔，因此能够充分利用频带。这是 OFDM 的一大优点。在子载波受调制后，若采用的是 BPSK、QPSK、4QAM、64QAM 等类调制制度，则其各路频谱的位置和形状没有改变，仅幅度和相位有变化，故仍保持其正交性，因为 \(\varphi_{k}\) 和 \(\varphi_{i}\) 可以取任意值而不影响正交性。各路子载波的调制制度可以不同，按照各个子载波所处频段的信道特性采用不同的调制制度，并且可以随信道特性的变化而改变，具有很大的灵活性。这是 OFDM 体制的又一个重大优点。
第 8 章 新型数字带通调制技术
现在来具体分析一下 OFDM 体制的频带利用率。设一 OFDM 系统中共有 N 路子载波，子信道码元持续时间为 \(T_{B}\) ，每路子载波均采用 M 进制的调制，则它占用的频带宽度为
频带利用率为单位带宽传输的比特率：
当 \(N\) 很大时，有
若用单个载波的 M 进制码元传输，为得到相同的传输速率，则码元持续时间应缩短为 \(T_{B}/N\) , 而占用带宽等于 \(2N/T_{B}\) , 故频带利用率为
比较式 (8.3-14) 和式 (8.3-15) 可见，并行的 OFDM 体制和串行的单载波体制相比，频带利用率大约可以增至 2 倍。
8.3.3 OFDM 的实现¶
我们将以 MQAM 调制为例，简要地讨论 OFDM 的实现方法。由于 OFDM 信号表示式 (8.3-3) 的形式如同逆离散傅里叶变换 (IDFT) 式，所以可以用计算 IDFT 和 DFT 的方法进行 OFDM 调制和解调。下面首先来复习一下 DFT 的公式。
8.3
正交频分复用
设一个时间信号 \(s(t)\) 的抽样函数为 \(s(k)\) ，其中 \(k=0,1,2,\cdots,K-1\) ，则 \(s(k)\) 的离散傅里叶变换 (DFT) 定义为
并且 \(S(n)\) 的逆离散傅里叶变换为
若信号的抽样函数 \(s(k)\) 是实函数，则其 K 点 DFT 的值 \(S(n)\) 一定满足对称性条件：
式中： \(S^{*}(k)\) 为 \(S(k)\) 的复共轭。
令式 (8.3-3) 中 OFDM 信号的 \(\varphi_{k} = 0\) ，则该式变为
式 (8.3-19) 和式 (8.3-17) 非常相似。若暂时不考虑两式常数因子的差异以及求和项数 (K 和 N) 的不同，则可以将式 (8.3-17) 中的 K 个离散值 \(S(n)\) 当作是 K 路 OFDM 并行信号的子信道中信号码元取值 \(B_{k}\) ，而式 (8.3-17) 的左端就相当式 (8.3-19) 左端的 OFDM 信号 \(e(t)\) 。这就是说，可以用计算 IDFT 的方法来获得 OFDM 信号。下面就来讨论如何具体解决这个计算问题。
设 OFDM 系统的输入信号为串行二进制码元，其码元持续时间为 \(T_{b}\) , 先将此输入码元序列分成帧，每帧中有 F 个码元，即有 F 比特。然后将此 F 比特分成 N 组，每组中的比特数可以不同，如图 8-17 所示。设第 i 组中包含的比特数为 \(b_{i}\) , 则有
第 8 章 新型数字带通调制技术
将每组中的 \(b_{i}\) 个比特看作是一个 \(M_{i}\) 进制码元 \(B_{i}\) ，其中 \(b_{i} = \log_{2}M_{i}\) ，并且经过串 / 并变换将 \(F\) 个串行码元 \(b_{i}\) 变为 \(N\) 个 (路) 并行码元 \(B_{i}\) 。各路并行码元 \(B_{i}\) 持续时间相同，均为 \(T_{B} = F \cdot T_{b}\) ，但是各路码元 \(B_{i}\) 包含的比特数不同。这样得到的 \(N\) 路并行码元 \(B_{i}\) 用来对于 \(N\) 个子载波进行不同的 MQAM 调制。这时的各个码元 \(B_{i}\) 可能属于不同的 \(M_{i}\) 进制，所以它们各自进行不同的 MQAM 调制。在 MQAM 调制中一个码元可以用平面上的一个点表示，而平面上的一个点可以用一个矢量或复数表示。在下面我们用复数 \(B_{i}\) 表示此点。将 \(M_{i}\) 进制的码元 \(B_{i}\) 变成一一对应的复数 \(B_{i}\) 的过程称为映射过程。例如，若有一个码元 \(B_{i}\) 是 16 进制的，它由二进制的输入码元 “1100” 构成，则它应进行 16QAM 调制。设其星座图如图 8-4 所示，则此 16 进制码元调制后的相位应该为 \(45^{\circ}\) ，振幅为 \(A / \sqrt{2}\) 。此映射过程就应当将输入码元 “1100” 映射为 \(B_{i} = (A / \sqrt{2})\mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi /4}\) 。
为了用 IDFT 实现 OFDM, 首先令 OFDM 的最低子载波频率等于 0, 以满足式 (8.3-17) 右端第一项 (即 \(n = 0\) 时) 的指数因子等于 1。为了得到所需的已调信号最终频率位置，可以用上变频的方法将所得 OFDM 信号的频谱向上搬移到指定的高频上。
其次，我们令 K=2N，使 IDFT 的项数等于子信道数目 N 的 2 倍，并用式 (8.3-18) 对称性条件，由 N 个并行复数码元序列 \(\{B_{i}\}\) （其中 \(i=0,1,2,\cdots,N-1\) ），生成 K=2N 个等效的复数码元序列 \(\{B_{n}^{\prime}\}\) （其中 \(n=0,1,2,\cdots,2N-1\) ），即令 \(\{B_{n}^{\prime}\}\) 中的元素等于：
这样将生成的新码元序列 \(\{\pmb{B}_n'\}\) 作为 \(S(n)\) ，代入 IDFT 公式 (8.3-17)，得
式中 \(e(k)=e(kT_{\mathrm{B}}/K)\) ，相当于 OFDM 信号 \(e(t)\) 的抽样值。故 \(e(t)\) 可以表示为
子载波频率 \(f_{k}=n/T_{B}(n=0,1,2,\cdots,N-1)\) 。
式 (8.3-25) 中的离散抽样信号 \(e(k)\) 经过 D/A 转换后就得到式 (8.3-26) 的 OFDM 信号 \(e(t)\) 。
如前所述，OFDM 信号采用多进制、多载频、并行传输的主要优点是使传输码元的持续时间大为增长，从而提高了信号的抗多径传输能力。为了进一步克服码间串扰的影响，一般利用计算 IDFT 时添加一个循环前缀的方法，在 OFDM 的相邻码元之间增加一个保护间隔，使相邻码元分离。
按照上述原理画出的 OFDM 调制原理方框图如图 8-18 所示。在接收端 OFDM 信号的解调过程是其调制的逆过程，这里不再赘述。
8.3 正交频分复用
8.4 小结¶
本章讨论先进的数字带通调制体制。这些体制是在第 7 章讨论的基本调制体制基础上发展出来的，它们的抗干扰性能更好，适应信道变化能力更强，并且频带利用率更高。但是，两者之间并没有明确的界限。这些体制包括 QAM、MSK、GMSK、OFDM。
MQAM 是一种振幅和相位联合键控的体制，其矢量图像星座又称星座调制。它比 MPSK 有更大的噪声容限，特别适合频带资源有限的场合。
MSK 和 GMSK 都属于改进的 FSK 体制。它们能够消除 FSK 体制信号的相位不连续性，并且其信号是严格正交的。此外，GMSK 信号的功率谱密度比 MSK 信号的更为集中。
OFDM 信号是一种多频率的频分调制体制。它具有优良的抗多径衰落能力，和对信道变化的自适应能力，适用于衰落严重的无线信道中。
思考题¶
8-1 何谓 MSK？其中文全称是什么？MSK 信号对每个码元持续时间 \(T_{\mathrm{B}}\) 内包含的载波周期数有何约束？
8-2 试述 MSK 信号的 6 个特点？
8-3 何谓 GMSK？其中文全称是什么？GMSK 信号有何优缺点？
8-4 何谓 OFDM? 其中文全称是什么？OFDM 信号的主要优点是什么？
8-5 在 OFDM 信号中，对各路子载频的间隔有何要求？
8-6 OFDM 体制和串行单载波体制相比，其频带利用率可以提高多少？
习题¶
8-1 已知 4PSK 系统的传输速率为 2400b/s, 试问:
(1) 4PSK 信号的谱零点带宽和频带利用率 \(\left(\mathrm{b}/\left(\mathrm{s}\cdot\mathrm{Hz}\right)\right)\) ;
（2）若对基带信号采用 \(\alpha=0.4\) 余弦滚降滤波预处理，再进行 4PSK 调制，这时占用的信道带宽和频带利用率为多大？
(3) 若传输带宽不变，而比特率加倍，则调制方式应作何改变？
8-2 设发送数字序列为 \(+1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 + 1\) ，试画出相应的 MSK 信号相位变
第 8 章
新型数字带通调制技术
化图。若码元速率为 1000B，载频为 3000Hz，试画出此 MSK 信号的波形。
8-3 设有一个 MSK 信号，其码元速率为 1000 波特，分别用频率 \(f_{1}\) 和 \(f_{0}\) 表示码元 “1” 和 “0”。若 \(f_{1} = 1250\mathrm{Hz}\) ，试确定 \(f_{0}\) 的值，并画出三个码元 “101” 的波形。
8-4 试证明式 (8.2-40) 是式 (8.2-39) 的傅里叶逆变换。
8-5 试证明式 (8.3-18)。
参考文献¶
