第9章 数字信号的最佳接收

第 9 章 数字信号的最佳接收

9.1 数字信号的统计特性

在 1.3.1 节中曾经提到过，数字通信系统传输质量的度量准则主要是错误判决的概率。因此，研究数字通信系统的理论基础主要是统计判决 (statistical decision) 理论。本节中将对统计判决理论中首先遇到的数字信号的统计表述作扼要介绍。

在数字通信系统中，接收端收到的是发送信号和信道噪声之和。噪声对数字信号的影响表现在使接收码元发生错误。在信号发送后，由于噪声的影响接收端收到的电压仍然有随机性，故为了了解接收码元发生错误的概率，需要研究接收电压的统计特性 (statistical characteristics)。下面将以二进制数字通信系统为例，描述接收电压的统计特性。

假设发送的二进制码元为 “0” 和 “1”，其发送概率（先验概率 prior probability）分别为 \(P(0)\) 和 \(P(1)\) ，则有

\[ P (0) + P (1) = 1 \tag {9.1-1} \]

并且假设系统中的噪声 \(n(t)\) 是一个均值为 0 的高斯分布随机过程，其任意 k 维联合概率密度函数按照式 (3.3-1) 可以写为

\[ f _ {k} \left(n _ {1}, n _ {2}, \dots , n _ {i}, \dots , n _ {k}; t _ {1}, t _ {2}, \dots , t _ {i}, \dots , t _ {k}\right) \]

式中： \(n_{i}\) 为在时刻 \(t_{i}\) 上噪声的抽样值。上式可简写为

\[ f _ {k} \left(n _ {1}, n _ {2}, \dots , n _ {i}, \dots , n _ {k}\right) \]

若噪声是高斯白噪声，则其在任意两个时刻上的抽样值都是互相独立的。若噪声是限带高斯白噪声，其最高频率分量小于 \(f_{H}\) , 则在以不小于奈奎斯特速率 \((2f_{H})\) 抽样时，各抽样值之间也是互相独立的。因此，其 k 维联合概率密度函数可以写为

\[ \begin{array}{l} f _ {k} \left(n _ {1}, n _ {2}, \dots , n _ {i}, \dots , n _ {k}\right) = f \left(n _ {1}\right) f \left(n _ {2}\right) \dots f \left(n _ {i}\right) \dots f \left(n _ {k}\right) \\ = \frac {1}{(\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}) ^ {k}} \exp \left(- \frac {1}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \sum_ {j = 1} ^ {k} n _ {j} ^ {2}\right) \tag {9.1-2} \\ \end{array} \]

式中： \(\sigma_{n}\) 为高斯噪声的标准偏差 (standard deviation)。

设在一个码元持续时间 \(T_{B}\) 内以 \(2f_{H}\) 的速率抽样，共得到 k 个抽样值: \(n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{i}, \cdots, n_{k}\) , 则有

\[ k = 2 f _ {\mathrm{H}} T _ {\mathrm{B}} \tag {9.1-3} \]

当 k 很大时，在一个码元持续时间 \(T_{B}\) 内接收的噪声平均功率可以表示为

\[ \frac {1}{k} \sum_ {j = 1} ^ {k} n _ {j} ^ {2} = \frac {1}{2 f _ {\mathrm{H}} T _ {\mathrm{B}}} \sum_ {j = 1} ^ {k} n _ {j} ^ {2} \tag {9.1-4} \]

或者将式 (9.1-4) 左端的求和式写成积分式，即

\[ \frac {1}{T _ {\mathrm{B}}} \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} n ^ {2} (t) \mathrm{d} t = \frac {1}{2 f _ {\mathrm{H}} T _ {\mathrm{B}}} \sum_ {j = 1} ^ {k} n _ {j} ^ {2} \tag {9.1-5} \]

将式 \((9.1-5)\) 关系代入式 \((9.1-2)\) ，并注意到

\[ \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2} = n _ {0} f _ {\mathrm{H}} \tag {9.1-6} \]

式中： \(n_{0}\) 为噪声单边功率谱密度。

式 \((9.1-2)\) 可以改写为

\[ f (\boldsymbol {n}) = \frac {1}{(\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}) ^ {k}} \exp \left[ - \frac {1}{n _ {0}} \int_ {0} ^ {T _ {*}} n ^ {2} (t) \mathrm{d} t \right] \tag {9.1-7} \]

式中： \(f(\boldsymbol{n})=f_{k}(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k})=f(n_{1})f(n_{2})\cdots f(n_{k})\) (9.1-8)

\(\boldsymbol{n}=(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k})\) ，为 k 维矢量，表示一个码元内噪声的 k 个抽样值。

需要注意， \(f(n)\) 不是时间函数，虽然式 (9.1-7) 中有时间函数 \(n(t)\) ，但是后者在定积分内，积分后已经与时间变量 t 无关。n 是一个 k 维矢量，它可以看作是 k 维空间中的一个点。在码元持续时间 \(T_{B}\) 、噪声单边功率谱密度 \(n_{0}\) 和抽样数 k（它和系统带宽有关）给定后， \(f(n)\) 仅决定于该码元期间内噪声的能量 \(\int_{0}^{T_{B}} n^{2}(t) \, dt\) 。由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声 \(n(t)\) 的波形和能量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而另一些则无错。

设接收电压 \(r(t)\) 为信号电压 \(s(t)\) 和噪声电压 \(n(t)\) 之和：

\[ r (t) = s (t) + n (t) \tag {9.1-9} \]

则在发送码元确定之后，接收电压 \(r(t)\) 的随机性将完全由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为 \(\sigma_{n}^{2}\) , 但是均值变为 \(s(t)\) 。所以，当发送码元 “0” 的信号波形为 \(s_{0}(t)\) 时，接收电压 \(r(t)\) 的 k 维联合概率密度 (joint probability density) 函数为

\[ f _ {0} (\boldsymbol {r}) = \frac {1}{(\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}) ^ {k}} \exp \left\{- \frac {1}{n _ {0}} \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} [ r (t) - s _ {0} (t) ] ^ {2} \mathrm{d} t \right\} \tag {9.1-10} \]

式中： \(r=s+n\) ，为 k 维矢量，表示一个码元内接收电压的 k 个抽样值；s 为 k 维矢量，表示一个码元内信号电压的 k 个抽样值。

同理，当发送码元 “1” 的信号波形为 \(s_{1}(t)\) 时，接收电压 \(r(t)\) 的 k 维联合概率密度函数为

\[ f _ {1} (\boldsymbol {r}) = \frac {1}{(\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}) ^ {k}} \exp \left\{- \frac {1}{n _ {0}} \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} [ r (t) - s _ {1} (t) ] ^ {2} \mathrm{d} t \right\} \tag {9.1-11} \]

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数字信号的统计特性

顺便指出，若通信系统传输的是 M 进制码元，即可能发送 \(s_{1}, s_{2}, \cdots, s_{i}, \cdots, s_{M}\) 之一，则按上述原理不难写出当发送码元是 \(s_{i}\) 时，接收电压的 k 维联合概率密度函数为

\[ f _ {i} (\boldsymbol {r}) = \frac {1}{(\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}) ^ {k}} \exp \left\{- \frac {1}{n _ {0}} \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} [ r (t) - s _ {i} (t) ] ^ {2} \mathrm{d} t \right\} \tag {9.1-12} \]

我们仍需记住，式 (9.1-10)～式 (9.1-12) 中的 \(k\) 维联合概率密度函数不是时间 \(t\) 的函数，并且是一个标量，而 \(\pmb{r}\) 仍是 \(k\) 维空间中的一个点，是一个矢量（vector）。

9.2 数字信号的最佳接收

由于数字通信系统传输质量的主要指标是错误概率。因此，将错误概率最小作为 “最佳” 的准则是恰当的。由于在接收信号时码元产生错误判决的原因是噪声和系统特性引起的信号失真。在本章中暂不考虑失真的影响，主要讨论在二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最小，从而达到最佳接收的效果。

这里附带指出，模拟信号也有最佳接收方法。但是，其最佳准则不同。下面仅就数字信号的最佳接收 (optimum reception) 问题进行讨论。

设在一个二进制通信系统中发送码元 “1” 的概率为 \(P(1)\) ，发送码元 “0” 的概率为 \(P(0)\) ，则总误码率 \(P_{c}\) 为

\[ P _ {\mathrm{e}} = P (1) P _ {\mathrm{el}} + P (0) P _ {\mathrm{e0}} \tag {9.2-1} \]

式中： \(P_{e1}=P(0/1)\) ，为发送 “1” 时，接收到 “0” 的条件概率； \(P_{e0}=P(1/0)\) ，为发送 “0” 时，接收到 “1” 的条件概率。这两个条件概率称为错误转移概率。

发送概率 \(P(1)\) 和 \(P(0)\) 在数学上又称为先验概率；而 \(P(0/1)\) 和 \(P(1/0)\) 称为后验概率。

按照上述分析，接收端收到的每个码元持续时间内的电压可以用一个 k 维矢量 r 表示。接收设备需要对每个接收矢量 r 作判决，判定它是发送码元 “0”, 还是 “1”, 不能不作出判决，也不能同时作出两个不同的判决。

由接收矢量 r 决定的两个联合概率密度函数 \(f_{0}(r)\) 和 \(f_{1}(r)\) 的曲线画在图 9-1 中（此图只是一个不严格的示意图。因为 r 是多维矢量，但是在图中仅把它当作一维矢量画出）。可以将此空间划分为两个区域（region） \(A_{0}\) 和 \(A_{1}\) ，其边界是 \(r'_{0}\) ，并将判决规则规定为

若接收矢量 r 落在区域 \(A_{0}\) 内，则判为发送码元是 “0”；

若接收矢量 r 落在区域 \(A_{1}\) 内，则判为发送码元是 “1”。

显然，区域 \(A_0\) 和区域 \(A_{1}\) 是两个互不相容的区域。当这两个区域的边界 \(\pmb{r}_0^{\prime}\) 确定后，错误概率也随之确定了。

这样，式 \((9.2-1)\) 表示的总误码率可以写为

第 9 章 数字信号的最佳接收

\[ P _ {e} = P (1) P (A _ {0} / 1) + P (0) P (A _ {1} / 0) \tag {9.2-2} \]

式中： \(P(A_{0}/1)\) 表示发送 “1” 时，矢量 r 落在区域 \(A_{0}\) 的条件概率； \(P(A_{1}/0)\) 表示发送 “0” 时，矢量 r 落在区域 \(A_{1}\) 的条件概率。考虑到式 (9.1-10) 和式 (9.1-11)，这两个条件概率可以写为

\[ P (A _ {0} / 1) = \int_ {A _ {0}} f _ {1} (\boldsymbol {r}) \mathrm{d} \boldsymbol {r} \tag {9.2-3} \]

\[ P (A _ {1} / 0) = \int_ {A _ {1}} f _ {0} (\boldsymbol {r}) \mathrm{d} \boldsymbol {r} \tag {9.2-4} \]

这两个概率在图 9-1 中分别由两块阴影面积表示。将上两式代入式 (9.2-2)，得到

\[ P _ {e} = P (1) \int_ {A _ {0}} f _ {1} (\boldsymbol {r}) \mathrm{d} \boldsymbol {r} + P (0) \int_ {A _ {1}} f _ {0} (\boldsymbol {r}) \mathrm{d} \boldsymbol {r} \tag {9.2-5} \]

参考图 9-1 可知，式 (9.2-5) 可以写为

\[ P _ {e} = P (1) \int_ {- \infty} ^ {r _ {0} ^ {\prime}} f _ {1} (\boldsymbol {r}) \mathrm{d} \boldsymbol {r} + P (0) \int_ {r _ {0} ^ {\prime}} ^ {\infty} f _ {0} (\boldsymbol {r}) \mathrm{d} \boldsymbol {r} \tag {9.2-6} \]

式 (9.2-6) 表示 \(P_{e}\) 是 \(r_{0}^{\prime}\) 的函数。为了求出使 \(P_{e}\) 最小的判决分界点 \(r_{0}^{\prime}\) ，将上式对 \(r_{0}^{\prime}\) 求导：

\[ \frac {\partial P _ {e}}{\partial \boldsymbol {r} _ {0} ^ {\prime}} = P (1) f _ {1} (\boldsymbol {r} _ {0} ^ {\prime}) - P (0) f _ {0} (\boldsymbol {r} _ {0} ^ {\prime}) \tag {9.2-7} \]

并令导函数等于 0, 求出最佳分界点 \(r_{0}\) 的条件:

\[ P (1) f _ {1} (\boldsymbol {r} _ {0}) - P (0) f _ {0} (\boldsymbol {r} _ {0}) = 0 \tag {9.2-8} \]

即

\[ \frac {P (1)}{P (0)} = \frac {f _ {0} (\boldsymbol {r} _ {0})}{f _ {1} (\boldsymbol {r} _ {0})} \tag {9.2-9} \]

当先验概率相等时，即 \(P(1)=P(0)\) 时， \(f_{0}(\boldsymbol{r}_{0})=f_{1}(\boldsymbol{r}_{0})\) ，所以最佳分界点位于图 9-1 中两条曲线交点处的 r 值上。

在判决边界确定之后，按照接收矢量 r 落在区域 \(A_{0}\) 应判为收到的是 “0” 的判决准则，这时有

\[ \text { 若 } \frac {P (1)}{P (0)} < \frac {f _ {0} (\pmb {r})}{f _ {1} (\pmb {r})}, \text { 则判为“0” } \tag {9.2-10a} \]

反之 若 \(\frac{P(1)}{P(0)} > \frac{f_{0}(\boldsymbol{r})}{f_{1}(\boldsymbol{r})}\) ，则判为 “1” (9.2 - 10b)

在发送 “0” 和发送 “1” 的先验概率相等时，即 \(P(1)=P(0)\) 时，式 (9.2-10) 的条件简化为

\[ \text { 若 } f _ {0} (\boldsymbol {r}) > f _ {1} (\boldsymbol {r}), \text { 则判为“0” } \tag {9.2-11a} \]

\[ \text { 若 } f _ {0} (\boldsymbol {r}) < f _ {1} (\boldsymbol {r}), \text { 则判为“1” } \tag {9.2-11b} \]

9.2 数字信号的最佳接收

这个判决准则常称为最大似然准则 (maximum likelihood criterion)。

式 \((9.2-10a)\) 可以改写为

若 \(P(0)f_{0}(\boldsymbol{r}) > P(1)f_{1}(\boldsymbol{r})\) ，则判为 “0” (9.2-12)

当 \(P(\pmb {r}) > 0\) ，式 (9.2-12) 两边可以同除以 \(P(\pmb {r})\) ，这样式 (9.2-12) 变为

若 \(\frac{P(0)f_{0}(\boldsymbol{r})}{P(\boldsymbol{r})} > \frac{P(1)f_{1}(\boldsymbol{r})}{P(\boldsymbol{r})}\) ，则判为 “0” (9.2-13)

式中： \(P(r)\) 为接收 r 的概率。

由概率论 (贝叶斯定理) 得知，上式可以写改为

若 \(f_{r}(0) > f_{r}(1)\) ，则判为 “0” (9.2-14a)

同理，式 (9.2-10b) 可以写为

若 \(f_{r}(0) < f_{r}(1)\) ，则判为 “1” (9.2-14b)

式中： \(f_{r}(1)\) 为收到 r 后发送 “1” 的条件概率； \(f_{r}(0)\) 为收到 r 后发送 “0” 的条件概率。它们在数学上称为后验概率。所以，式 (9.2-14a) 和式 (9.2-14b) 称为最大后验概率准则（maximum a posteriori probability criterion）。由式 (9.2-13) 可见，后验概率和先验概率 \(P(0)\) 及 \(P(1)\) 有关。

按照上述的最大似然准则和最大后验概率准则判决都可以得到理论上最佳的误码率，即达到理论上的误码率最小值。

以上对于二进制数字通信系统最佳接收准则的分析，可以容易地推广到多进制信号的场合。设在一个 M 进制数字通信系统中，可能的发送码元是 \(s_{1}, s_{2}, \cdots, s_{i}, \cdots, s_{M}\) 之一，它们的先验概率相等，能量相等。当发送码元是 \(s_{i}\) 时，由式 (9.1-12) 给出，接收电压 r 的 k 维联合概率密度函数为

\[ f _ {i} (\boldsymbol {r}) = \frac {1}{(\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}) ^ {k}} \exp \left\{- \frac {1}{n _ {0}} \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{s}}} [ r (t) - s _ {i} (t) ] ^ {2} \mathrm{d} t \right\} \]

于是，若

\[ f _ {i} (\boldsymbol {r}) > f _ {j} (\boldsymbol {r}) \quad \left\{ \begin{array}{l} j \neq i \\ j = 1, 2, \dots , M \end{array} \right. \tag {9.2-15} \]

则判为 \(s_i(t)\) 。

9.3 确知数字信号的最佳接收机

确知信号是指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的信号。在理想的恒参信道中接收到的数字信号可以认为是确知信号。本节将讨论如何按照 9.2 节的最佳接收准则来构造二进制数字信号的最佳接收机 (optimum receiver)。

设在一个二进制数字通信系统中，两种接收码元的波形 \(s_0(t)\) 和 \(s_1(t)\) 是确知的，其持续时间为 \(T_{\mathrm{B}}\) ，且能量相同。由 9.1 节中式 (9.1-10) 和式 (9.1-11) 得知接收电压 \(r(t)\) 的 \(k\) 维联合概率密度为：

当发送码元为 “0”，其波形为 \(s_{0}(t)\) 时，接收电压的概率密度为

第 9 章 数字信号的最佳接收

\[ f _ {0} (\boldsymbol {r}) = \frac {1}{(\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}) ^ {k}} \exp \left\{- \frac {1}{n _ {0}} \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} [ r (t) - s _ {0} (t) ] ^ {2} \mathrm{d} t \right\} \]

当发送码元为 “1”，其波形为 \(s_{1}(t)\) 时，接收电压的概率密度为

\[ f _ {1} (\boldsymbol {r}) = \frac {1}{(\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}) ^ {k}} \exp \left\{- \frac {1}{n _ {0}} \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} [ r (t) - s _ {1} (t) ] ^ {2} \mathrm{d} t \right\} \]

因此，将式 (9.1-10) 和式 (9.1-11) 代入判决准则式 (9.2-10a) 和式 (9.2-10b), 经过简化，得到

若 \(P(1)\exp \left\{-\frac{1}{n_0}\int_0^{T_B}[r(t) - s_1(t)]^2\mathrm{d}t\right\} < P(0)\exp \left\{-\frac{1}{n_0}\int_0^{T_B}[r(t) - s_0(t)]^2\mathrm{d}t\right\} \tag{9.3-1}\)

则判为发送码元是 \(s_{0}(t)\) ;

若 \(P(1)\exp \left\{-\frac{1}{n_0}\int_0^{T_{\mathrm{B}}}[r(t) - s_1(t)]^2\mathrm{d}t\right\} > P(0)\exp \left\{-\frac{1}{n_0}\int_0^{T_{\mathrm{B}}}[r(t) - s_0(t)]^2\mathrm{d}t\right\} \tag{9.3-2}\)

则判为发送码元是 \(s_{1}(t)\) 。

将式 \((9.3-1)\) 和式 \((9.3-2)\) 的两端分别取对数，得

若 \(n_0\ln \frac{1}{P(1)} +\int_0^{T_\mathrm{B}}[r(t) - s_1(t)]^2\mathrm{d}t > n_0\ln \frac{1}{P(0)} +\int_0^{T_\mathrm{B}}[r(t) - s_0(t)]^2\mathrm{d}t\) (9.3-3)

则判为发送码元是 \(s_{0}(t)\) ; 反之则判为发送码元是 \(s_{1}(t)\) 。由于已经假设两个码元的能量相同，即

\[ \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} s _ {0} ^ {2} (t) \mathrm{d} t = \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} s _ {1} ^ {2} (t) \mathrm{d} t \tag {9.3-4} \]

所以式 \((9.3-3)\) 还可以进一步简化为

若 \(W_{1} + \int_{0}^{T_{\mathrm{B}}}r(t)s_{1}(t)\mathrm{d}t < W_{0} + \int_{0}^{T_{\mathrm{B}}}r(t)s_{0}(t)\mathrm{d}t\) (9.3-5)

式中

\[ \left\{ \begin{array}{l} W _ {0} = \frac {n _ {0}}{2} \ln P (0) \\ W _ {1} = \frac {n _ {0}}{2} \ln P (1) \end{array} \right. \tag {9.3-6} \]

则判为发送码元是 \(s_{0}(t)\) ; 反之，则判为发送码元是 \(s_{1}(t)\) 。 \(W_{0}\) 和 \(W_{1}\) 可以看作是由先验概率决定的加权因子 (weighting factor)。

由式 (9.3-5) 表示的判决准则可以得出最佳接收机的原理方框图，如图 9-2 所示。若此二进制信号的先验概率相等，则式 (9.3-5) 简化为

9.3 确知数字信号的最佳接收机

\[ \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} r (t) s _ {1} (t) \mathrm{d} t < \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} r (t) s _ {0} (t) \mathrm{d} t \tag {9.3-7} \]

而最佳接收机的原理方框图也可以简化成如图 9-3 所示。这时，由先验概率决定的加权因子消失了。

由上述讨论不难推出 M 进制等先验概率、等能量的正交信号（例如采用多频制的信号）的最佳接收机原理方框图（图 9-4）。

上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算，所以常称这种算法为相关接收 (correlation reception) 法。由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。9.4 节将讨论这种接收机的误码率性能。

9.4 确知数字信号最佳接收的误码率

本节主要讨论二进制信号的最佳误码率，并在最后给出多进制信号的最佳误码率。

第 9 章 数字信号的最佳接收

式 \((9.3-3)\) 给出，在最佳接收机中，若

\[ n _ {0} \ln {\frac {1}{P (1)}} + \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} [ r (t) - s _ {1} (t) ] ^ {2} \mathrm{d} t > n _ {0} \ln {\frac {1}{P (0)}} + \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} [ r (t) - s _ {0} (t) ] ^ {2} \mathrm{d} t \]

则判为发送码元是 \(s_0(t)\) 。因此，在发送码元为 \(s_1(t)\) 时，若式 (9.3-3) 成立，则将发生错误判决。所以若将 \(r(t) = s_1(t) + n(t)\) 代入式 (9.3-3)，则式 (9.3-3) 成立的概率就是在发送码元 “1” 的条件下收到 “0” 的概率，即发生错误的条件概率 \(P(0/1)\) 。此条件概率的计算结果如下（计算过程见附录 F）：

\[ P (0 / 1) = P (\xi < a) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\xi}} \int_ {- \infty} ^ {a} \mathrm{e} ^ {- \frac {x ^ {2}}{2 \sigma_ {\xi} ^ {2}}} \mathrm{d} x \tag {9.4-1} \]

式中： \(a = \frac{n_0}{2}\ln \frac{P(0)}{P(1)} -\frac{1}{2}\int_0^{T_\mathrm{B}}[s_1(t) - s_0(t)]^2\mathrm{d}t\) (9.4-2）

\[ \sigma_ {\xi} ^ {2} = D (\xi) = \frac {n _ {0}}{2} \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} [ s _ {1} (t) - s _ {0} (t) ] ^ {2} \mathrm{d} t \tag {9.4-3} \]

同理，可以求出发送 \(s_{0}(t)\) 时，判决为收到 \(s_{1}(t)\) 的条件错误概率为

\[ P (1 / 0) = P (\xi < b) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\xi}} \int_ {- \infty} ^ {b} \mathrm{e} ^ {- \frac {x ^ {2}}{2 \sigma_ {\xi} ^ {2}}} \mathrm{d} x \tag {9.4-4} \]

式中： \(b = \frac{n_0}{2}\ln \frac{P(1)}{P(0)} -\frac{1}{2}\int_0^{T_\mathrm{B}}[s_0(t) - s_1(t)]^2\mathrm{d}t\) (9.4-5）

因此，总误码率为

\[ \begin{array}{l} P _ {\mathrm{e}} = P (1) P (0 / 1) + P (0) P (1 / 0) \\ = P (1) \left[ \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\xi}} \int_ {- \infty} ^ {a} \mathrm{e} ^ {- \frac {x ^ {2}}{2 \sigma_ {\xi} ^ {2}}} \mathrm{d} x \right] + P (0) \left[ \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\xi}} \int_ {- \infty} ^ {b} \mathrm{e} ^ {- \frac {x ^ {2}}{2 \sigma_ {\xi} ^ {2}}} \mathrm{d} x \right] \tag {9.4-6} \\ \end{array} \]

现在先考察先验概率对误码率的影响。由式 (9.4-2) 和式 (9.4-5) 可以看出，当先验概率 \(P(0)=0\) 及 \(P(1)=1\) 时， \(a=-\infty\) 及 \(b=\infty\) ，因此由式 (9.4-6) 计算出总误码率 \(P_{e}=0\) 。在物理意义上，这时由于发送码元只有一种可能性，即是确定的 “1”。因此，不会发生错误。同理，若 \(P(0)=1\) 及 \(P(1)=0\) ，总误码率也为零。当 \(P(0)=P(1)=1/2\) 时，a=b。这样，式 (9.4-6) 可以化简为

\[ P _ {e} = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\xi}} \int_ {- \infty} ^ {c} \mathrm{e} ^ {- \frac {x ^ {2}}{2 \sigma_ {\xi} ^ {2}}} \mathrm{d} x \tag {9.4-7} \]

式中： \(c = -\frac{1}{2}\int_{0}^{T_{\mathrm{B}}}[s_0(t) - s_1(t)]^2\mathrm{d}t\) (9.4-8)

式 (9.4-7) 和式 (9.4-8) 表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率 \(\sigma_{\xi}^{2}\) ，误码率仅和两种码元波形之差 \([s_0(t) - s_1(t)]\) 的能量有关，而与波形本身无关。差别越大， \(c\) 值越小，误码率 \(P_{e}\) 也越小。由计算表明，先验概率不等时的误码率将略小于先验概率相等时的误码率。这就是说，就误码率而言，先验概率相等是最坏的情况。

下面我们将根据式 \((9.4-7)\) 进一步讨论先验概率相等时误码率的计算。

由于在噪声强度给定的条件下，误码率完全决定于信号码元的区别，所以我们现在给出定量地描述码元区别的一个参量，即码元的相关系数 (correlation coefficient) \(\rho\) , 其定义如下:

9.4

确知数字信号最佳接收的误码率

\[ \rho = \frac {\int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} s _ {0} (t) s _ {1} (t) \mathrm{d} t}{\sqrt {\left[ \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} s _ {0} ^ {2} (t) \mathrm{d} t \right] \left[ \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} s _ {1} ^ {2} (t) \mathrm{d} t \right]}} = \frac {\int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} s _ {0} (t) s _ {1} (t) \mathrm{d} t}{\sqrt {E _ {0} E _ {1}}} \tag {9.4-9} \]

式中： \(E_0,E_1\) 为信号码元的能量， \(E_0 = \int_0^{T_\mathrm{B}}s_0^2 (t)\mathrm{d}t,\qquad E_1 = \int_0^{T_\mathrm{B}}s_1^2 (t)\mathrm{d}t\) （9.4-10）

当 \(s_{0}(t)=s_{1}(t)\) 时， \(\rho=1\) ，为最大值；当 \(s_{0}(t)=-s_{1}(t)\) 时， \(\rho=-1\) ，为最小值。所以 \(\rho\) 的取值范围在 \(-1\leqslant\rho\leqslant+1\) 。当两码元的能量相等时，令 \(E_{0}=E_{1}=E_{b}\) ，则式 (9.4-9) 可以写成

\[ \rho = \frac {\int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} s _ {0} (t) s _ {1} (t) \mathrm{d} t}{E _ {\mathrm{b}}} \tag {9.4-11} \]

且式 \((9.4-8)\) 变成

\[ c = - \frac {1}{2} \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} [ s _ {0} (t) - s _ {1} (t) ] ^ {2} \mathrm{d} t = - E _ {\mathrm{b}} (1 - \rho) \tag {9.4-12} \]

将式 \((9.4-12)\) 代入式 \((9.4-7)\) ，得

\[ P _ {e} = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\xi}} \int_ {- \infty} ^ {t} \mathrm{e} ^ {- \frac {x ^ {2}}{2 \sigma_ {\xi} ^ {2}}} \mathrm{d} x = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\xi}} \int_ {- \infty} ^ {- E _ {\mathrm{b}} (1 - \rho)} \mathrm{e} ^ {- \frac {x ^ {2}}{2 \sigma_ {\xi} ^ {2}}} \mathrm{d} x \tag {9.4-13} \]

为了将式 \((9.4-13)\) 变成实用的形式，作如下的代数变换:

令 \(z = x / \sqrt{2} \sigma_{\xi}\) ，则 \(z^{2} = x^{2} / 2 \sigma_{\xi}^{2}\) ， \(dz = dx / \sqrt{2} \sigma_{\xi}\) ，于是式 (9.4-13) 变为

\[ P _ {e} = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\xi}} \int_ {- \infty} ^ {- E _ {\mathrm{b}} (1 - \rho) / \sqrt {2} \sigma_ {\xi}} \mathrm{e} ^ {- z ^ {2}} \sqrt {2} \sigma_ {\xi} \mathrm{d} z = \frac {1}{\sqrt {\pi}} \int_ {- \infty} ^ {- E _ {\mathrm{b}} (1 - \rho) / \sqrt {2} \sigma_ {\xi}} \mathrm{e} ^ {- z ^ {2}} \mathrm{d} z = \]

\[ \frac {1}{\sqrt {\pi}} \int_ {E _ {\mathrm{b}} (1 - \rho) / \sqrt {2} \sigma_ {\xi}} ^ {\infty} \mathrm{e} ^ {- z ^ {2}} \mathrm{d} z = \frac {1}{2} \left[ \frac {2}{\sqrt {\pi}} \int_ {E _ {\mathrm{b}} (1 - \rho) / \sqrt {2} \sigma_ {\xi}} ^ {\infty} \mathrm{e} ^ {- z ^ {2}} \mathrm{d} z \right] = \frac {1}{2} \left\{1 - \operatorname{erf} \left[ \frac {E _ {\mathrm{b}} (1 - \rho)}{\sqrt {2} \sigma_ {\xi}} \right] \right\} \tag {9.4-14} \]

式中： \(\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}\mathrm{e}^{-z^{2}}\mathrm{d}z\) 。

利用式 \((9.4-3)\) 的关系，将式 \((9.4-14)\) 中的 \(\sigma_{\xi}\) 用 \(n_{0}\) 代替，最终变成误码率公式的如下实用形式:

\[ P _ {e} = \frac {1}{2} \left[ 1 - \operatorname{erf} \left(\sqrt {\frac {E _ {\mathrm{b}} (1 - \rho)}{2 n _ {0}}}\right) \right] = \frac {1}{2} \operatorname{erfc} \left[ \sqrt {\frac {E _ {\mathrm{b}} (1 - \rho)}{2 n _ {0}}} \right] \tag {9.4-15} \]

式中： \(\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}\mathrm{e}^{-z^{2}}\mathrm{d}z\) ，为误差函数（error function）； \(\mathrm{erfc}(x)=1-\mathrm{erf}(x)\) ，为补误差函数（complementary error function）； \(E_{b}\) 为码元能量； \(\rho\) 为码元相关系数； \(n_{0}\) 为噪声功率谱密度。

式 (9.4-15) 是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳 (最小可能) 值。在图 9-5 中画出了它的曲线。实际通信系统中得到的误码率只可能比它差，但是绝对不可能超过它。

第 9 章 数字信号的最佳接收

由该式可以看出最佳接收性能有下列特点。首先，误码率仅和 \(E_{b}/n_{0}\) 以及相关系数 \(\rho\) 有关，与信号波形及噪声功率无直接关系。码元能量 \(E_{b}\) 与噪声功率谱密度 \(n_{0}\) 之比，实际上相当于信号噪声功率比 \(P_{s}/P_{n}\) 。因为若系统带宽 B 等于 \(1/T_{B}\) ，则有

\[ \frac {E _ {\mathrm{b}}}{n _ {0}} = \frac {P _ {\mathrm{s}} T _ {\mathrm{B}}}{n _ {0}} = \frac {P _ {\mathrm{s}}}{n _ {0} (1 / T _ {\mathrm{B}})} = \frac {P _ {\mathrm{s}}}{n _ {0} B} = \frac {P _ {\mathrm{s}}}{P _ {\mathrm{n}}} \tag {9.4-16} \]

由 6.4.2 节的讨论可知，按照能消除码间串扰的奈奎斯特速率传输基带信号时，所需的最小带宽为 \(1/2T_{\mathrm{B}}(\mathrm{Hz})\) 。对于已调信号，若采用的是 2PSK 或 2ASK 信号，则其占用带宽应当是基带信号带宽的 2 倍，即恰好是 \(1/T_{\mathrm{B}}(\mathrm{Hz})\) 。所以，在工程上，通常把 \((E_{\mathrm{b}}/n_{0})\) 当作信号噪声功率比看待。

其次，相关系数 \(\rho\) 对于误码率的影响很大。当两种码元的波形相同，相关系数最大，即 \(\rho = 1\) 时，误码率最大。这时的误码率 \(P_{e} = 1/2\) 。因为这时两种码元波形没有区别，接收端是在没有根据的乱猜。当两种码元的波形相反，相关系数最小，即 \(\rho = -1\) 时，误码率最小。这时的最小误码率为

\[ P _ {\mathrm{e}} = \frac {1}{2} \Big [ 1 - \operatorname{erf} \Big (\sqrt {\frac {E _ {\mathrm{b}}}{n _ {0}}} \Big) \Big ] = \frac {1}{2} \operatorname{erfc} \Big (\sqrt {\frac {E _ {\mathrm{b}}}{n _ {0}}} \Big) \tag {9.4-17} \]

例如，2PSK 信号的相关系数等于 -1。

当两种码元正交，即相关系数 \(\rho=0\) 时，误码率为

\[ P _ {\mathrm{c}} = \frac {1}{2} \left[ 1 - \operatorname{erf} \left(\sqrt {\frac {E _ {\mathrm{b}}}{2 n _ {0}}}\right) \right] = \frac {1}{2} \operatorname{erfc} \left[ \sqrt {\frac {E _ {\mathrm{b}}}{2 n _ {0}}} \right] \tag {9.4-18} \]

例如，一般说来，2FSK 信号的相关系数等于或近似等于零。

若两种码元中有一种的能量等于零，例如 2ASK 信号，则误码率按照式 (9.4-12), 有

\[ c = - \frac {1}{2} \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} [ s _ {0} (t) ] ^ {2} \mathrm{d} t \tag {9.4-19} \]

将式 \((9.4-19)\) 代入式 \((9.4-7)\) ，经过化简后得到

\[ P _ {e} = \frac {1}{2} \left(1 - \operatorname{erf} \sqrt {\frac {E _ {\mathrm{b}}}{4 n _ {0}}}\right) = \frac {1}{2} \operatorname{erfc} \left(\sqrt {\frac {E _ {\mathrm{b}}}{4 n _ {0}}}\right) \tag {9.4-20} \]

比较式 (9.4-17)、式 (9.4-18) 和式 (9.4-20)，它们之间的性能差 3dB。这表明，在上述例子中，2ASK 信号的性能比 2FSK 信号的性能差 3dB，而 2FSK 信号的性能又比 2PSK 信号的性能差 3dB。

9.4 确知数字信号最佳接收的误码率

对于多进制通信系统，若不同码元的信号正交，且先验概率相等，能量也相等，则按 9.2 节和 9.3 节中给出的多进制系统的判决准则和其最佳接收机的原理方框图，可以计算出多进制系统的最佳误码率性能。计算过程较为烦琐，仅给出计算结果如下 \(^{[1]}\) :

\[ P _ {\mathrm{e}} = 1 - \frac {1}{\sqrt {2 \pi}} \int_ {- \infty} ^ {\infty} \left[ \int_ {- \infty} ^ {y + (\frac {2 E}{n _ {0}}) ^ {1 / 2}} \frac {1}{\sqrt {2 \pi}} \mathrm{e} ^ {- \frac {x ^ {2}}{2}} \mathrm{d} x \right] ^ {M - 1} \mathrm{e} ^ {- \frac {y ^ {2}}{2}} \mathrm{d} y \tag {9.4-21} \]

式中：M 为进制数；E 为 M 进制码元能量； \(n_{0}\) 为单边噪声功率谱密度。

由于一个 M 进制码元中含有的比特数 k 等于 \(\log_{2}M\) ，故每个比特的能量为

\[ E _ {\mathrm{b}} = E / \log_ {2} M \tag {9.4-22} \]

并且每比特的信噪比为

\[ \frac {E _ {\mathrm{b}}}{n _ {0}} = \frac {E}{n _ {0} \log_ {2} M} = \frac {E}{n _ {0} k} \tag {9.4-23} \]

在图 9-6 中画出了误码率 \(P_{e}\) 与 \(E_{b}/n_{0}\) 关系曲线。由此曲线看出，对于给定的误码率，当 k 增大时，需要的信噪比 \(E_{b}/n_{0}\) 减小。当 k 增大到 \(\infty\) 时，误码率曲线变成一条垂直线；这时只要 \(E_{b}/n_{0}=0.693(-1.6\mathrm{dB})\) ，就能得到无误码的传输。

9.5 随相数字信号的最佳接收

在 4.4 节中提到过，经过信道传输后码元相位带有随机性的信号称为随相信号。现在就能量相等、先验概率相等、互不相关的 2FSK 信号及存在带限白色高斯噪声的通信系统讨论最佳接收问题。假设接收信号码元相位的概率密度服从均匀分布。因此，可以将此信号表示为

\[ s _ {0} (t, \varphi_ {0}) = A \cos (\omega_ {0} t + \varphi_ {0}) \tag {9.5-1a} \]

\[ s _ {1} (t, \varphi_ {1}) = A \cos (\omega_ {1} t + \varphi_ {1}) \tag {9.5-1b} \]

及将此信号随机相位 \(\varphi_0\) 和 \(\varphi_{1}\) 的概率密度表示为

\[ f (\varphi_ {0}) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 / 2 \pi & 0 \leqslant \varphi_ {0} < 2 \pi \\ 0 & \text {其他} \end{array} \right. \tag {9.5-2} \]

\[ f (\varphi_ {1}) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 / 2 \pi & 0 \leqslant \varphi_ {1} < 2 \pi \\ 0 & \text {其他} \end{array} \right. \tag {9.5-3} \]

由于已假设码元能量相等，故有

\[ \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} s _ {0} ^ {2} (t, \varphi_ {0}) \mathrm{d} t = \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} s _ {1} ^ {2} (t, \varphi_ {1}) \mathrm{d} t = E _ {\mathrm{b}} \tag {9.5-4} \]

第 9 章 数字信号的最佳接收

在讨论确知信号的最佳接收时，对于先验概率相等的信号，我们是按照式 (9.2-11a) 和式 (9.2-11b) 作判决的，即

\[ \left\{ \begin{array}{l l} {\text {若} f _ {0} (\pmb {r}) > f _ {1} (\pmb {r}),} & {\text {则判为} “ 0 ”} \\ {\text {若} f _ {0} (\pmb {r}) < f _ {1} (\pmb {r}),} & {\text {则判为} “ 1 ”} \end{array} \right. \]

现在，由于接收矢量 \(r\) 具有随机相位，故式 (9.2-11a) 和式 (9.2-11b) 中的 \(f_{0}(r)\) 和 \(f_{1}(r)\) 分别可以表示为：

\[ f _ {0} (\boldsymbol {r}) = \int_ {0} ^ {2 \pi} f (\varphi_ {0}) f _ {0} (\boldsymbol {r} / \varphi_ {0}) \mathrm{d} \varphi_ {0} \tag {9.5-5} \]

\[ f _ {1} (\boldsymbol {r}) = \int_ {0} ^ {2 \pi} f (\varphi_ {1}) f _ {1} (\boldsymbol {r} / \varphi_ {1}) \mathrm{d} \varphi_ {1} \tag {9.5-6} \]

式 \((9.5-5)\) 和式 \((9.5-6)\) 经过复杂的计算 (见附录 H) 后，代入式 \((9.2-11a)\) 和式 \((9.2-11b)\) , 就可以得出最终的判决条件:

\[ \left\{ \begin{array}{l l} \text {若接收矢量} r \text {使} M _ {1} ^ {2} < M _ {0} ^ {2}, & \text {则判为发送码元是“0”} \\ \text {若接收矢量} r \text {使} M _ {0} ^ {2} < M _ {1} ^ {2}, & \text {则判为发送码元是“1”} \end{array} \right. \tag {9.5-7} \]

式 \((9.5-7)\) 就是最终判决条件，其中:

\[ M _ {0} = \sqrt {X _ {0} ^ {2} + Y _ {0} ^ {2}} \tag {9.5-8} \]

\[ M _ {1} = \sqrt {X _ {1} ^ {2} + Y _ {1} ^ {2}} \tag {9.5-9} \]

\[ X _ {0} = \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} r (t) \cos \omega_ {0} t \mathrm{d} t \tag {9.5-10} \]

\[ Y _ {0} = \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} r (t) \sin \omega_ {0} t \mathrm{d} t \tag {9.5-11} \]

\[ X _ {1} = \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} r (t) \cos \omega_ {1} t \mathrm{d} t \tag {9.5-12} \]

\[ Y _ {1} = \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} r (t) \sin \omega_ {1} t \mathrm{d} t \tag {9.5-13} \]

按照式 (9.5-7) 的判决准则构成的随相信号最佳接收机的结构示于图 9-7 中。图中的 4 个相关器分别完成式 (9.5-10)\~ 式 (9.5-13) 中的相关运算，得到 \(X_{0}, Y_{0}, X_{1}\) 和 \(Y_{1}\) 。后者经过平方后，两两相加，得到 \(M_{0}^{2}\) 和 \(M_{1}^{2}\) ，再比较其大小，按式 (9.5-7) 作出判决。

上述随相信号最佳接收机得到的误码率，用类似 9.4 节的分析方法，可以计算出来，结果如下 \(^{[1]}\) :

\[ P _ {e} = \frac {1}{2} \exp (- E _ {\mathrm{b}} / 2 n _ {0}) \tag {9.5-14} \]

最后指出，上述最佳接收机及其误码率也就是 2FSK 确知信号的非相干接收机和误码率。因为随相信号的相位带有由信道引入的随机变化，所以在接收端不可能采用相干接收方法。换句话说，相干接收只适用于相位确知的信号。对于随相信号而言，非相干接收已经是最佳的接收方法了。

9.5

随相数字信号的最佳接收

9.6 起伏数字信号的最佳接收

在 4.4 节中提到过，起伏信号是包络随机起伏，相位也随机变化的信号。经过多径传输的衰落信号都具有这种特性。现在仍以 2FSK 信号为例简要地讨论其最佳接收问题。

设通信系统中的噪声是带限白色高斯噪声，并设信号是互不相关的等能量、等先验概率的 2FSK 信号，它可以表示为

\[ \left\{ \begin{array}{l l} s _ {0} (t, \varphi_ {0}, A _ {0}) & = A _ {0} \cos (\omega_ {0} t + \varphi_ {0}) \\ s _ {1} (t, \varphi_ {1}, A _ {1}) & = A _ {1} \cos (\omega_ {1} t + \varphi_ {1}) \end{array} \right. \tag {9.6-1} \]

其中， \(\varphi_{0}\) 和 \(\varphi_{1}\) 的概率密度服从均匀分布：

\[ f (\varphi_ {i}) = 1 / 2 \pi \quad 0 \leqslant \varphi_ {i} < 2 \pi , i = 1, 2 \tag {9.6-2} \]

\(A_{0}\) 和 \(A_{1}\) 是由于多径效应引起的随机起伏振幅，它们服从同一瑞利分布:

\[ f (V _ {i}) = \frac {A _ {i}}{\sigma_ {\mathrm{s}} ^ {2}} \exp \left(- \frac {- A _ {i} ^ {2}}{2 \sigma_ {\mathrm{s}} ^ {2}}\right) \quad A _ {i} \geqslant 0, i = 1, 2 \tag {9.6-3} \]

式中： \(\sigma_{s}^{2}\) 为信号的功率。

此外，由于 \(A_{i}\) 是余弦波的振幅，所以信号 \(s_{i}(t,\varphi_{i},A_{i})\) 的功率 \(\sigma_{s}^{2}\) 和其振幅 \(A_{i}\) 的均方值之间的关系为

\[ E \left[ A _ {i} ^ {2} \right] = 2 \sigma_ {\mathrm{s}} ^ {2} \tag {9.6-4} \]

有了上述假设，就可以计算这时的接收矢量的概率密度 \(f_{0}(\boldsymbol{r})\) 和 \(f_{1}(\boldsymbol{r})\) 。由于此接收矢量不但具有随机相位，还具有随机起伏的振幅，故式 (9.2-11a) 和式 (9.2-11b) 中的 \(f_{0}(\boldsymbol{r})\) 和 \(f_{1}(\boldsymbol{r})\) 分别可以表示为

\[ f _ {0} (\boldsymbol {r}) = \int_ {0} ^ {2 \pi} \int_ {0} ^ {\infty} f (A _ {0}) f (\varphi_ {0}) f _ {0} (\boldsymbol {r} / \varphi_ {0}, A _ {0}) \mathrm{d} A _ {0} \mathrm{d} \varphi_ {0} \tag {9.6-5} \]

\[ f _ {1} (\boldsymbol {r}) = \int_ {0} ^ {2 \pi} \int_ {0} ^ {\infty} f (A _ {1}) f (\varphi_ {1}) f _ {1} (\boldsymbol {r} / \varphi_ {1}, A _ {1}) \mathrm{d} A _ {1} \mathrm{d} \varphi_ {1} \tag {9.6-6} \]

第 9 章 数字信号的最佳接收

经过繁复的计算，式 \((9.6-5)\) 和式 \((9.6-6)\) 的计算结果如下:

\[ f _ {0} (\boldsymbol {r}) = K ^ {\prime} \frac {n _ {0}}{n _ {0} + T _ {\mathrm{B}} \sigma_ {\mathrm{s}} ^ {2}} \exp \left[ \frac {2 \sigma_ {\mathrm{s}} ^ {2} M _ {0} ^ {2}}{n _ {0} (n _ {0} + T _ {\mathrm{B}} \sigma_ {\mathrm{s}} ^ {2})} \right] \tag {9.6-7} \]

\[ f _ {1} (\boldsymbol {r}) = K ^ {\prime} \frac {n _ {0}}{n _ {0} + T _ {\mathrm{B}} \sigma_ {\mathrm{s}} ^ {2}} \exp \left[ \frac {2 \sigma_ {\mathrm{s}} ^ {2} M _ {1} ^ {2}}{n _ {0} (n _ {0} + T _ {\mathrm{B}} \sigma_ {\mathrm{s}} ^ {2})} \right] \tag {9.6-8} \]

式中： \(K^{\prime} = \exp \left[-\frac{1}{n_{0}}\int_{0}^{T_{\mathrm{H}}}r^{2}(t)\mathrm{d}t\right] / (\sqrt{2\pi}\sigma_{\mathrm{n}})^{k}\) (9.6-9)

\(n_{0}\) 为噪声功率谱密度； \(\sigma_{n}^{2}\) 为噪声功率。

由式 (9.6-7) 和式 (9.6-8) 可见，实质上，和随相信号最佳接收时一样，比较 \(f_{0}(\boldsymbol{r})\) 和 \(f_{1}(\boldsymbol{r})\) 仍然是比较 \(M_{0}^{2}\) 和 \(M_{1}^{2}\) 的大小。所以，不难推论，起伏信号最佳接收机的结构和随相信号最佳接收机的一样。但是，这时的最佳误码率则不同于随相信号的误码率。这时的误码率为 \(^{[1]}\)

\[ P _ {r} = \frac {1}{2 + (\overline {{{E}}} / n _ {0})} \tag {9.6-10} \]

式中： \(\bar{E}\) 为接收码元的统计平均能量。

为了比较 2FSK 信号在无衰落和有多径衰落时的误码率性能，在图 9-8 中画出了在非相干接收时的误码率曲线。由此图看出，在有衰落时，性能随误码率下降而迅速变坏。当误码率 \(P_{e}\) 等于 \(10^{-2}\) 时，衰落使性能下降约 10 dB；当误码率 \(P_{e}=10^{-3}\) 时，下降约 20 dB。

9.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较

现在将第 7 章中讨论的二进制信号实际接收机性能和本章讨论的最佳接收机性能列表比较，如表 9-1 所列。

接收机类型信号类型	实际接收机的 $P_e$	最佳接收机的 $P_e$
相干2ASK信号	$\frac{1}{2}\text{erfc} \sqrt{r/4}$	$\frac{1}{2}\text{erfc} \sqrt{E_b/4n_0}$
非相干2ASK信号	$\frac{1}{2}\exp(-r/4)$	$\frac{1}{2}\exp(-E_b/4n_0)$
相干2FSK信号	$\frac{1}{2}\text{erfc} \sqrt{r/2}$	$\frac{1}{2}\text{erfc} \sqrt{E_b/2n_0}$
非相干2FSK信号	$\frac{1}{2}\exp(-r/2)$	$\frac{1}{2}\exp(-E_b/2n_0)$
相干2PSK信号	$\frac{1}{2}\text{erfc} \sqrt{r}$	$\frac{1}{2}\text{erfc} \sqrt{E_b/n_0}$
差分相干2DPSK信号	$\frac{1}{2}\exp(-r)$	$\frac{1}{2}\exp(-E_b/n_0)$
相干2DPSK信号	$\text{erfc} \sqrt{r}\left(1-\frac{1}{2}\text{erfc} \sqrt{r}\right)$	$\text{erfc} \sqrt{\frac{E_b}{n_0}}\left(1-\frac{1}{2}\text{erfc} \sqrt{\frac{E_b}{n_0}}\right)$

9.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较

表中 r 是信号噪声功率比。由比较可知，在实际接收机中的信号噪声功率比 r 相当于最佳接收机中的码元能量和噪声功率谱密度之比 \(E_{b}/n_{0}\) 。另一方面，式 (9.4-16) 也指出，当系统恰好带宽满足奈奎斯特准则时， \(E_{b}/n_{0}\) 就等于信号噪声功率比。奈奎斯特带宽是理论上的极限，实际接收机的带宽一般都不能达到这一极限。所以，实际接收机的性能总是比不上最佳接收机的性能。

9.8 数字信号的匹配滤波接收法

在 9.2 节中已经明确将错误概率最小作为最佳接收的准则。其次，在 7.1 节中提到，我们是在抽样时刻按照抽样所得的信噪比对每个码元作判决，从而决定误码率。信噪比越大，误码率越小。本节将讨论用线性滤波器对接收信号滤波时，如何使抽样时刻上线性滤波器的输出信号噪声比最大，并且将令输出信噪比最大的线性滤波器称为匹配滤波器（match filter）。

设接收滤波器的传输函数为 \(H(f)\) ，冲激响应为 \(h(t)\) ，滤波器输入码元 \(s(t)\) 的持续时间为 \(T_{B}\) ，信号和噪声之和 \(r(t)\) 为

\[ r (t) = s (t) + n (t) \quad 0 \leqslant t \leqslant T _ {\mathrm{B}} \tag {9.8-1} \]

式中： \(s(t)\) 为信号码元； \(n(t)\) 为高斯白噪声。设信号码元 \(s(t)\) 的频谱密度函数为 \(S(f)\) ，噪声 \(n(t)\) 的双边功率谱密度为 \(P_{n}(f)=n_{0}/2\) ， \(n_{0}\) 为噪声单边功率谱密度。

由于假定滤波器是线性的，根据线性电路叠加定理，当滤波器输入电压 \(r(t)\) 中包括信号和噪声两部分时，滤波器的输出电压 \(y(t)\) 中也包含相应的输出信号 \(s_{o}(t)\) 和输出噪声 \(n_{o}(t)\) 两部分，即

\[ y (t) = s _ {\mathrm{o}} (t) + n _ {\mathrm{o}} (t) \tag {9.8-2} \]

其中， \(s_{\mathrm{w}}(t) = \int_{-\infty}^{\infty}H(f)S(f)\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi /t}\mathrm{d}f\) (9.8-3）

为了求出输出噪声功率，由式 \((3.4-7)\)

\[ P _ {\mathrm{y}} (f) = H ^ {*} (f) H (f) P _ {\mathrm{r}} (f) = | H (f) | ^ {2} P _ {\mathrm{r}} (f) \]

可知，一个随机过程通过线性系统时，其输出功率谱密度 \(P_{y}(f)\) 等于输入功率谱密度 \(P_{r}(f)\) 乘以系统传输函数 \(H(f)\) 的模的平方。所以，这时的输出噪声功率 \(N_{0}\) 为

\[ N _ {0} = \int_ {- \infty} ^ {\infty} | H (f) | ^ {2} \cdot \frac {n _ {0}}{2} \mathrm{d} f = \frac {n _ {0}}{2} \int_ {- \infty} ^ {\infty} | H (f) | ^ {2} \mathrm{d} f \tag {9.8-4} \]

因此，在抽样时刻 \(t_{0}\) 上，输出信号瞬时（instantaneous）功率与噪声平均功率之比为

\[ r _ {\mathrm{o}} = \frac {\mid s _ {\mathrm{ov}} (t _ {0}) \mid^ {2}}{N _ {\mathrm{o}}} = \frac {\left| \int_ {- \infty} ^ {\infty} H (f) S (f) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi f t _ {0}} \mathrm{d} f \right| ^ {2}}{\frac {n _ {0}}{2} \int_ {- \infty} ^ {\infty} \mid H (f) \mid^ {2} \mathrm{d} f} \tag {9.8-5} \]

为了求出 \(r_{0}\) 的最大值，我们利用施瓦兹 (Schwarz) 不等式:

\[ \left| \int_ {- \infty} ^ {\infty} f _ {1} (x) f _ {2} (x) \mathrm{d} x \right| ^ {2} \leqslant \int_ {- \infty} ^ {\infty} | f _ {1} (x) | ^ {2} \mathrm{d} x \int_ {- \infty} ^ {\infty} | f _ {2} (x) | ^ {2} \mathrm{d} x \tag {9.8-6} \]

第 9 章 数字信号的最佳接收

若 \(f_{1}(x)=kf_{2}^{*}(x)\) ，其中 k 为任意常数，则式 (9.8-6) 的等号成立。

将式 \((9.8-5)\) 右端的分子看作是式 \((9.8-6)\) 的左端，并令

\[ f _ {1} (x) = H (f) \quad f _ {2} (x) = S (f) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi f t _ {0}} \]

则有

\[ r _ {\mathrm{o}} \leqslant \frac {\int_ {- \infty} ^ {\infty} | H (f) | ^ {2} \mathrm{d} f \int_ {- \infty} ^ {\infty} | S (f) | ^ {2} \mathrm{d} f}{\frac {n _ {0}}{2} \int_ {- \infty} ^ {\infty} | H (f) | ^ {2} \mathrm{d} f} = \frac {\int_ {- \infty} ^ {\infty} | S (f) | ^ {2} \mathrm{d} f}{\frac {n _ {0}}{2}} = \frac {2 E}{n _ {0}} \tag {9.8-7} \]

式中： \(E = \int_{-\infty}^{\infty} |S(f)|^{2} \, \mathrm{d}f\) ，为信号码元的能量。

而且当

\[ H (f) = k S ^ {*} (f) \mathrm{e} ^ {- j 2 \pi f t _ {0}} \tag {9.8-8} \]

时，式 (9.8-7) 的等号成立，即得到最大输出信噪比 \(2E/n_{0}\) 。

式 (9.8-8) 表明，\(H(f)\) 就是我们要找的最佳接收滤波器传输特性，它等于信号码元频谱的复共轭 (complex conjugate)(除了常数因子 \(e^{-j2\pi f_{0}}\) 外)。故称此滤波器为匹配滤波器。

匹配滤波器的特性还可以用其冲激响应函数 \(h(t)\) 来描述，即

\[ \begin{array}{l} h (t) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} H (f) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{d} f = \int_ {- \infty} ^ {\infty} k S ^ {*} (f) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f t _ {0}} \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{d} f \\ = k \int_ {- \infty} ^ {\infty} \left[ \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (\tau) e ^ {- j 2 \pi f \tau} d \tau \right] ^ {*} e ^ {- j 2 \pi f (t _ {0} - t)} d f \tag {9.8-9} \\ = k \int_ {- \infty} ^ {\infty} \left[ \int_ {- \infty} ^ {\infty} \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi f (\tau - t _ {0} + t)} \mathrm{d} f \right] s (\tau) \mathrm{d} \tau \\ = k \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (\tau) \delta (\tau - t _ {0} + t) \mathrm{d} \tau = k s (t _ {0} - t) \\ \end{array} \]

由式 (9.8-9) 可见，匹配滤波器的冲激响应 \(h(t)\) 就是信号 \(s(t)\) 的镜像 \(s(-t)\) , 但在时间轴上 (向右) 平移了 \(t_{0}\) 。在图 9-9 中画出了从 \(s(t)\) 得出 \(h(t)\) 的图解过程。

一个实际的匹配滤波器应该是物理可实现的，其冲激响应必须符合因果关系，在输入冲激脉冲加入前不应该有冲激响应出现，即必须有

\[ h (t) = 0 \quad t < 0 \tag {9.8-10} \]

即要求满足条件

\[ s \left(t _ {0} - t\right) = 0 \quad t < 0 \]

或满足条件

\[ s (t) = 0 \quad t > t _ {0} \tag {9.8-11} \]

9.8 数字信号的匹配滤波接收法

式 (9.8-11) 的条件说明，接收滤波器输入端的信号码元 \(s(t)\) 在抽样时刻 \(t_{0}\) 之后必须为零。一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选 \(t_{0}=T_{B}\) 。故匹配滤波器的冲激响应可以写为

\[ h (t) = k s \left(T _ {\mathrm{B}} - t\right) \tag {9.8-12} \]

这时，若匹配滤波器的输入电压为 \(s(t)\) , 则输出信号码元的波形，可以按式 (3.4-4) 求出:

\[ \begin{array}{l} s _ {0} (t) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (t - \tau) h (\tau) \mathrm{d} \tau = k \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (t - \tau) s (T _ {\mathrm{B}} - \tau) \mathrm{d} \tau \\ = k \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (- \tau^ {\prime}) s (t - T _ {\mathrm{B}} - \tau^ {\prime}) \mathrm{d} \tau^ {\prime} = k R (t - T _ {\mathrm{B}}) \tag {9.8-13} \\ \end{array} \]

式 (9.8-13) 表明，匹配滤波器输出信号码元波形是输入信号码元波形的自相关函数的 k 倍。k 是一个任意常数，它与 \(r_{0}\) 的最大值无关；通常取 k=1。

【例 9-1】设接收信号码元 \(s(t)\) 的表示式为

\[ s (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & 0 \leqslant t \leqslant T _ {\mathrm{B}} \\ 0 & \text {其他} \end{array} \right. \tag {9.8-14} \]

试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。

【解】式 (9.8-14) 所示的信号波形是一个矩形脉冲，如图 9-10 (a) 所示。其频谱为

\[ S (f) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (t) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{d} t = \frac {1}{\mathrm{j} 2 \pi f} (1 - \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f T _ {\mathrm{B}}}) \tag {9.8-15} \]

由式 \((9.8-8)\) ，令 \(k=1,t_{0}=T_{B}\) 可得其匹配滤波器的传输函数为

\[ H (f) = \frac {1}{\mathrm{j} 2 \pi f} (1 - \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f T _ {\mathrm{B}}}) \tag {9.8-16} \]

由式 \((9.8-9)\) ，令 k=1，还可以得到此匹配滤波器的冲激响应为

\[ h (t) = s (T _ {\mathrm{B}} - t), \quad 0 \leqslant t \leqslant T _ {\mathrm{B}} \tag {9.8-17} \]

如图 9-10 (b) 所示。表面上看来， \(h(t)\) 的形状和信号 \(s(t)\) 的形状一样。实际上， \(h(t)\) 的形状是 \(s(t)\) 的波形以 \(t = T_{\mathrm{B}} / 2\) 为轴线反转而来。由于 \(s(t)\) 的波形对称于 \(t = T_{\mathrm{B}} / 2\) ，所以反转后，波形不变。

由式 (9.8-16) 可以画出此匹配滤波器的方框图 (图 9-11)，因为式 (9.8-16) 中的 \((1 / \mathrm{j}2\pi f)\) 是理想积分器的传输函数，而 \(\exp (-\mathrm{j}2\pi fT_{\mathrm{B}})\) 是延迟时间为 \(T_{\mathrm{B}}\) 的延迟电路的传输函数。此匹配滤波器的输出信号波形 \(s_{o}(t)\) 可由式 (9.8-13) 计算出来，它画在图 9-10 (c) 中。

第 9 章 数字信号的最佳接收

【例 9-2】设信号 \(s(t)\) 的表示式为

\[ s (t) = \left\{ \begin{array}{c c} {\cos 2 \pi f _ {0} t} & {0 \leqslant t \leqslant T _ {\mathrm{B}}} \\ {0} & {\text {其他}} \end{array} \right. \tag {9.8-18} \]

试求其匹配滤波器的特性和匹配滤波器输出的波形。

【解】式 (9.8-18) 给出的信号波形是一段余弦振荡，如图 9-12 (a) 所示。其频谱为

\[ \begin{array}{l} S (f) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (t) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{d} t = \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} \cos 2 \pi f _ {0} t \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{d} t \\ = \frac {1 - \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi (f - f _ {0}) T _ {\mathrm{B}}}}{\mathrm{j} 4 \pi (f - f _ {0})} + \frac {1 - \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi (f + f _ {0}) T _ {\mathrm{B}}}}{\mathrm{j} 4 \pi (f + f _ {0})} \tag {9.8-19} \\ \end{array} \]

因此，其匹配滤波器的传输函数由式 (9.8-8) 得出:

\[ \begin{array}{l} H (f) = S ^ {*} (f) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f t _ {0}} = S ^ {*} (f) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f T _ {\mathrm{B}}} \\ = \frac {\left[ e ^ {j 2 \pi (f - f _ {0}) T _ {\mathrm{B}}} - 1 \right] e ^ {- j 2 \pi / T _ {\mathrm{B}}}}{j 4 \pi (f - f _ {0})} + \frac {\left[ e ^ {j 2 \pi (f + f _ {0}) T _ {\mathrm{B}}} - 1 \right] e ^ {- j 2 \pi / T _ {\mathrm{B}}}}{j 4 \pi (f + f _ {0})} \tag {9.8-20} \\ \end{array} \]

式 (9.8-20) 中已令 \(t_{0}=T_{B}\) 。

此匹配滤波器的冲激响应可以由式 \((9.8-9)\) 计算出：

\[ h (t) = s \left(T _ {\mathrm{B}} - t\right) = \cos 2 \pi f _ {0} \left(T _ {\mathrm{B}} - t\right), \quad 0 \leqslant t \leqslant T _ {\mathrm{B}} \tag {9.8-21} \]

为了便于画出波形简图，我们令

\[ T _ {\mathrm{B}} = n / f _ {0} \quad n = \text {正整数} \tag {9.8-22} \]

这样，式 \((9.8-21)\) 可以简化为

\[ h (t) = \cos 2 \pi f _ {0} t \quad 0 \leqslant t \leqslant T _ {\mathrm{B}} \tag {9.8-23} \]

\(h(t)\) 的曲线示于图 9-12 (b) 中。

这时的匹配滤波器输出波形 \(s_{o}(t)\) 可以由卷积公式 (3.4-4) 求出：

\[ s _ {\mathrm{o}} (t) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} s (\tau) h (t - \tau) \mathrm{d} \tau \tag {9.8-24} \]

由于现在 \(s(t)\) 和 \(h(t)\) 在区间 \((0, T_{\mathrm{B}})\) 外都等于零，故上式中的积分可以分为如下几段进行计算：

\[ t < 0, \quad 0 \leqslant t < T _ {\mathrm{B}}, \quad T _ {\mathrm{B}} \leqslant t \leqslant 2 T _ {\mathrm{B}}, \quad t > 2 T _ {\mathrm{B}} \]

显然，当 \(t < 0\) 和 \(t > 2T_{\mathrm{B}}\) 时，式 (9.8-24) 中的 \(s(\tau)\) 和 \(h(t - \tau)\) 不相交，故 \(s_0(t)\) 等于零。当 \(0\leqslant t < T_{\mathrm{B}}\) 时，式 (9.8-24) 为

9.6

数字信号的匹配滤波接收法

\[ \begin{array}{l} s _ {\mathrm{o}} (t) = \int_ {0} ^ {t} \cos 2 \pi f _ {0} \tau \cos 2 \pi f _ {0} (t - \tau) \mathrm{d} \tau \\ = \int_ {0} ^ {t} \frac {1}{2} \left[ \cos 2 \pi f _ {0} t + \cos 2 \pi f _ {0} (t - 2 \tau) \right] d \tau \\ = \frac {t}{2} \cos 2 \pi f _ {0} t + \frac {1}{4 \pi f _ {0}} \sin 2 \pi f _ {0} t \tag {9.8-25} \\ \end{array} \]

当 \(T_{B} \leqslant t \leqslant 2T_{B}\) 时，式 (9.8-24) 为

\[ \begin{array}{l} s _ {\mathrm{oy}} (t) = \int_ {t - T _ {\mathrm{R}}} ^ {T _ {\mathrm{B}}} \cos 2 \pi f _ {0} \tau \cos 2 \pi f _ {0} (t - \tau) \mathrm{d} \tau \\ = \frac {2 T _ {\mathrm{B}} - t}{2} \cos 2 \pi f _ {0} t - \frac {1}{4 \pi f _ {0}} \sin 2 \pi f _ {0} t \tag {9.8-26} \\ \end{array} \]

若因 \(f_{0}\) 很大而使 \((1/4\pi f_{0})\) 可以忽略，则最后得到

\[ s _ {_ \mathrm{o}} (t) = \left\{ \begin{array}{c c} {\frac {t}{2} \cos 2 \pi f _ {0} t} & {0 \leqslant t < T _ {\mathrm{B}}} \\ {\frac {2 T _ {\mathrm{B}} - t}{2} \cos 2 \pi f _ {0} t} & {T _ {\mathrm{B}} \leqslant t \leqslant 2 T _ {\mathrm{B}}} \\ {0} & {\text {其他}} \end{array} \right. \tag {9.8-27} \]

按式 \((9.8-27)\) 画出的曲线示于图 9-12 (c) 中。

对于二进制确知信号，使用匹配滤波器构成的接收电路方框图如图 9-13 所示。图 9-13 中有两个匹配滤波器，分别匹配于两种信号码元 \(s_{0}(t)\) 和 \(s_{1}(t)\) 。在抽样时刻对抽样值进行比较判决。哪个匹配滤波器的输出抽样值更大，就判决哪个为输出。若此二进制信号的先验概率相等，则此方框图能给出最小的总误码率。

匹配滤波器可以用不同的硬件电路实现 \(^{[1]}\) ，也可以用软件实现。目前，由于软件无线电技术的发展，因此它日益趋向于用软件技术实现。

在上面的讨论中对于信号波形从未涉及，也就是说最大输出信噪比和信号波形无关，只决定于信号能量 E 与噪声功率谱密度 \(n_{0}\) 之比，所以这种匹配滤波法对于任何一种数字信号波形都适用，不论是基带数字信号还是已调数字信号。例 9-1 中给出的是基带数字信号的例子；而例 9-2 中给出的信号则是已调数字信号的例子。

第 9 章 数字信号的最佳接收

现在来证明用上述匹配滤波器得到的最大输出信噪比就等于最佳接收时理论上能达到的最高输出信噪比。

匹配滤波器输出电压的波形 \(y(t)\) 按照式 (9.8-24) 可以写为

\[ y (t) = k \int_ {t - T _ {\mathrm{B}}} ^ {t} r (u) s (T _ {\mathrm{B}} - t + u) \mathrm{d} u \tag {9.8-28} \]

在抽样时刻 \(T_{B}\) ，输出电压为

\[ y (T _ {\mathrm{B}}) = k \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} r (u) s (u) \mathrm{d} u \tag {9.8-29} \]

可以看出，式 (9.8-29) 中的积分是相关运算，即将输入 \(r(t)\) 与 \(s(t)\) 作相关运算，而后者是和匹配滤波器匹配的信号。它表示只有输入电压 \(r(t)=s(t)+n(t)\) 时，在时刻 \(t=T_{B}\) 才有最大的输出信噪比。式中的 k 是任意常数，通常令 k=1。

用上述相关运算代替图 9-13 中的匹配滤波器得到如图 9-14 所示的相关接收法方框图。匹配滤波法和相关接收法完全等效，都是最佳接收方法。

【例 9-3】设有一个信号码元如例 9-2 中所给出的 \(s(t)\) 。试比较它分别通过匹配滤波器和相关接收器时的输出波形。

【解】根据式 \((9.8-29)\) ，此信号码元通过相关接收器后，输出信号波形为

\[ \begin{array}{l} y (t) = \int_ {0} ^ {t} s (t) s (t) \mathrm{d} t = \int_ {0} ^ {t} \cos 2 \pi f _ {0} t \cdot \cos 2 \pi f _ {0} t \mathrm{d} t = \int_ {0} ^ {t} \cos^ {2} 2 \pi f _ {0} t \mathrm{d} t \\ = \frac {1}{2} \int_ {0} ^ {t} (1 + \cos 4 \pi f _ {0} t) \mathrm{d} t = \frac {1}{2} t + \frac {1}{8 \pi f _ {0}} \sin 4 \pi f _ {0} t \approx \frac {t}{2} \tag {9.8-30} \\ \end{array} \]

上式中已经假定 \(f_{0}\) 很大，从而结果可以近似等于 t/2，即与 t 呈直线关系。

此信号通过匹配滤波器的结果在例 9-2 中已经给出，见式 (9.8-27)。

按式 (9.8-30) 和式 (9.8-27) 画出的这两种结果示于图 9-15 中。由此图可见，只

9.8

数字信号的匹配滤波接收法

有当 \(t = T_{B}\) 时，两者的抽样值才相等。

现在来考虑匹配滤波器的实际应用。由式 (9.8-12) 可知，匹配滤波器的冲激响应 \(h(t)\) 应该和信号波形 \(s(t)\) 严格匹配，包括对相位也有要求。对于确知信号的接收，这是可以做到的。对于随相信号而言，就不可能使信号的随机相位和 \(h(t)\) 的相位匹配。但是，匹配滤波器还是可以用于接收随相信号的。下面就对此作进一步的分析。

设匹配滤波器的特性仍如例 9-2 所给出：

\[ h (t) = s \left(T _ {\mathrm{B}} - t\right) = \cos 2 \pi f _ {0} \left(T _ {\mathrm{B}} - t\right), \quad 0 \leqslant t \leqslant T _ {\mathrm{B}} \]

设此匹配滤波器的输入为 \(r(t)\) ，则此滤波器的输出 \(y(t)\) 由卷积公式 (3.4-4) 求出：

\[ \begin{array}{l} y (t) = \int_ {0} ^ {t} r (\tau) \cos 2 \pi f _ {0} (T _ {\mathrm{B}} - t + \tau) \mathrm{d} \tau \\ = \cos 2 \pi f _ {0} (T _ {\mathrm{B}} - t) \int_ {0} ^ {t} r (\tau) \cos 2 \pi f _ {0} \tau \mathrm{d} \tau - \sin 2 \pi f _ {0} (T _ {\mathrm{B}} - t) \int_ {0} ^ {t} r (\tau) \sin 2 \pi f _ {0} \tau \mathrm{d} \tau = \\ \sqrt {\left[ \int_ {0} ^ {t} r (\tau) \cos 2 \pi f _ {0} \tau \mathrm{d} \tau \right] ^ {2} + \left[ \int_ {0} ^ {t} r (\tau) \sin 2 \pi f _ {0} \tau \mathrm{d} \tau \right] ^ {2}} \cdot \cos [ 2 \pi f _ {0} (T _ {\mathrm{B}} - t) + \theta ] \tag {9.8-31} \\ \end{array} \]

其中 \(\theta = \arctan \left[\frac{\int_0^t r(\tau)\sin 2\pi f_0\tau\mathrm{d}\tau}{\int_0^t r(\tau)\cos 2\pi f_0\tau\mathrm{d}\tau}\right]\) (9.8-32)

由式 (9.8-31) 看出，当 \(t=T_{B}\) 时， \(y(t)\) 的包络和式 (9.5-8) 及式 (9.5-9) 中的 \(M_{0}\) 和 \(M_{1}\) 形式相同。所以，按照式 (9.5-7) 的判决准则，比较 \(M_{0}\) 和 \(M_{1}\) ，就相当于比较式 (9.8-31) 的包络。因此，图 9-7 中的随相信号最佳接收机结构图可以改成如图 9-16 所示的结构。在此图中，有两个匹配滤波器，其特性分别对二进制的两种码元匹配。匹配滤波器的输出经过包络检波，然后作比较判决。

第 9 章 数字信号的最佳接收

由于起伏信号最佳接收机的结构和随相信号的相同，所以图 9-16 同样适用于对起伏信号作最佳接收。

9.9 最佳基带传输系统

设基带数字信号传输系统由发送滤波器、信道和接收滤波器组成 (图 6-9)；其传输函数分别为 \(G_{\mathrm{T}}(f)\) 、 \(C(f)\) 和 \(G_{\mathrm{R}}(f)\) 。在第 6 章中将这三个滤波器集中用一个基带总传输函数 \(H(f)\) 表示：

\[ H (f) = G _ {\mathrm{T}} (f) \cdot C (f) \cdot G _ {\mathrm{R}} (f) \]

为了消除码间串扰，要求 \(H(f)\) 必须满足式 (6.4-11) 的条件。当时我们忽略了噪声的影响，只考虑码间串扰。现在，我们将分析在 \(H(f)\) 按照消除码间串扰的条件确定之后，如何设计 \(G_{\mathrm{T}}(f), C(f)\) 和 \(G_{\mathrm{R}}(f)\) ，以使系统在加性白色高斯噪声条件下误码率最小。我们将消除了码间串扰并且误码率最小的基带传输系统称为最佳基带传输系统。

由于信道的传输特性 \(C(f)\) 往往不易得知，并且还可能是时变的。特别是在交换网中，链路的连接是不固定的，使 \(C(f)\) 的变化可能很大。所以，在系统设计时，有两种分析方法。第一种方法是最基本的方法，它假设信道具有理想特性，即假设 \(C(f)=1\) ；第二种方法则考虑到信道的非理想特性。

9.9.1 理想信道的最佳基带传输系统

假设信道传输函数 \(C(f)=1\) 。于是，基带系统的传输特性变为

\[ H (f) = G _ {\mathrm{T}} (f) \cdot G _ {\mathrm{R}} (f) \tag {9.9-1} \]

需要指出，式 (9.9-1) 中 \(G_{\mathrm{T}}(f)\) 虽然表示发送滤波器的特性，但是若传输系统的输入为冲激脉冲，则 \(G_{\mathrm{T}}(f)\) 还兼有决定发送信号波形的功能，即它就是信号码元的频谱。现在，我们将分析在 \(H(f)\) 按照消除码间串扰的条件确定之后，如何设计 \(G_{\mathrm{T}}(f)\) 和 \(G_{\mathrm{R}}(f)\) ，以使系统在加性白色高斯噪声条件下误码率最小。由式 (9.8-8) 对匹配滤波器频率特性的要求可知，接收匹配滤波器的传输函数 \(G_{\mathrm{R}}(f)\) 应当是信号频谱 \(S(f)\) 的复共轭。现在，信号的频谱就是发送滤波器的传输函数 \(G_{\mathrm{T}}(f)\) ，所以要求接收匹配滤波器的传输函数为

\[ G _ {\mathrm{R}} (f) = G _ {\mathrm{T}} ^ {*} (f) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi / i _ {0}} \tag {9.9-2} \]

式 \((9.9-2)\) 中已经假定 k=1。

由式 \((9.9-1)\) 有

\[ G _ {\mathrm{T}} ^ {*} (f) = H ^ {*} (f) / G _ {\mathrm{R}} ^ {*} (f) \tag {9.9-3} \]

将式 \((9.9-3)\) 代入式 \((9.9-2)\) ，得

\[ G _ {\mathrm{R}} (f) G _ {\mathrm{R}} ^ {*} (f) = H ^ {*} (f) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f / 0} \tag {9.9-4} \]

即 \(|G_{\mathrm{R}}(f)|^{2} = H^{*}(f)\mathrm{e}^{-j2\pi f t_{0}}\) (9.9-5)

式 \((9.9-5)\) 左端是一个实数，所以式 \((9.9-5)\) 右端也必须是实数。因此，式 \((9.9-5)\) 可

9.9

最佳基带传输系统

以写为

\[ \mid G _ {\mathrm{R}} (f) \mid^ {2} = \mid H (f) \mid \tag {9.9-6} \]

所以得到接收匹配滤波器应满足的条件为

\[ \mid G _ {\mathrm{R}} (f) \mid = \mid H (f) \mid^ {1 / 2} \tag {9.9-7} \]

由于上式条件没有限定对接收滤波器的相位要求，所以可以选用

\[ G _ {\mathrm{R}} (f) = H ^ {1 / 2} (f) \tag {9.9-8} \]

这样，由式 \((9.9-1)\) 得到发送滤波器的传输特性为

\[ G _ {\mathrm{T}} (f) = H ^ {1 / 2} (f) \tag {9.9-9} \]

式 \((9.9-8)\) 和式 \((9.9-9)\) 就是最佳基带传输系统对于收发滤波器传输函数的要求。

下面将讨论这种最佳基带传输系统的误码率性能。设基带信号码元为 M 进制的多电平信号。一个码元可以取下列 M 种电平之一：

\[ \pm d, \pm 3 d, \dots , \pm (M - 1) d \tag {9.9-10} \]

其中，d 为相邻电平间隔的 1/2，如图 9-17 所示，图中的 M=8。

在接收端，判决电路的判决门限值则应当设定为

\[ 0, \pm 2 d, \pm 4 d, \dots , \pm (M - 2) d \tag {9.9-11} \]

按照这样的规定，在接收端抽样判决时刻，若噪声值不超过 d, 则不会发生错误判决。但是需要注意，当噪声值大于最高信号电平值或小于最低电平值时，不会发生错误判决；也就是说，对于最外侧的两个电平，只在一个方向有出错的可能。这种情况的出现占所有可能的 1/M。所以，错误概率为

\[ P _ {e} = \left(1 - \frac {1}{M}\right) P (| \xi | > d) \tag {9.9-12} \]

式中： \(\xi\) 为噪声的抽样值； \(P(|\xi|>d)\) 为噪声抽样值大于 d 的概率。

现在来计算式 (9.9-12) 中的 \(P(|\xi|>d)\) 。设接收滤波器输入端高斯白噪声的单边功率谱密度为 \(n_{0}\) ，接收滤波器输出的带限高斯噪声的功率为 \(\sigma^{2}\) ，则有

\[ \sigma^ {2} = \frac {n _ {0}}{2} \int_ {- \infty} ^ {\infty} | G _ {\mathrm{R}} (f) | ^ {2} \mathrm{d} f = \frac {n _ {0}}{2} \int_ {- \infty} ^ {\infty} | H ^ {1 / 2} (f) | ^ {2} \mathrm{d} f \tag {9.9-13} \]

式 \((9.9-13)\) 中的积分值是一个实常数，我们假设其等于 1, 即假设

\[ \int_ {- \infty} ^ {\infty} | H ^ {1 / 2} (f) | ^ {2} \mathrm{d} f = 1 \tag {9.9-14} \]

故有

第 9 章 数字信号的最佳接收

\[ \sigma^ {2} = \frac {n _ {0}}{2} \tag {9.9-15} \]

这样假设并不影响对误码率性能的分析。由于接收滤波器是一个线性滤波器，故其输出噪声的统计特性仍服从高斯分布。因此输出噪声 \(\xi\) 的一维概率密度函数为

\[ f (\xi) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma} \exp \left(- \frac {\xi^ {2}}{2 \sigma^ {2}}\right) \tag {9.9-16} \]

对式 \((9.9-16)\) 积分，就可以得到抽样噪声值超过 d 的概率，即

\[ \begin{array}{l} P (| \xi | > d) = 2 \int_ {d} ^ {\infty} \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma} \exp \left(- \frac {\xi^ {2}}{2 \sigma^ {2}}\right) \mathrm{d} \xi \\ = \frac {2}{\sqrt {\pi}} \int_ {d / \sqrt {2} \sigma} ^ {\infty} \exp (- z ^ {2}) \mathrm{d} z = \operatorname{erfc} \left(\frac {d}{\sqrt {2} \sigma}\right) \tag {9.9-17} \\ \end{array} \]

式 \((9.9-17)\) 中已作了如下变量代换：

\[ z ^ {2} = \xi^ {2} / 2 \sigma^ {2} \tag {9.9-18} \]

将式 \((9.9-17)\) 代入式 \((9.9-12)\) ，得

\[ P _ {\mathrm{e}} = \left(1 - \frac {1}{M}\right) \mathrm{erfc} \left(\frac {d}{\sqrt {2} \sigma}\right) \tag {9.9-19} \]

现在，再将上式中的 \(P_{e}\) 和 \(d/\sigma\) 的关系变换成 \(P_{e}\) 和 \(E/n_{0}\) 的关系。由上述讨论我们已经知道，在 M 进制基带多电平最佳传输系统中，发送码元的频谱形状由发送滤波器的特性决定:

\[ G _ {\mathrm{T}} (f) = H ^ {1 / 2} (f) \]

发送码元多电平波形的最大值为 \(\pm d, \pm 3d, \cdots, \pm (M-1)d\) 等。这样，利用巴塞伐尔定理（见附录 A）

\[ \int_ {- \infty} ^ {\infty} x ^ {2} (t) \mathrm{d} t = \int_ {- \infty} ^ {\infty} | X (f) | ^ {2} \mathrm{d} f \]

计算码元能量时，设多电平码元的波形为 \(Ax(t)\) , 其中 \(x(t)\) 的最大值等于 1, 以及

\[ A = \pm d, \pm 3 d, \dots , \pm (M - 1) d \tag {9.9-20} \]

则有码元能量为

\[ A ^ {2} \int_ {- \infty} ^ {\infty} x ^ {2} (t) \mathrm{d} t = A ^ {2} \int_ {- \infty} ^ {\infty} | H (f) | \mathrm{d} f = A ^ {2} \tag {9.9-21} \]

式 \((9.9-21)\) 计算中已经代入了式 \((9.9-14)\) 的假设。

因此，对于 M 进制等概率多电平码元，求出其平均码元能量为

\[ E = \frac {2}{M} \sum_ {i = 1} ^ {M / 2} [ d (2 i - 1) ] ^ {2} = d ^ {2} \frac {2}{M} [ 1 + 3 ^ {2} + 5 ^ {2} + \dots + (M - 1) ^ {2} ] = \frac {d ^ {2}}{3} (M ^ {2} - 1) \tag {9.9-22} \]

6.6

最佳基带传输系统

因此有

\[ d ^ {2} = \frac {3 E}{M ^ {2} - 1} \tag {9.9-23} \]

将式 (9.9-14) 和式 (9.9-23) 代入式 (9.9-19)，得到误码率的最终表示式：

\[ P _ {e} = \left(1 - \frac {1}{M}\right) \mathrm{erfc} \left(\frac {d}{\sqrt {2} \sigma}\right) = \left(1 - \frac {1}{M}\right) \mathrm{erfc} \left[ \left(\frac {3}{M ^ {2} - 1} \cdot \frac {E}{n _ {0}}\right) ^ {1 / 2} \right] \tag {9.9-24} \]

当 M=2 时，有

\[ P _ {e} = \frac {1}{2} \mathrm{erfc} (\sqrt {E / n _ {0}}) \tag {9.9-25} \]

式 \((9.9-25)\) 是在理想信道中，消除码间串扰条件下，二进制双极性基带信号传输的最佳误码率。

图 9-18 是按照上述计算结果画出的 \(M\) 进制多电平信号误码率曲线。由此图可见，当误码率较低时，为保持误码率不变， \(M\) 值增大到 2 倍，信噪比约需要增大 7dB。

9.9.2 非理想信道的最佳基带传输系统

这时，接收信号码元的频谱等于 \(G_{\mathrm{T}}(f) \cdot C(f)\) 。

为了使高斯白噪声条件下的接收误码率最小，在接收端可以采用一个匹配滤波器。为使此匹配滤波器的传输函数 \(G_{\mathrm{R}}^{\prime}(f)\) 和接收信号码元的频谱匹配，要求

\[ G _ {\mathrm{R}} ^ {\prime} (f) = G _ {\mathrm{T}} ^ {*} (f) \cdot C ^ {*} (f) \]

这时，基带传输系统的总传输特性为

\[ \begin{array}{l} H (f) = G _ {\mathrm{T}} (f) \cdot C (f) \cdot G _ {\mathrm{R}} ^ {\prime} (f) \\ = G _ {\mathrm{T}} (f) \cdot C (f) \cdot G _ {\mathrm{T}} ^ {*} (f) \cdot C ^ {*} (f) = | G _ {\mathrm{T}} (f) | ^ {2} | C (f) | ^ {2} \tag {9.9-26} \\ \end{array} \]

此总传输特性 \(H(f)\) 能使其对于高斯白噪声的误码率最小，但是还没有满足消除码间串扰的条件。为了消除码间串扰，由第 6 章的讨论得知，\(H(f)\) 必须满足

\[ \sum_ {i} H \Big (f + \frac {i}{T _ {\mathrm{B}}} \Big) = T _ {\mathrm{B}} \quad | f | \leqslant \frac {1}{2 T _ {\mathrm{B}}} \]

为此，可以在接收端增加一个横向均衡滤波器 \(T(f)\) ，使系统总传输特性满足上式要求。故从式 (9.9-26) 和式 (6.7-20) 可以写出对 \(T(f)\) 的要求：

\[ T (f) = \frac {T _ {\mathrm{B}}}{\sum_ {i} | G _ {\mathrm{T}} ^ {(i)} (f) | ^ {2} | C ^ {(i)} (f) | ^ {2}} \quad | f | \leqslant \frac {1}{2 T _ {\mathrm{B}}} \tag {9.9-27} \]

第 9 章 数字信号的最佳接收

其中

\[ G _ {\mathrm{T}} ^ {(i)} (f) = G _ {\mathrm{T}} \left(f + \frac {i}{T _ {\mathrm{B}}}\right) \quad C ^ {(i)} = C \left(f + \frac {i}{T _ {\mathrm{B}}}\right) \]

从上述分析得知，在非理想信道条件下，最佳接收滤波器的传输特性应该是传输特性为 \(G_{\mathrm{R}}^{\prime}(f)\) 的匹配滤波器和传输特性为 \(T(f)\) 的均衡滤波器级连。按此要求画出的最佳基带传输系统的方框图示于图 9-19 中。

最后说明，上面的讨论是假定发送滤波器和信道特性已给定，由设计接收滤波器使系统达到最佳化。在理论上，自然也可以假定接收滤波器和信道特性已给定，设计发送滤波器使系统达到最佳；或者只给定信道特性，联合设计发送和接收滤波器两者使系统达到最佳。但是，分析结果 \(^{[2]}\) 表明，这样做的效果和仅使接收滤波器最佳化的结果差别不大。在工程设计时，还是以设计最佳接收滤波器的方法较为实用。

9. 10 小结

数字信号的最佳接收是按照错误概率最小作为 “最佳” 的准则。在本章中考虑错误主要是由于带限高斯白噪声引起的。在这个假定条件下，将二进制数字调制信号分为确知信号、随相信号和起伏信号三类逐一定量分析其最小可能错误概率。此外，还分析了接收多进制基带信号的错误概率。

分析的基本原理是将一个接收信号码元的全部抽样值当作为 k 维接收矢量空间中的一个矢量，并将接收矢量空间划分为两个区域。按照接收矢量落入哪个区域来判决是否发生错误。由判决准则可以得出最佳接收机的原理方框图和计算出误码率。这个误码率在理论上是最佳的，即理论上最小可能达到的。

二进制确知信号的最佳误码率决定于两种码元的相关系数 \(\rho\) 和信噪比 \(E_{b}/n_{0}\) ，而与信号波形无直接关系。相关系数 \(\rho\) 越小，误码率越低。2PSK 信号的相关系数最小 \((\rho = -1)\) ，其误码率最低。2FSK 信号可以看作是正交信号，其相关系数 \(\rho = 0\) 。

对于随相信号和起伏信号，仅以 FSK 信号为代表进行分析，因为在这种信道中，信号的振幅和相位都因噪声的影响而随机变化，故主要是 FSK 信号适于应用。由于这时信道引起信号相位有随机变化，不能采用相干解调，所以非相干解调是最佳接收方法。

将实际接收机和最佳接收机的误码率作比较可以看出，若实际接收机中的信号噪声功率比 r 等于最佳接收机中的码元能量和噪声功率谱密度之比 \(E_{b}/n_{0}\) ，则两者的误码率性能一样。但是，由于实际接收机总不可能达到这一点。所以，实际接收机的性能总是比不上最佳接收机的性能。

本章还从理论上证明了匹配滤波和相关接收两者等效，都是可以用于最佳接收。

9.10 小结

思考题

9-1 试问数字信号的最佳接收以什么指标作为准则？

9-2 试写出二进制信号的最佳接收的判决准则。

9-3 对于二进制双极性信号，试问最佳接收判决门限值应该等于多少？

9-4 试问二进制确知信号的最佳形式是什么？

9-5 试画出二进制确知信号最佳接收机的方框图。

9-6 对于二进制等概率双极性信号，试写出其最佳接收的总误码率表示式。

9-7 试述数字信号传输系统的误码率和信号波形的关系。

9-8 何谓匹配滤波？试问匹配滤波器的冲激响应和信号波形有何关系？其传输函数和信号频谱又有什么关系？

9-9 试述滤波器的物理可实现性条件。

9-10 试问如何才能使普通接收机的误码率达到最佳接收机的水平？

9-11 何谓相关接收？试画出接收 2FSK 信号的相关接收方框图。

9-12 试比较相关接收和匹配滤波的异同点。试问在什么条件下两者能够给出相同的输出信噪比？

9-13 对于理想信道，试问最佳基带传输系统的发送滤波器和接收滤波器特性之间有什么关系？

习题

9-1 简述确知信号、随相信号和起伏信号的特点。

9-2 设发射信号为先验概率相等的 2ASK 信号，试画出其最佳接收机结构。若非零码元为 \(s_1(t) = A\cos 2\pi f_c t\) ， \(0 \leqslant t \leqslant T\) ，试求该系统的抗高斯白噪声性能。

9-3 设 2FSK 信号为

\[ \left\{ \begin{array}{l l} s _ {0} (t) = A \sin 2 \pi f _ {0} t & 0 \leqslant t \leqslant T \\ s _ {1} (t) = A \sin 2 \pi f _ {1} t & 0 \leqslant t \leqslant T \end{array} \right. \]

且 \(f_{0}=2/T,f_{1}=2f_{0},s_{0}(t)\) 和 \(s_{1}(t)\) 等概出现。

(1) 试画出其相关接收机原理框图；

(2) 设发送码元 010, 试画出接收机各点时间波形；

(3) 设信道高斯白噪声的单边功率谱密度为 \(n_{0}/2\) (W/Hz)，试求该系统的误码率。

9-4 设 2PSK 信号的最佳接收机与实际接收机具有相同的输入信噪比 \(E_{\mathrm{b}} / n_0 = 10\mathrm{dB}\) ，实际接收机的带通滤波器带宽为 \(6 / T_{\mathrm{B}}(\mathrm{Hz})\) ， \(T_{\mathrm{B}}\) 为码元长度，试比较两种接收机的误码率相差多少？

9-5 设二进制双极性信号最佳基带传输系统中，信号码元 “0” 和 “1” 是等概率发送的，接收波形是持续时间为 \(T_{B}\) ，幅度为 1 的矩形脉冲，信道加性高斯白噪声的双边功率谱密度等于 \(10^{-6}\) W/Hz。试问为使误码率不大于 \(10^{-5}\) ，最高码元传输速率可以达到多高？

9-6 设二进制双极性信号最佳传输系统中，信号 “0” 和 “1” 是等概率发送的，信号传输速率为 56 kb/s，接收码元波形为不归零矩形脉冲，信道加性高斯白噪声的双边功率谱密度等于 \(10^{-15}\) W/Hz。试问为使误码率不大于 \(10^{-5}\) ，需要的最小接收信号功率等于多少？

第 9 章 数字信号的最佳接收

9-7 试证明式 (9.1-7):

\[ \frac {1}{T _ {\mathrm{B}}} \int_ {0} ^ {T _ {\mathrm{B}}} n ^ {2} (t) \mathrm{d} t = \frac {1}{2 f _ {\mathrm{H}} T _ {\mathrm{B}}} \sum_ {i = 1} ^ {k} n _ {i} ^ {2} \]

(提示：应用巴塞伐尔定理)

9-8 在功率谱密度为 \(n_0 / 2\) 的高斯白噪声背景下，设计一个与图 P9-1 中的信号波形相应的匹配滤波器，并确定：

9-9 设图 P9-2 (a) 系统中的输入信号 \(s(t)\) 及滤波器冲激响应 \(h_1(t)\) 和 \(h_2(t)\) 的波形分别如图 P9-2 (b) 所示。试画出 \(h_1(t)\) 和 \(h_2(t)\) 的输出波形，并说明它们哪一个是 \(s(t)\) 的匹配滤波器。

9-10 设接收机输入端的二进制信号码元 \(s_1(t)\) 和 \(s_2(t)\) 的波形如图 P9-3 所示，输入高斯白噪声的双边功率谱密度为 \(n_0 / 2(\mathrm{W / Hz})\) 。

(1) 画出匹配滤波器形式的最佳接收机结构；

习题

9-11 设在高斯白噪声干扰条件下接收的二进制信号码元为

\[ \left\{ \begin{array}{l l} s _ {0} (t) = A \sin (2 \pi f _ {0} t + \varphi_ {0}) & 0 \leqslant t \leqslant T _ {\mathrm{B}} \\ s _ {1} (t) = A \sin (2 \pi f _ {1} t + \varphi_ {1}) & 0 \leqslant t \leqslant T _ {\mathrm{B}} \end{array} \right. \]

式中， \(\varphi_{0}\) 和 \(\varphi_{1}\) 是服从均匀分布的随机变量； \(s_{0}(t)\) 和 \(s_{1}(t)\) 在 \((0, T_{\mathrm{B}})\) 内满足正交条件。

参考文献

第 9 章 数字信号的最佳接收

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