第6章 数字基带传输系统

第 6 章 数字基带传输系统

第 1 章中曾指出，与模拟通信相比，数字通信具有许多优良的特性，它的主要缺点就是设备复杂并且需要较大的传输带宽。近年来，随着大规模集成电路的出现，数字系统的设备复杂程度和技术难度大大降低，同时高效的数据压缩技术以及光纤等大容量传输介质的使用正逐步使带宽问题得到了解决。因此，数字传输方式日益受到欢迎。

此外，数字处理的灵活性使得数字传输系统中传输的数字信息既可以是来自计算机、电传机等数据终端的各种数字信号，也可以是来自模拟信号经数字化处理后的脉冲编码 (PCM) 信号等。这些数字信号所占据的频谱是从零频或很低频率开始，称为数字基带 (baseband) 信号。在某些具有低通特性的有线信道中，特别是在传输距离不太远的情况下，基带信号可以不经过载波调制而直接进行传输。例如，在计算机局域网中直接传输基带脉冲。这类系统称为数字基带传输系统。而把包括调制和解调过程的传输系统称为数字带通 (或频带) 传输系统。

目前，虽然数字基带传输不如带通传输那样应用广泛，但对于基带传输系统的研究仍是十分有意义的。这是因为：第一，在利用对称电缆构成的近程数据通信系统中广泛采用了这种传输方式；第二，随着数字通信技术的发展，基带传输方式也有迅速发展的趋势，目前，它不仅用于低速数据传输，而且还用于高速数据传输；第三，基带传输系统的许多问题也是带通传输系统必须考虑的问题；第四，理论上也可证明，任何一个采用线性调制的带通传输系统，可以等效为一个基带传输系统来研究。因此，本章先来讨论数字基带传输系统，下一章介绍数字带通传输系统。

本章在信号波形、传输码型及其谱特性的分析基础上，重点研究如何设计基带传输总特性，以消除码间干扰；如何有效地减小信道加性噪声的影响，以提高系统抗噪声性能。然后介绍一种利用实验手段直观估计系统性能的方法 —— 眼图，并提出改善数字基带传输性能的两个措施 —— 部分响应和时域均衡。

6.1 数字基带信号及其频谱特性

原理上数字信息可以表示成一个数字序列。例如，以二进制数字 “0” 和 “1” 表示。但是，在实际传输中，为了匹配信道的特性以获得令人满意的传输效果，需要选择不同的传输波形来表示 “0” 和 “1”。因此，有必要先了解数字基带信号波形及其频谱特性。

6.1.1 数字基带信号

如前所述，数字基带信号是表示数字信息的电波形，它可以用不同的电平或脉冲来表示。数字基带信号 (以下简称为基带信号) 的类型有很多。现在以矩形脉冲为例，介绍几种基本的基带信号波形，如图 6-1 所示。

1. 单极性波形

如图 6-1 (a) 所示，这是一种最简单的基带信号波形。它用正电平和零电平分别对应二进制数字 “1” 和 “0”; 或者说，在一个码元时间内用脉冲的有或无来表示 “1” 和 “0”。该波形的特点是电脉冲之间无间隔，极性单一，易于用 TTL、CMOS 电路产生；缺点是有直流分量，要求传输线路具有直流传输能力，因而不适应有交流耦合的远距离传输，只适用于计算机内部或极近距离 (如印制电路板内和机箱内) 的传输。

2. 双极性波形

如图 6-1 (b) 所示，它用正、负电平的脉冲分别表示二进制数字 “1” 和 “0”。因其正负电平的幅度相等、极性相反，故当 “1” 和 “0” 等概率出现时无直流分量，有利于在信道中传输，并且在接收端恢复信号的判决电平为零值，因而不受信道特性变化的影响，抗干扰能力也较强。在 ITU-T 制定的 V.24 接口标准和美国电工协会 (EIA) 制定的 RS-232C 接口标准中均采用双极性波形。

3. 单极性归零波形

所谓归零 (RZ) 波形是指它的有电脉冲宽度 \(\tau\) 小于码元宽度 \(T_{B}\) ，即信号电压在一个码元终止时刻前总要回到零电平，如图 6-1 (c) 中所示。通常，归零波形使用半占空码，即占空比 \((\tau/T_{\mathrm{B}})\) 为 50%，从单极性 RZ 波形可以直接提取定时信息，它是其他码型提取位同步信息时常采用的一种过渡波形。

与归零波形相对应，上面的单极性波形和双极性波形属于非归零 (NRZ) 波形，其占

6.1

数字基带信号及其频谱特性

空比 \(\tau/T_{B}=100\%\)

4. 双极性归零波形

它是双极性波形的归零形式，如图 6-1 (d) 所示。它兼有双极性和归零波形的特点。由于其相邻脉冲之间存在零电位的间隔，使得接收端很容易识别出每个码元的起止时刻，从而使收发双方能保持正确的位同步。这一优点使双极性归零波形得到了一定的应用。

5. 差分波形

这种波形是用相邻码元的电平的跳变和不变来表示消息，而与码元本身的电位或极性无关，如图 6-1 (e) 所示。图中，以电平跳变表示 “1”, 以电平不变表示 “0”, 当然上述规定也可以反过来。由于差分波形是以相邻脉冲电平的相对变化来表示消息，因此也称相对码波形，而相应地称前面的单极性或双极性波形为绝对码波形。用差分波形传送消息可以消除设备初始状态的影响，特别是在相位调制系统中 (参见第 7 章) 可用于解决载波相位模糊问题。

6. 多电平波形

上述波形的电平取值只有两种，即一个二进制码元对应一个脉冲。为了提高频带利用率，可以采用多电平波形或多值波形。例如，图 6-1 (f) 给出了一个四电平波形 2B1Q (两个比特用 4 级电平中的一级表示), 其中 11 对应 + 3E,10 对应 + E,00 对应 - E,01 对应 - 3E。由于多电平波形的一个脉冲对应多个二进制码，在波特率相同 (传输带宽相同) 的条件下，比特率提高了，因此多电平波形在频带受限的高速数据传输系统中得到了广泛应用。

需要指出的是，表示信息码元的单个脉冲的波形并非一定是矩形的。根据实际需要和信道情况，还可以是高斯脉冲、升余弦脉冲等其他形式。但无论采用什么形式的波形，数字基带信号都可用数学式表示出来。若表示各码元的波形相同而电平取值不同，则数字基带信号可表示为

\[ s (t) = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} a _ {n} g (t - n T _ {\mathrm{B}}) \tag {6.1-1} \]

式中： \(a_{n}\) 为第 n 个码元所对应的电平值 \((0, +1 \text{ 或 } -1, +1 \text{ 等})\) ; \(T_{B}\) 为码元持续时间；\(g(t)\) 为某种脉冲波形。

由于 \(a_{n}\) 是一个随机量，因而在实际中遇到的基带信号 \(s(t)\) 都是一个随机的脉冲序列。一般情况下，数字基带信号可表示为

\[ s (t) = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} s _ {n} (t) \tag {6.1-2} \]

其中， \(s_{n}(t)\) 可以有 N 种不同的脉冲波形。

6.1.2 基带信号的频谱特性

从传输的角度研究基带信号的频谱结构是十分必要的。通过频谱分析，可以确定信号需要占据的频带宽度，还可以获得信号谱中的直流分量、位定时分量、主瓣宽度和谱滚降衰减速度等信息。这样，我们可以针对信号谱的特点来选择相匹配的信道，或者说根据信道的传输特性来选择适合的信号形式或码型。

第 6 章 数字基带传输系统

由于数字基带信号是一个随机脉冲序列，没有确定的频谱函数，所以只能用功率谱来描述它的频谱特性。第 3 章中介绍的由随机过程的相关函数去求功率谱密度的方法就是一种典型的分析广义平稳随机过程的方法。这里，我们准备介绍另一种比较简明的方法，这种方法是以随机过程功率谱的原始定义为出发点，求出数字随机序列的功率谱公式。

设一个二进制的随机脉冲序列如图 6-2 所示。其中， \(g_{1}(t)\) 和 \(g_{2}(t)\) 分别表示消息码 “0” 和 “1”， \(T_{B}\) 为码元宽度。应当指出，图中虽然把 \(g_{1}(t)\) 和 \(g_{2}(t)\) 都画成了三角波（高度不同），但实际中 \(g_{1}(t)\) 和 \(g_{2}(t)\) 可以是任意形状的脉冲。

现假设序列中任一码元时间 \(T_{B}\) 内 \(g_{1}(t)\) 和 \(g_{2}(t)\) 出现的概率分别为 P 和 1-P，且认为它们的出现是统计独立的，则该序列 \(s(t)\) 可用式 (6.1-2) 表征，即

\[ s (t) = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} s _ {n} (t) \tag {6.1-3} \]

其中 \(s_{n}(t)=\left\{\begin{aligned}&g_{1}(t-nT_{B})& 以概率P出现\\ &g_{2}(t-nT_{B})& 以概率(1-P)出现\end{aligned}\right.\) (6.1-4)

为了使频谱分析的物理概念清楚，推导过程简化，可以把 \(s(t)\) 分解成稳态波 \(v(t)\) 和交变波 \(u(t)\) 。所谓稳态波，即随机序列 \(s(t)\) 的统计平均分量，它取决于每个码元内出现 \(g_{1}(t)\) 、 \(g_{2}(t)\) 的概率加权平均，因此可表示为

\[ v (t) = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} [ P g _ {1} (t - n T _ {\mathrm{B}}) + (1 - P) g _ {2} (t - n T _ {\mathrm{B}}) ] = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} v _ {n} (t) \tag {6.1-5} \]

由于 \(v(t)\) 在每个码元内的统计平均波形相同，故 \(v(t)\) 是以 \(T_{B}\) 为周期的周期信号。

交变波 \(u(t)\) 是 \(s(t)\) 与 \(v(t)\) 之差，即

\[ u (t) = s (t) - v (t) \tag {6.1-6} \]

其中第 n 个码元为

\[ u _ {n} (t) = s _ {n} (t) - v _ {n} (t) \tag {6.1-7} \]

于是

\[ u (t) = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} u _ {n} (t) \tag {6.1-8} \]

其中， \(u_{n}(t)\) 可以根据式 (6.1-4) 和式 (6.1-5) 表示为

9

数字基带信号及其频谱特性

\[ u _ {n} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} g _ {1} (t - n T _ {\mathrm{B}}) - P g _ {1} (t - n T _ {\mathrm{B}}) - (1 - P) g _ {2} (t - n T _ {\mathrm{B}}) \\ = (1 - P) [ g _ {1} (t - n T _ {\mathrm{B}}) - g _ {2} (t - n T _ {\mathrm{B}}) ] & \text {以概率} P \\ g _ {2} (t - n T _ {\mathrm{B}}) - P g _ {1} (t - n T _ {\mathrm{B}}) - (1 - P) g _ {2} (t - n T _ {\mathrm{B}}) \\ = - P [ g _ {1} (t - n T _ {\mathrm{B}}) - g _ {2} (t - n T _ {\mathrm{B}}) ] & \text {以概率} (1 - P) \end{array} \right. \]

或写成

\[ u _ {n} (t) = a _ {n} \left[ g _ {1} (t - n T _ {\mathrm{B}}) - g _ {2} (t - n T _ {\mathrm{B}}) \right] \tag {6.1-9} \]

其中

\[ a _ {n} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 - P & \text {以概率} P \\ - P & \text {以概率} (1 - P) \end{array} \right. \tag {6.1-10} \]

显然， \(u(t)\) 是一个随机脉冲序列。

下面我们根据式 (6.1-5) 和式 (6.1-8)，分别计算出稳态波 \(v(t)\) 和交变波 \(u(t)\) 的功率谱，然后根据式 (6.1-6) 的关系，就可得到随机基带脉冲序列 \(s(t)\) 的频谱特性。

1. \(v(t)\) 的功率谱密度 \(P_{v}(f)\)

由于 \(v(t)\) 是以 \(T_{B}\) 为周期的周期信号，故

\[ v (t) = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} \left[ P g _ {1} (t - n T _ {\mathrm{B}}) + (1 - P) g _ {2} (t - n T _ {\mathrm{B}}) \right] \]

可以展成傅里叶级数，即

\[ v (t) = \sum_ {m = - \infty} ^ {\infty} C _ {m} \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi m f _ {\mathrm{B}} t} \tag {6.1-11} \]

其中

\[ f _ {\mathrm{B}} = 1 / T _ {\mathrm{B}} \]

\[ C _ {m} = \frac {1}{T _ {\mathrm{B}}} \int_ {- \frac {T _ {\mathrm{B}}}{2}} ^ {\frac {T _ {\mathrm{B}}}{2}} v (t) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi m f _ {\mathrm{B}} t} \mathrm{d} t \tag {6.1-12} \]

由于在 \((-T_{\mathrm{B}} / 2,T_{\mathrm{B}} / 2)\) 范围内（相当 \(n = 0\) ）， \(v(t) = Pg_1(t) + (1 - P)g_2(t)\) ，所以

\[ C _ {m} = \frac {1}{T _ {\mathrm{B}}} \int_ {- \frac {T _ {\mathrm{B}}}{2}} ^ {\frac {T _ {\mathrm{B}}}{2}} [ P g _ {1} (t) + (1 - P) g _ {2} (t) ] \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi m f _ {\mathrm{B}} t} \mathrm{d} t \]

又由于 \(Pg_{1}(t)+(1-P)g_{2}(t)\) 只存在于 \((-T_{s}/2,T_{s}/2)\) 范围内，所以上式的积分限可以改为 \(-\infty\sim\infty\) ，因此

\[ \begin{array}{l} C _ {m} = \frac {1}{T _ {\mathrm{B}}} \int_ {- \infty} ^ {\infty} [ P g _ {1} (t) + (1 - P) g _ {2} (t) ] \mathrm{e} ^ {- j 2 \pi m f _ {\mathrm{B}} t} \mathrm{d} t \\ = f _ {\mathrm{B}} \left[ P G _ {1} (m f _ {\mathrm{B}}) + (1 - P) G _ {2} (m f _ {\mathrm{B}}) \right] \tag {6.1-13} \\ \end{array} \]

其中

\[ G _ {1} (m f _ {\mathrm{B}}) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} g _ {1} (t) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi m f _ {\mathrm{B}} t} \mathrm{d} t; G _ {2} (m f _ {\mathrm{B}}) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} g _ {2} (t) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi m f _ {\mathrm{B}} t} \mathrm{d} t \]

第 6 章 数字基带传输系统

于是，根据周期信号的功率谱密度与傅里叶系数 \(C_m\) 的关系式（参见式 (2.2-48))，得到 \(v(t)\) 的功率谱密度为

\[ P _ {r} (f) = \sum_ {m = - \infty} ^ {\infty} \left| f _ {\mathrm{B}} \left[ P G _ {1} (m f _ {\mathrm{B}}) + (1 - P) G _ {2} (m f _ {\mathrm{B}}) \right] \right| ^ {2} \delta (f - m f _ {\mathrm{B}}) \tag {6.1-14} \]

式 (6.1-14) 表明，稳态波的功率谱 \(P_{r}(f)\) 是冲激强度取决于 \(\left|C_{m}\right|^{2}\) 的离散线谱，根据离散谱可以确定随机序列是否包含直流分量 (m=0) 和定时分量 (m=1)。

2. \(u(t)\) 的功率谱密度 \(P_{u}(f)\)

由于 \(u(t)\) 是一个功率型的随机脉冲序列，它的功率谱密度可采用截短函数和统计平均的方法来求。参照第 3 章中的功率谱密度的原始定义式 (3.2-15), 有

\[ P _ {u} (f) = \lim _ {T \to \infty} \frac {E [ | U _ {\mathrm{T}} (f) | ^ {2} ]}{T} \tag {6.1-15} \]

式中： \(U_{\mathrm{T}}(f)\) 为 \(u(t)\) 的截短函数 \(u_{T}(t)\) 所对应的频谱函数；E 表示统计平均；T 为截取时间，设它等于 \((2N+1)\) 个码元的长度，即

\[ T = (2 N + 1) T _ {\mathrm{B}} \tag {6.1-16} \]

其中，N 为一个足够大的整数。此时，式 (6.1-15) 可以写成

\[ P _ {u} (f) = \lim _ {N \to \infty} \frac {E [ | U _ {\mathrm{T}} (f) | ^ {2} ]}{(2 N + 1) T _ {\mathrm{B}}} \tag {6.1-17} \]

先求出 \(u_{\mathrm{T}}(t)\) 的频谱函数 \(U_{\mathrm{T}}(f)\) 。由式 (6.1-8)，显然有

\[ u _ {\mathrm{T}} (t) = \sum_ {n = - N} ^ {N} u _ {n} (t) = \sum_ {n = - N} ^ {N} a _ {n} [ g _ {1} (t - n T _ {\mathrm{B}}) - g _ {2} (t - n T _ {\mathrm{B}}) ] \tag {6.1-18} \]

则

\[ \begin{array}{l} U _ {\mathrm{T}} (f) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} u _ {\mathrm{T}} (t) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{d} t \\ = \sum_ {n = - N} ^ {N} a _ {n} \int_ {- \infty} ^ {\infty} \left[ g _ {1} (t - n T _ {\mathrm{B}}) - g _ {2} (t - n T _ {\mathrm{B}}) \right] \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{d} t \\ = \sum_ {n = - N} ^ {N} a _ {n} \mathrm{e} ^ {- j 2 \pi f n T _ {\mathrm{B}}} [ G _ {1} (f) - G _ {2} (f) ] \tag {6.1-19} \\ \end{array} \]

其中 \(G_{1}(f) = \int_{-\infty}^{\infty}g_{1}(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi ft}\mathrm{d}t;\quad G_{2}(f) = \int_{-\infty}^{\infty}g_{2}(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi ft}\mathrm{d}t\)

于是 \(|U_{\mathrm{T}}(f)|^{2} = U_{\mathrm{T}}(f)U_{\mathrm{T}}^{*}(f)\)

\[ = \sum_ {m = - \Lambda} ^ {\Lambda} \sum_ {n = - \Lambda} ^ {\Lambda} a _ {m} a _ {n} \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi f (n - m) T _ {\mathrm{B}}} [ G _ {1} (f) - G _ {2} (f) ] [ G _ {1} (f) - G _ {2} (f) ] ^ {*} \tag {6.1-20} \]

其统计平均为

\[ E [ \mid U _ {\mathrm{T}} (f) \mid^ {2} ] = \sum_ {m = - N} ^ {N} \sum_ {n = - N} ^ {N} E (a _ {m} a _ {n}) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi f (n - m) T _ {\mathrm{B}}} [ G _ {1} (f) - G _ {2} (f) ] [ G _ {1} ^ {*} (f) - G _ {2} ^ {*} (f) ] \tag {6.1-21} \]

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数字基带信号及其频谱特性

当 \(m = n\) 时， \(a_{m}a_{n} = a_{n}^{2} = \begin{cases} (1 - P)^{2} & \text{以概率 } P \\ P^{2} & \text{以概率 } (1 - P) \end{cases}\)

所以

\[ E \left[ a _ {n} ^ {2} \right] = P (1 - P) ^ {2} + (1 - P) P ^ {2} = P (1 - P) \tag {6.1-22} \]

当 \(m \neq n\) 时， \(a_{m}a_{n} = \begin{cases} (1 - P)^{2} & \text{以概率 } P^{2} \\ P^{2} & \text{以概率 } (1 - P)^{2} \\ -P(1 - P) & \text{以概率 } 2P(1 - P) \end{cases}\)

所以

\[ E \left[ a _ {m} a _ {n} \right] = P ^ {2} (1 - P) ^ {2} + (1 - P) ^ {2} P ^ {2} + 2 P (1 - P) (P - 1) P = 0 \tag {6.1-23} \]

由以上计算可知，式 (6.1-21) 的统计平均值仅在 m=n 时存在，故有

\[ \begin{array}{l} E [ \mid U _ {\mathrm{T}} (f) \mid^ {2} ] = \sum_ {n = - N} ^ {N} E [ a _ {n} ^ {2} ] \mid G _ {1} (f) - G _ {2} (f) \mid^ {2} \\ = (2 N + 1) P (1 - P) \mid G _ {1} (f) - G _ {2} (f) \mid^ {2} \tag {6.1-24} \\ \end{array} \]

将其代入式 \((6.1-17)\) ，则可求得 \(u(t)\) 的功率谱密度

\[ \begin{array}{l} P _ {u} (f) = \lim _ {N \rightarrow \infty} \frac {(2 N + 1) P (1 - P) | G _ {1} (f) - G _ {2} (f) | ^ {2}}{(2 N + 1) T _ {\mathrm{B}}} \\ = f _ {\mathrm{B}} P (1 - P) \mid G _ {1} (f) - G _ {2} (f) \mid^ {2} \tag {6.1-25} \\ \end{array} \]

式 (6.1-25) 表明，交变波的功率谱 \(P_{u}(f)\) 是连续谱，它与 \(g_{1}(t)\) 和 \(g_{2}(t)\) 的频谱以及概率 P 有关。通常，根据连续谱可以确定随机序列的带宽。

3. \(s(t)\) 的功率谱密度 \(P_{s}(f)\)

由于 \(s(t)=u(t)+v(t)\) ，所以将式 (6.1-25) 与式 (6.1-14) 进行相加，即可得到随机序列 \(s(t)\) 的功率谱密度，即

\[ \begin{array}{l} P _ {s} (f) = P _ {u} (f) + P _ {r} (f) = f _ {\mathrm{B}} P (1 - P) \mid G _ {1} (f) - G _ {2} (f) \mid^ {2} + \\ \sum_ {m = - \infty} ^ {\infty} \left| f _ {\mathrm{B}} \left[ P G _ {1} (m f _ {\mathrm{B}}) + (1 - P) G _ {2} (m f _ {\mathrm{B}}) \right] \right| ^ {2} \delta (f - m f _ {\mathrm{B}}) \tag {6.1-26} \\ \end{array} \]

式 \((6.1-26)\) 为双边的功率谱密度表示式。如果写成单边的，则有

\[ \begin{array}{l} P _ {\mathrm{s}} (f) = 2 f _ {\mathrm{B}} P (1 - P) \left| G _ {1} (f) - G _ {2} (f) \right| ^ {2} + f _ {\mathrm{B}} ^ {2} \left| P G _ {1} (0) + (1 - P) G _ {2} (0) \right| ^ {2} \delta (f) + \\ 2 f _ {\mathrm{B}} ^ {2} \sum_ {m = 1} ^ {\infty} \mid P G _ {1} (m f _ {\mathrm{B}}) + (1 - P) G _ {2} (m f _ {\mathrm{B}}) \mid^ {2} \delta (f - m f _ {\mathrm{B}}) \quad f \geqslant 0 \tag {6.1-27} \\ \end{array} \]

式中： \(f_{B}=1/T_{B}\) 为码元速率； \(T_{B}\) 为码元宽度（持续时间）； \(G_{1}(f)\) ， \(G_{2}(f)\) 分别为 \(g_{1}(t)\) ， \(g_{2}(t)\) 的傅里叶变换。

由式 \((6.1-26)\) 可以得到以下结论：

第 6 章 数字基带传输系统

据离散谱可以确定随机序列是否有直流分量和定时分量。

下面举例说明功率谱密度的计算。

【例 6-1】求单极性 NRZ 和 RZ 矩形脉冲序列的功率谱。

【解】对于单极性波形：若设 \(g_{1}(t)=0, g_{2}(t)=g(t)\) ，则由式 (6.1-26) 可得到由其构成的随机脉冲序列的双边功率谱密度为

\[ P _ {s} (f) = f _ {\mathrm{B}} P (1 - P) | G (f) | ^ {2} + \sum_ {m = - \infty} ^ {\infty} | f _ {\mathrm{B}} (1 - P) G (m f _ {\mathrm{B}}) | ^ {2} \delta (f - m f _ {\mathrm{B}}) \tag {6.1-28} \]

等概率 \((P=1/2)\) 时，式 (6.1-28) 简化为

\[ P _ {\mathrm{s}} (f) = \frac {1}{4} f _ {\mathrm{B}} | G (f) | ^ {2} + \frac {1}{4} f _ {\mathrm{B}} ^ {2} \sum_ {m = - \infty} ^ {\infty} | G (m f _ {\mathrm{B}}) | ^ {2} \delta (f - m f _ {\mathrm{B}}) \tag {6.1-29} \]

(1) 若表示 “1” 码的波形 \(g_{2}(t)=g(t)\) 为不归零 (NRZ) 矩形脉冲，即

\[ g (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & | t | \leqslant \frac {T _ {\mathrm{B}}}{2} \\ 0 & \text {其他} \end{array} \right. \]

其频谱函数为

\[ G (f) = T _ {\mathrm{B}} \left(\frac {\sin \pi f T _ {\mathrm{B}}}{\pi f T _ {\mathrm{B}}}\right) = T _ {\mathrm{B}} \mathrm{Sa} (\pi f T _ {\mathrm{B}}) \]

当 \(f=mf_{B}\) 时， \(G(mf_{B})\) 的取值情况为 m=0, \(G(0)=T_{B}\mathrm{Sa}(0)\neq0\) ，因此式 (6.1-29) 中有直流分量 \(\delta(f)\) ;m 为不等于零的整数时， \(G(mf_{B})=T_{B}\mathrm{Sa}(n\pi)=0\) ，则式 (6.1-29) 中离散谱为零，因而无定时分量 \(\delta(f-f_{B})\) 。

这时，式 (6.1-29) 变成

\[ \begin{array}{l} P _ {\mathrm{s}} (f) = \frac {1}{4} f _ {\mathrm{B}} T _ {\mathrm{B}} ^ {2} \left(\frac {\sin \pi f T _ {\mathrm{B}}}{\pi f T _ {\mathrm{B}}}\right) ^ {2} + \frac {1}{4} \delta (f) \\ = \frac {T _ {\mathrm{B}}}{4} \mathrm{Sa} ^ {2} (\pi f T _ {\mathrm{B}}) + \frac {1}{4} \delta (f) \tag {6.1-30} \\ \end{array} \]

（2）若表示 “1” 码的波形 \(g_{2}(t)=g(t)\) 为半占空 RI 矩形脉冲，即脉冲宽度 \(\tau=T_{B}/2\) 时，其频谱函数为

\[ G (f) = \frac {T _ {\mathrm{B}}}{2} \mathrm{Sa} \left(\frac {\pi f T _ {\mathrm{B}}}{2}\right) \]

当 \(f=mf_{B}\) 时， \(G(mf_{B})\) 的取值情况为 m=0， \(G(0)=T_{B}\mathrm{Sa}(0)/2\neq0\) ，因此式 (6.1-29) 中有直流分量；m 为奇数时， \(G(mf_{B})=\frac{T_{B}}{2}\mathrm{Sa}\left(\frac{m\pi}{2}\right)\neq0\) ，此时有离散谱，因而有定时分量（当 m=1 时）；m 为偶数时， \(G(mf_{B})=\frac{T_{B}}{2}\mathrm{Sa}\left(\frac{m\pi}{2}\right)=0\) ，此时无离散谱。

这时，式 (6.1-29) 变成

6.1 数字基带信号及其频谱特性

\[ P _ {\mathrm{s}} (f) = \frac {T _ {\mathrm{B}}}{1 6} \mathrm{Sa} ^ {2} \left(\frac {\pi f T _ {\mathrm{B}}}{2}\right) + \frac {1}{1 6} \sum_ {m = - \infty} ^ {\infty} \mathrm{Sa} ^ {2} \left(\frac {m \pi}{2}\right) \delta (f - m f _ {\mathrm{B}}) \tag {6.1-31} \]

单极性信号的功率谱密度分别如图 6-3 (a) 中的实线和虚线所示。

【例 6-2】求双极性 NRZ 和 RZ 矩形脉冲序列的功率谱。

【解】对于双极性波形：若设 \(g_{1}(t) = -g_{2}(t) = g(t)\) ，则由式 (6.1-26)，得

\[ P _ {\mathrm{s}} (f) = 4 f _ {\mathrm{B}} P (1 - P) | G (f) | ^ {2} + \sum_ {m = - \infty} ^ {\infty} | f _ {\mathrm{B}} (2 P - 1) G (m f _ {\mathrm{B}}) | ^ {2} \delta (f - m f _ {\mathrm{B}}) \tag {6.1-32} \]

等概率 \((P=1/2)\) 时，式 (6.1-32) 变为

\[ P _ {\mathrm{s}} (f) = f _ {\mathrm{B}} | G (f) | ^ {2} \tag {6.1-33} \]

(1) 若 \(g(t)\) 是高度为 1 的 NRZ 矩形脉冲，则式 (6.1-33) 可写为

\[ P _ {\mathrm{s}} (f) = T _ {\mathrm{B}} \mathrm{Sa} ^ {2} (\pi f T _ {\mathrm{B}}) \tag {6.1-34} \]

(2) 若 \(g(t)\) 是高度为 1 的半占空 RZ 矩形脉冲，则有

\[ P _ {\mathrm{s}} (f) = \frac {T _ {\mathrm{B}}}{4} \mathrm{Sa} ^ {2} \left(\frac {\pi}{2} f T _ {\mathrm{B}}\right) \tag {6.1-35} \]

双极性信号的功率谱密度曲线如图 6-3 (b) 中的实线和虚线所示。

从以上两例可以看出：

综上分析，研究随机脉冲序列的功率谱是十分有意义的。一方面可以根据它的连续谱来确定序列的带宽；另一方面根据它的离散谱是否存在这一特点，使我们明确能否从脉冲序列中直接提取定时分量，以及采用怎样的方法可以从基带脉冲序列中获得所需的离散分量。这一点，在研究位同步、载波同步等问题时将是十分重要的。

第 6 章 数字基带传输系统

应该指出，在以上的分析方法中没有限定 \(g_{1}(t)\) 和 \(g_{2}(t)\) 的波形。因此，式 (6.1-26) 不仅适用于计算二进制数字基带信号的功率谱，也可以用来计算数字调制信号的功率谱，只要满足上述分析方法中的条件。事实上，由式 (6.1-26) 很容易得到二进制幅度键控（ASK）、相移键控（PSK）和频移键控（FSK）的功率谱（见第 7 章）。

6.2 基带传输的常用码型

在实际的基带传输系统中，并不是所有的基带波形都适合在信道中传输。例如，含有直流和低频分量的单极性基带波形就不适宜在低频传输特性差的信道中传输，因为这有可能造成信号严重畸变。又如，当消息码元序列中包含长串的连续 “1” 或 “0” 符号时，非归零波形呈现出连续的固定电平，因而无法获取定时信息。单极性归零码在传送连 “0” 时，也存在同样的问题。因此，对传输用的基带信号主要有以下两个方面的要求：

前者属于传输码型的选择，后者是基带脉冲的选择。这是两个既独立又有联系的问题。本节先讨论码型的选择问题，后一问题将在以后讨论。

6.2.1 传输码的码型选择原则

传输码 (或称线路码) 的结构将取决于实际信道特性和系统工作的条件。在选择传输码型时，一般应遵循以下原则:

满足或部分满足以上特性的传输码型种类很多，下面将介绍目前常用的几种。

6.2.2 几种常用的传输码型。

1. AMI 码

AMI (Alternative Mark Inversion) 码的全称是传号交替反转码，其编码规则是将消息码的 “1”(传号) 交替地变换为 “+1” 和 “-1”, 而 “0”(空号) 保持不变。例如:

消息码：0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1…

AMI 码: 0 -1 +1 0000000 -1 +1 00 -1 +1…

AMI 码对应的波形是具有正、负、零三种电平的脉冲序列。它可以看成是单极性波形的

6.2

基带传输的常用码型

变形，即 “0” 仍对应零电平，而 “1” 交替对应正、负电平。

AMI 码的优点是，没有直流成分，且高、低频分量少，能量集中在频率为 1/2 码速处 (图 6-4); 编解码电路简单，且可利用传号极性交替这一规律观察误码情况；如果它是 AMI-RZ 波形，接收后只要全波整流，就可变为单极性 RZ 波形，从中可以提取位定时分量。鉴于上述优点，AMI 码成为较常用的传输码型之一。

AMI 码的缺点：当原信码出现长连 “0” 串时，信号的电平长时间不跳变，造成提取定时信号的困难。解决连 “0” 码问题的有效方法之一是采用 \(HDB_{3}\) 码。

2. HDB \(_{3}\) 码

\(HDB_{3}\) 码的全称是三阶高密度双极性码。它是 AMI 码的一种改进型，改进目的是为了保持 AMI 码的优点而克服其缺点，使连 “0” 个数不超过三个。其编码规则如下：

消息码：1000 0 1000 0 1 1 0000 000 0 1 1

AMI 码： -1 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 -1 +1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 +1

\(HDB_{3}\) 码：-1 0 0 0 - V + 1 0 0 0 + V - 1 + 1 - B 0 0 - V + B 0 0 + V - 1 + 1

其中： \(\pm V\) 脉冲和 \(\pm B\) 脉冲与 \(\pm 1\) 脉冲波形相同，用 V 或 B 符号表示的目的是为了示意该非 “0” 码是由原信码的 “0” 变换而来的。

\(HDB_{3}\) 码的编码虽然比较复杂，但解码却比较简单。从上述编码规则看出，每一个破坏脉冲 V 总是与前一非 “0” 脉冲同极性 (包括 B 在内)。这就是说，从收到的符号序列中可以容易地找到破坏点 V, 于是也断定 V 符号及其前面的三个符号必是连 “0” 符号，从而恢复 4 个连 “0” 码，再将所有 -1 变成 +1 后便得到原消息码。

第 6 章 数字基带传输系统

\(HDB_{3}\) 码除了具有 AMI 码的优点外，同时还将连 “0” 码限制在 3 个以内，使得接收时能保证定时信息的提取。因此，\(HDB_{3}\) 码是我国和欧洲等国家应用最为广泛的码型，A 律 PCM 四次群以下的接口码型均为 \(HDB_{3}\) 码。

在上述 AMI 码、 \(HDB_{3}\) 码中，每位二进制信码都被变换成 1 位三电平取值 \((+1,0,-1)\) 的码，因此也称这类码为 1BIT 码。此外，还可以设计出使 “0” 个数不超过 n 个的 \(HDB_{n}\) 码。

3. 双相码

双相码又称曼彻斯特 (Manchester) 码。它用一个周期的正负对称方波表示 “0”，而用其反相波形表示 “1”。编码规则之一是，“0” 码用 “01” 两位码表示，“1” 码用 “10” 两位码表示，例如：

消息码：1 1 0 0 1 0 1

双相码：10 10 01 01 10 01 10

双相码波形是一种双极性 NRZ 波形，只有极性相反的两个电平。它在每个码元间隔的中心点都存在电平跳变，所以含有丰富的位定时信息，且没有直流分量，编码过程也简单。缺点是占用带宽加倍，使频带利用率降低。

双相码适用于数据终端设备近距离上传输，局域网常采用该码作为传输码型。

4. 差分双相码

为了解决双相码因极性反转而引起的译码错误，可以采用差分码的概念。双相码是利用每个码元持续时间中间的电平跳变进行同步和信码表示 (由负到正的跳变表示二进制 “0”, 由正到负的跳变表示二进制 “1”)。而在差分双相码编码中，每个码元中间的电平跳变用于同步，而每个码元的开始处是否存在额外的跳变用来确定信码。有跳变则表示二进制 “1”, 无跳变则表示二进制 “0”。该码在局域网中常被采用。

5. CMI 码

CMI 码是传号反转码的简称，与双相码类似，它也是一种双极性二电平码。其编码规则是:“1” 码交替用 “1 1” 和 “0 0” 两位码表示；“0” 码固定地用 “01” 表示，其波形如图 6-5 (c) 所示。

6.2

基带传输的常用码型

CMI 码易于实现，含有丰富的定时信息。此外，由于 10 为禁用码组，不会出现三个以上的连码，这个规律可用来宏观检错。该码已被 ITU-T 推荐为 PCM 四次群的接口码型，有时也用在速率低于 8.448Mb/s 的光缆传输系统中。

6. 块编码

为了提高线路编码性能，需要某种冗余来确保码型的同步和检错能力。引入块编码可以在某种程度上达到这两个目的。块编码的形式有 nBmB 码，nBmT 码等。

nBmB 码是一类块编码，它把原信息码流的 n 位二进制码分为一组，并置换成 m 位二进制码的新码组，其中 m > n。由于 m > n, 新码组可能有 \(2^{m}\) 种组合，故多出 \((2^{m} - 2^{n})\) 种组合。在 \(2^{m}\) 种组合中，以某种方式选择有利码组作为许用码组，其余作为禁用码组，以获得好的编码性能。例如，在 4B5B 编码中，用 5 位的编码代替 4 位的编码，对于 4 位分组，只有 \(2^{4} = 16\) 种不同的组合，对于 5 位分组，则有 \(2^{5} = 32\) 种不同的组合。为了实现同步，我们可以按照不超过一个前导 “0” 和两个后缀 “0” 的方式选用码组，其余为禁用码组。这样，如果接收端出现了禁用码组，则表明传输过程中出现误码，从而提高了系统的检错能力。前面介绍的双相码和 CMI 码都可看作 1B2B 码。

在光纤通信系统中，常选择 \(m = n + 1\) , 取 1B2B 码、2B3B 码、3B4B 码及 5B6B 码等。其中，5B6B 码型已实用化，用作三次群和四次群以上的线路传输码型。

nBmB 码提供了良好的同步和检错功能，但是也会为此付出一定的代价，即所需的带宽随之增加。

nBmT 码的设计思想是将 n 个二进制码变换成 m 个三进制码的新码组，且 m < n。例如，4B3T 码，它把 4 个二进制码变换成 3 个三进制码。显然，在相同的码速率下，4B3T 码的信息容量大于 1B1T，因而可提高频带利用率。

4B3T 码、8B6T 码等适用于较高速率的数据传输系统，如高次群同轴电缆传输系统。

6.3 数字基带信号传输与码间串扰

6.3.1 数字基带信号传输系统的组成

在前两节中，我们从不同的角度了解了基带信号的特点。从现在开始，我们将要讨论基带信号的传输问题。本小节先定性描述数字基带信号传输的物理过程。6.3.2 小节将对有关问题进行定量分析。

图 6-6 是一个典型的数字基带信号传输系统方框图。它主要由发送滤波器（信道信号形成器）、信道、接收滤波器和抽样判决器组成。为了保证系统可靠有序地工作，还应有同步系统。

第 6 章 数字基带传输系统

图中各方框的功能和信号传输的物理过程简述如下：

图 6-7 画出了基带系统的各点波形示意图。图 6-7 (a) 是输入的基带信号，这是最常见的单极性 NRZ 信号；(b) 是进行码型变换后的波形；(c) 对 (a) 而言进行了码型及波形的变换，是一种适合在信道中传输的波形；(d) 是信道输出信号，显然由于信道传输特性的不理想，使波形产生了失真并叠加上了噪声；(e) 为接收滤波器输出波形，它与 (d) 相比，失真和噪声减弱；(f) 是位定时同步脉冲；(g) 为恢复的信息，其中第 7 个码元发生误码。

误码是由接收端抽样判决器的错误判决造成的，而造成错误判决的原因主要有两个：一个是码间串扰，另一个是信道加性噪声的影响。所谓码间串扰 (ISI) 是由于系统传输总特性 (包括收、发滤波器和信道的特性) 不理想，导致前后码元的波形畸变、展宽，并使前面波形出现很长的拖尾，蔓延到当前码元的抽样时刻上，从而对当前码元的判决造成干扰。码间串扰严重时，会造成错误判决，如图 6-8 所示。

6.3

数字基带信号传输与码间串扰

此时，实际抽样判决值不仅有本码元的值，还有其他码元在该码元抽样时刻的串扰值及噪声。显然，接收端能否正确恢复信息，在于能否有效地抑制噪声和减小码间串扰。

6.3.2 数字基带信号传输的定量分析

在 6.3.1 小节中，我们定性分析了基带信号传输系统的工作原理，并对码间串扰和噪声的影响有了直观的认识。本节将进行定量分析，分析模型如图 6-9 所示。

图 6-9 中，假设 \(\{a_{n}\}\) 为发送滤波器的输入符号序列，在二进制的情况下，符号 \(a_{n}\) 的取值为 0,1 或 - 1,+1。为分析方便，我们把这个序列对应的基带信号表示成

\[ d (t) = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} a _ {n} \delta (t - n T _ {\mathrm{B}}) \tag {6.3-1} \]

这个信号是由时间间隔为 \(T_{B}\) 的单位冲激函数 \(\delta(t)\) 构成的序列，其每一个 \(\delta(t)\) 的强度则由 \(a_{n}\) 决定。

设发送滤波器的传输特性为 \(G_{\mathrm{T}}(\omega)\) ，信道的传输特性为 \(C(\omega)\) ，接收滤波器的传输特性为 \(G_{\mathrm{R}}(\omega)\) ，则图 6-9 所示的基带传输系统的总传输特性为

\[ H (\omega) = G _ {\mathrm{T}} (\omega) C (\omega) G _ {\mathrm{R}} (\omega) \tag {6.3-2} \]

其单位冲激响应为

\[ h (t) = \frac {1}{2 \pi} \int_ {- \infty} ^ {\infty} H (\omega) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} \omega \tag {6.3-3} \]

\(h(t)\) 是在单个 \(\delta(t)\) 作用下， \(H(\omega)\) 形成的输出波形。因此在冲激脉冲序列 \(d(t)\) 作用下，接收滤波器输出信号 \(r(t)\) 可表示为

\[ r (t) = d (t) * h (t) + n _ {\mathrm{R}} (t) = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} a _ {n} h (t - n T _ {\mathrm{B}}) + n _ {\mathrm{R}} (t) \tag {6.3-4} \]

式中： \(n_{R}(t)\) 为加性噪声 \(n(t)\) 经过接收滤波器后输出的噪声。

然后，抽样判决器对 \(r(t)\) 进行抽样判决，以确定所传输的数字信息序列 \(\{a_{n}\}\) 。例如，为了确定第 \(k\) 个码元 \(a_{k}\) 的取值，应在 \(t = kT_{\mathrm{B}} + t_0\) 时刻上（ \(t_0\) 是信道和接收滤波器所造成的延迟) 对 \(r(t)\) 进行抽样，以确定 \(r(t)\) 在该样点上的值。由式 (6.3-4) 可得

第 6 章 数字基带传输系统

\[ \begin{array}{l} r (k T _ {\mathrm{B}} + t _ {0}) = a _ {k} h (t _ {0}) + \sum_ {n \neq k} a _ {n} h [ (k - n) T _ {\mathrm{B}} + t _ {0} ] \tag {6.3-5} \\ + n _ {\mathrm{R}} (k T _ {\mathrm{B}} + t _ {0}) \\ \end{array} \]

式中： \(a_{k}h(t_{0})\) 为第 \(k\) 个接收码元波形的抽样值，它是确定 \(a_{k}\) 的依据； \(\sum_{n\neq k}a_nh[(k - n)T_{\mathrm{B}} + t_0]\) 为除第 \(k\) 个码元以外的其他码元波形在第 \(k\) 个抽样时刻上的总和（代数和），它对当前码元 \(a_{k}\) 的判决起着干扰的作用，所以称为码间串扰值，由于 \(a_{n}\) 是以概率出现的，故码间串扰值通常是一个随机变量； \(n_{\mathrm{R}}(kT_{\mathrm{B}} + t_0)\) 为输出噪声在抽样瞬间的值，它是一种随机干扰，也会影响对第 \(k\) 个码元的正确判决。

此时，实际抽样值 \(r(kT_{\mathrm{B}}+t_{0})\) 不仅有本码元的值，还有码间串扰值及噪声，故当 \(r(kT_{\mathrm{B}}+t_{0})\) 加到判决电路时，对 \(a_{k}\) 取值的判决可能判对也可能判错。例如，在二进制数字通信时，\(a_{k}\) 的可能取值为 “0” 或 “1”, 若判决电路的判决门限为 \(V_{d}\) , 则这时判决规则如下:

\[ \left\{ \begin{array}{l l} r (k T _ {\mathrm{B}} + t _ {0}) > V _ {\mathrm{d}} \text { 时,判 } a _ {k} \text { 为“1” } \\ r (k T _ {\mathrm{B}} + t _ {0}) < V _ {\mathrm{d}} \text { 时,判 } a _ {k} \text { 为“0” } \end{array} \right. \]

显然，只有当码间串扰值和噪声足够小时，才能基本保证上述判决的正确；否则，有可能发生错判，造成误码。因此，为使基带脉冲传输获得足够小的误码率，必须最大限度地减小码间串扰和随机噪声的影响。这也正是研究基带脉冲传输的基本出发点。

6.4 无码间串扰的基带传输特性

6.3 节分析表明，码间串扰和信道噪声是影响基带传输系统性能的两个主要因素。因此，如何减小它们的影响，使系统的误码率达到规定要求是必须研究的两个问题。由于码间串扰和信道噪声产生的机理不同，并且为了简化分析，突出主要问题，可以把这两个问题分别考虑。本节先讨论在不考虑噪声情况下，如何消除码间串扰；6.5 节中将讨论无码间串扰情况下，如何减小信道噪声的影响。

6.4.1 消除码间串扰的基本思想

由式 \((6.3-5)\) 可知，若想消除码间串扰，应使

\[ \sum_ {n \neq k} a _ {n} h [ (k - n) T _ {\mathrm{B}} + t _ {0} ] = 0 \tag {6.4-1} \]

由于 \(a_{n}\) 是随机的，要想通过各项相互抵消使码间串扰为 0 是不行的，这就需要对 \(h(t)\) 的波形提出要求。如果相邻码元的前一个码元的波形到达后一个码元抽样判决时刻已经衰减到 0，如图 6-10 (a) 所示的波形，就能满足要求。但是，这样的波形不易实现，因为实际中的 \(h(t)\) 波形有很长的 “拖尾”，也正是由于每个码元的 “拖尾” 造成了对相邻码元的串扰，但只要让它在 \(T_{\mathrm{B}} + t_0,2T_{\mathrm{B}} + t_0\) 等后面码元抽样判决时刻上正好为 0，就能消除码间串扰，如图 6-10 (b) 所示。这就是消除码间串扰的基本思想。

6.4 无码间串扰的基带传输特性

6.4.2 无码间串扰的条件

如上所述，只要基带传输系统的冲激响应波形 \(h(t)\) 仅在本码元的抽样时刻上有最大值，并在其他码元的抽样时刻上均为 0，则可消除码间串扰。也就是说，若对 \(h(t)\) 在时刻 \(t = kT_{\mathrm{B}}\) （这里假设信道和接收滤波器所造成的延迟 \(t_0 = 0\) ) 抽样，则有

\[ h (k T _ {\mathrm{B}}) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & k = 0 \\ 0 & k \text {为其他整数} \end{array} \right. \tag {6.4-2} \]

式 \((6.4-2)\) 称为无码间串扰的时域条件。也就是说，若 \(h(t)\) 的抽样值除了在 t=0 时不为零外，在其他所有抽样点上均为零，就不存在码间串扰。

根据 \(h(t) \Leftrightarrow H(\omega)\) 的关系可知，\(h(t)\) 是由基带系统 \(H(\omega)\) 形成的传输波形。因此，如何形成无码间串扰的传输波形 \(h(t)\) , 实际是如何设计基带传输总特性 \(H(\omega)\) 的问题。下面我们来寻找满足式 (6.4-2) 的 \(H(\omega)\) 。

因为

\[ h (t) = \frac {1}{2 \pi} \int_ {- \infty} ^ {\infty} H (\omega) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} \omega \tag {6.4-3} \]

所以，在 \(t=kT_{B}\) 时，有

\[ h (k T _ {\mathrm{B}}) = \frac {1}{2 \pi} \int_ {- \infty} ^ {\infty} H (\omega) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} \omega k T _ {\mathrm{B}}} \mathrm{d} \omega \tag {6.4-4} \]

现把式 \((6.4-4)\) 的积分区间用分段积分求和代替，每段长为 \(2\pi/T_{B}\) ，则式 \((6.4-4)\) 可写成

\[ h (k T _ {\mathrm{B}}) = \frac {1}{2 \pi} \sum_ {i} \int_ {(2 i - 1) \pi / T _ {\mathrm{B}}} ^ {(2 i + 1) \pi / T _ {\mathrm{B}}} H (\omega) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} \omega k T _ {\mathrm{B}}} \mathrm{d} \omega \tag {6.4-5} \]

作变量代换：令 \(\omega' = \omega - \frac{2i\pi}{T_{B}}\) ，则有 \(d\omega' = d\omega, \omega = \omega' + \frac{2i\pi}{T_{B}}\) 。且当 \(\omega = \frac{(2i \pm 1)\pi}{T_{B}}\) 时， \(\omega' = \pm \frac{\pi}{T_{B}}\) ，于是

\[ \begin{array}{l} h (k T _ {\mathrm{B}}) = \frac {1}{2 \pi} \sum_ {i} \int_ {- \pi / T _ {\mathrm{B}}} ^ {\pi / T _ {\mathrm{B}}} H \left(\omega^ {\prime} + \frac {2 i \pi}{T _ {\mathrm{B}}}\right) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} \omega^ {\prime} k T _ {\mathrm{B}}} \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} 2 \pi i k} \mathrm{d} \omega^ {\prime} \\ = \frac {1}{2 \pi} \sum_ {i} \int_ {- \pi / T _ {\mathrm{B}}} ^ {\pi / T _ {\mathrm{B}}} H \left(\omega^ {\prime} + \frac {2 i \pi}{T _ {\mathrm{B}}}\right) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} \omega^ {\prime} k T _ {\mathrm{B}}} \mathrm{d} \omega^ {\prime} \tag {6.4-6} \\ \end{array} \]

第 6 章 数字基带传输系统

当式 \((6.4-6)\) 右边一致收敛时，求和与积分的次序可以互换，于是有

\[ h (k T _ {\mathrm{B}}) = \frac {1}{2 \pi} \int_ {- \pi / T _ {\mathrm{B}}} ^ {\pi / T _ {\mathrm{B}}} \sum_ {i} H \left(\omega + \frac {2 i \pi}{T _ {\mathrm{B}}}\right) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} \omega k T _ {\mathrm{B}}} \mathrm{d} \omega \tag {6.4-7} \]

这里，已把 \(\omega'\) 重新换为 \(\omega\) 。

利用式 \((6.4-7)\) ，可以将式 \((6.4-2)\) 的无码间串扰时域条件转换为如下频域条件：

\[ \sum_ {i} H \Big (\omega + \frac {2 \pi i}{T _ {\mathrm{B}}} \Big) = T _ {\mathrm{B}} \qquad | \omega | \leqslant \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} \tag {6.4-8} \]

该条件提供了检验一个给定的传输系统特性 \(H(\omega)\) 是否会产生码间串扰的一种方法。凡是能符合要求的基带系统的总特性 \(H(\omega)\) ，均能消除码间串扰。

式 (6.4-8) 的物理意义：将 \(H(\omega)\) 在 \(\omega\) 轴上以 \(2\pi/T_{B}\) 为间隔切开，然后分段沿 \(\omega\) 轴平移到 \(\left(-\frac{\pi}{T_{B}}, \frac{\pi}{T_{B}}\right)\) 区间内，将它们进行叠加，其结果应当为一常数 (不必一定是 \(T_{B}\))。这一过程可以归述为，一个实际的 \(H(\omega)\) 特性若能等效成一个理想 (矩形) 低通滤波器，则可实现无码间串扰。

例如，图 6-11 中的 \(H(\omega)\) 是对 \(\omega=\pm\pi/T_{B}\) 呈奇对称的低通滤波器特性，经过切割、平移、叠加，可得到

\[ \sum_ {i} H \left(\omega + \frac {2 \pi i}{T _ {\mathrm{B}}}\right) = H \left(\omega - \frac {2 \pi}{T _ {\mathrm{B}}}\right) + H (\omega) + H \left(\omega + \frac {2 \pi}{T _ {\mathrm{B}}}\right) = T _ {\mathrm{B}} \quad | \omega | \leqslant \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} \]

故该 \(H(\omega)\) 满足式 (6.4-8) 的要求，具有等效理想低通特性，所以它是无码间串扰的 \(H(\omega)\) 。

满足消除码间串扰条件的传输特性 \(H(\omega)\) 并不是唯一的要求。如何设计或选择满足式 (6.4-11) 的 \(H(\omega)\) 是接下来要讨论的问题。

6.4

无码间串扰的基带传输特性

6.4.3 无码间串扰传输特性的设计

1. 理想低通特性

满足消除码间串扰条件的 \(H(\omega)\) 有很多种，容易想到的一种极限情况，就是 \(H(\omega)\) 为理想低通型，相当于式 (6.4-8) 中只有 \(i = 0\) 项，即

\[ H (\omega) = \left\{ \begin{array}{l l} T _ {\mathrm{B}} & | \omega | \leqslant \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} \\ 0 & | \omega | > \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} \end{array} \right. \tag {6.4-9} \]

如图 6-12 (a) 所示。它的冲激响应为

\[ h (t) = \frac {\sin \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} t}{\frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} t} = \mathrm{Sa} (\pi t / T _ {\mathrm{B}}) \tag {6.4-10} \]

如图 6-12 (b) 所示。由图可见， \(h(t)\) 在 \(t = \pm kT_{\mathrm{B}}(k\neq 0)\) 时有周期性零点，当发送序列的时间间隔为 \(T_{\mathrm{B}}\) 时，正好巧妙地利用了这些零点（图 6-12 (b) 中虚线），只要接收端在 \(t = kT_{\mathrm{B}}\) 时间点上抽样，就能实现无码间串扰。

由图 6-12 及式 (6.4-9) 还可以看出，对于带宽为

\[ B = 1 / 2 T _ {\mathrm{B}} (\mathrm{Hz}) \]

的理想低通传输特性，若输入数据以 \(R_{B}=1/T_{B}\) 波特的速率进行传输，则在抽样时刻上不存在码间串扰。若以高于 \(1/T_{B}\) 波特的码元速率传送时，将存在码间串扰。此时，基带系统所能提供的最高频带利用率为

\[ \eta = R _ {\mathrm{B}} / B = 2 \quad (\mathrm{Baud/Hz}) \tag {6.4-11} \]

这是在无码间串扰条件下，基带系统所能达到的极限情况。

通常，把此理想低通传输特性的带宽 \((1/2T_{\mathrm{B}})\) 称为奈奎斯特带宽，记为 \(f_{N}\) ; 将该系统无码间串扰的最高传输速率 \((2f_{\mathrm{N}}\) 波特) 称为奈奎斯特速率。

令人遗憾的是，虽然理想的低通传输特性达到了基带系统的极限传输速率 (\(2f_{N}\) 波特) 和极限频带利用率 (2Baud/Hz), 可是这种特性在物理上是无法实现的。而且，即使获得了相当逼近理想的特性，把它的冲激响应 \(h(t)\) 作为传输波形仍然是不适宜的。这是因为，理想特性的冲激响应波形 \(h(t)\) 的 “尾巴”—— 衰减振荡幅度较大；如果定时 (抽样时刻) 稍有偏差，就会出现严重的码间串扰。考虑到实际的传输系统总是可能存在定时误差的，所以对理想低通传输特性的研究只有理论上的指导意义，还需寻找物理可实现的等效理想低通特性。

第 6 章 数字基带传输系统

2. 余弦滚降特性

为了解决理想低通特性存在的问题，可以使理想低通滤波器特性的边沿缓慢下降，这称为 “滚降”。一种常用的滚降特性是余弦滚降特性，如图 6-13 所示。只要 \(H(\omega)\) 在滚降段中心频率处 (与奈奎斯特带宽 \(f_{N}\) 相对应) 呈奇对称的振幅特性，就必然可以满足奈奎斯特第一准则，从而实现无码间串扰传输。这种设计也可看成是理想低通特性以奈奎斯特带宽 \(f_{N}\) 为中心，按奇对称条件进行滚降的结果。按余弦特性滚降的传输函数 \(H(\omega)\) 可表示为

\[ H (\omega) = \left\{ \begin{array}{l l} T _ {\mathrm{B}} & 0 \leqslant | \omega | < \frac {(1 - \alpha) \pi}{T _ {\mathrm{B}}} \\ \frac {T _ {\mathrm{B}}}{2} \left[ 1 + \sin \frac {T _ {\mathrm{B}}}{2 \alpha} \left(\frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} - \omega\right) \right] & \frac {(1 - \alpha) \pi}{T _ {\mathrm{B}}} \leqslant | \omega | < \frac {(1 + \alpha) \pi}{T _ {\mathrm{B}}} \\ 0 & | \omega | \geqslant \frac {(1 + \alpha) \pi}{T _ {\mathrm{B}}} \end{array} \right. \tag {6.4-12} \]

相应的 \(h(t)\) 为

\[ h (t) = \frac {\sin \pi t / T _ {\mathrm{B}}}{\pi t / T _ {\mathrm{B}}} \cdot \frac {\mathrm{coB} \alpha \pi t / T _ {\mathrm{B}}}{1 - 4 \alpha^ {2} t ^ {2} / T _ {\mathrm{B}} ^ {2}} \tag {6.4-13} \]

式中： \(\alpha\) 为滚降系数，用于描述滚降程度，定义为

\[ \alpha = f _ {\Delta} / f _ {N} \tag {6.4-14} \]

式中： \(f_{N}\) 为奈奎斯特带宽； \(f_{\Delta}\) 是超出奈奎斯特带宽的扩展量。

显然， \(0 \leqslant \alpha \leqslant 1\) 。对应不同的 \(\alpha\) 有不同的滚降特性。图 6-14 画出了滚降系数 \(\alpha = 0\) ，0.5, 0.75, 1 时的几种滚降特性和冲激响应。可见，滚降系数 \(\alpha\) 越大， \(h(t)\) 的拖尾衰减越快，对位定时精度要求越低。但是，滚降使带宽增大为 \(B = f_{\mathrm{N}} + f_{\Delta} = (1 + \alpha)f_{\mathrm{N}}\) ，所以频带利用率降低。因此，余弦滚降系统的最高频带利用率为

\[ \eta = \frac {R _ {\mathrm{B}}}{B} = \frac {2 f _ {\mathrm{N}}}{(1 + \alpha) f _ {\mathrm{N}}} = \frac {2}{(1 + \alpha)} (\mathrm{Baud/Hz}) \tag {6.4-15} \]

6.4 无码间串扰的基带传输特性

由图 6-14 可以看出： \(\alpha = 0\) 时，即为前面所述的理想低通系统； \(\alpha = 1\) 时，就是在图 6-11 中所示的升余弦频谱特性，这时 \(H(\omega)\) 可表示为

\[ H (\omega) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {T _ {\mathrm{B}}}{2} \Big (1 + \cos \frac {\omega T _ {\mathrm{B}}}{2} \Big) & | \omega | \leqslant \frac {2 \pi}{T _ {\mathrm{B}}} \\ 0 & | \omega | > \frac {2 \pi}{T _ {\mathrm{B}}} \end{array} \right. \tag {6.4-16} \]

其单位冲激响应为

\[ h (t) = \frac {\sin \pi t / T _ {\mathrm{B}}}{\pi t / T _ {\mathrm{B}}} \cdot \frac {\cos \pi t / T _ {\mathrm{B}}}{1 - 4 t ^ {2} / T _ {\mathrm{B}} ^ {2}} \tag {6.4-17} \]

由图 6-14 和式 (6.4-17) 可知， \(\alpha = 1\) 的升余弦滚降特性的 \(h(t)\) 满足抽样值上无串扰的传输条件，且各抽样值之间又增加了一个零点，而且它的尾部衰减较快（与 \(t^3\) 成反比），这有利于减小码间串扰和位定时误差的影响。但这种系统所占频带最宽，是理想低通系统的 2 倍，因而频带利用率为 \(1\mathrm{Band / Hz}\) ，是基带系统最高利用率的 \(1/2\) 。

应当指出，在以上讨论中并没有涉及 \(H(\omega)\) 的相移特性。实际上它的相移特性一般不为零，故需要加以考虑。然而，在推导式 (6.4-8) 的过程中，我们并没有指定 \(H(\omega)\) 是实函数，所以，式 (6.4-8) 对于一般特性的 \(H(\omega)\) 均适用。

6.5 基带传输系统的抗噪声性能

6.4 节在不考虑噪声影响时，讨论了无码间串扰的基带传输特性。本节将研究在无码间串扰条件下，由信道噪声引起的误码率。

在图 6-9 所示的基带传输系统模型中，信道加性噪声 \(n(t)\) 通常被假设为均值为 0、双边功率谱密度为 \(n_0 / 2\) 的平稳高斯白噪声，而接收滤波器又是一个线性网络，故判决电路输入噪声 \(n_{\mathrm{R}}(t)\) 也是均值为 0 的平稳高斯噪声，且它的功率谱密度为

\[ P _ {n} (f) = \frac {n _ {0}}{2} | G _ {\mathrm{R}} (f) | ^ {2} \]

方差 (噪声平均功率) 为

第 6 章 数字基带传输系统

\[ \sigma_ {n} ^ {2} = \int_ {- \infty} ^ {\infty} \frac {n _ {0}}{2} | G _ {\mathrm{R}} (f) | ^ {2} \mathrm{d} f \tag {6.5-1} \]

故 \(n_{\mathrm{R}}(t)\) 是均值为 0、方差为 \(\sigma_{n}^{2}\) 的高斯噪声，因此它的瞬时值的统计特性可用下述一维概率密度函数描述：

\[ f (V) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {n}} \mathrm{e} ^ {- 1 / 2 / 2 \sigma_ {n} ^ {2}} \tag {6.5-2} \]

式中：V 就是噪声的瞬时取值 \(n_{\mathrm{R}}(kT_{\mathrm{B}})\) 。

6.5.1 二进制双极性基带系统

对于二进制双极性信号，假设它在抽样时刻的电平取值为 + A 或 - A (分别对应信码 “1” 或 “0”), 则在一个码元持续时间内，抽样判决器输入端的混合波形 (信号 + 噪声) \(x(t)\) 在抽样时刻的取值为

\[ x (k T _ {\mathrm{B}}) = \left\{ \begin{array}{l l} A + n _ {\mathrm{R}} (k T _ {\mathrm{B}}) & \text { 发送“1”时 } \\ - A + n _ {\mathrm{R}} (k T _ {\mathrm{B}}) & \text { 发送“0”时 } \end{array} \right. \tag {6.5-3} \]

根据式 \((6.5-2)\) ，当发送 “1” 时， \(A+n_{R}(kT_{B})\) 的一维概率密度函数为

\[ f _ {1} (x) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {n}} \exp \left(- \frac {(x - A) ^ {2}}{2 \eta_ {n} ^ {2}}\right) \tag {6.5-4} \]

当发送 “0” 时， \(-A+n_{R}(kT_{B})\) 的一维概率密度函数为

\[ f _ {0} (x) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {n}} \exp \left(- \frac {(x + A) ^ {2}}{2 \sigma_ {n} ^ {2}}\right) \tag {6.5-5} \]

相应的曲线分别示于图 6-15 中。

在 \(-A \sim +A\) 之间选择一个适当的电平 \(V_{d}\) 作为判决门限，根据判决规则将会出现以下几种情况：

对 “1” 码 \(\left\{\begin{aligned}x&>V_{d}\text{判为“1”码(正确)}\\ x&\leqslant V_{d}\text{判为“0”码(错误)}\end{aligned}\right.\)

6.5 基带传输系统的抗噪声性能

\[ \text { 对 } “ 0 ” \text { 码 } \left\{ \begin{array}{l l} x \leqslant V _ {\mathrm{d}} \text { 判为 } “ 0 ” \text { 码(正确) } \\ x > V _ {\mathrm{d}} \text { 判为 } “ 1 ” \text { 码(错误) } \end{array} \right. \]

可见，在二进制基带信号传输过程中，噪声引起的误码有两种差错形式：发送的是 “1” 码，却被判为 “0” 码；发送的是 “0” 码，却被判为 “1” 码。下面分别计算这两种差错概率。

发 “1” 错判为 “0” 的概率 \(P(0/1)\) 为

\[ \begin{array}{l} P (0 / 1) = P (x \leqslant V _ {\mathrm{d}}) = \int_ {- \infty} ^ {V _ {\mathrm{d}}} f _ {1} (x) \mathrm{d} x \\ = \int_ {- \infty} ^ {V _ {\mathrm{d}}} \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {n}} \exp \left(- \frac {(x - A) ^ {2}}{2 \sigma_ {n} ^ {2}}\right) \mathrm{d} x = \frac {1}{2} + \frac {1}{2} \operatorname{erf} \left(\frac {V _ {\mathrm{d}} - A}{\sqrt {2} \sigma_ {n}}\right) \tag {6.5-6} \\ \end{array} \]

发 “0” 错判为 “1” 的概率 \(P(1/0)\) 为

\[ \begin{array}{l} P (1 / 0) = P (x > V _ {\mathrm{d}}) = \int_ {V _ {\mathrm{d}}} ^ {\infty} f _ {0} (x) \mathrm{d} x \\ = \int_ {V _ {\mathrm{d}}} ^ {\infty} \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {n}} \exp \left(- \frac {(x + A) ^ {2}}{2 \sigma_ {n} ^ {2}}\right) \mathrm{d} x = \frac {1}{2} - \frac {1}{2} \operatorname{erf} \left(\frac {V _ {\mathrm{d}} + A}{\sqrt {2} \sigma_ {n}}\right) \tag {6.5-7} \\ \end{array} \]

它们分别如图 6-15 中的阴影部分所示。假设信源发送 “1” 码的概率为 \(P(1)\) ，发送 “0” 码的概率为 \(P(0)\) ，则二进制基带传输系统的总误码率为

\[ P _ {e} = P (1) P (0 / 1) + P (0) P (1 / 0) \tag {6.5-8} \]

将式 (6.5-6) 和式 (6.5-7) 代入式 (6.5-8) 可以看出，误码率与发送概率 \(P(1)\) 、 \(P(0)\) ，信号的峰值 A，噪声功率 \(\sigma_{n}^{2}\) ，以及判决门限电平 \(V_{d}\) 有关。因此，在 \(P(1)\) 、 \(P(0)\) 给定时，误码率最终由 \(A,\sigma_{n}^{2}\) 和判决门限 \(V_{d}\) 决定。在 A 和 \(\sigma_{n}^{2}\) 一定条件下，可以找到一个使误码率最小的判决门限电平，称为最佳门限电平。若令

\[ \frac {\partial P _ {\mathrm{e}}}{\partial V _ {\mathrm{d}}} = 0 \]

则由式 \((6.5-6)\) 、式 \((6.5-7)\) 和式 \((6.5-8)\) 可求得最佳门限电平为

\[ V _ {\mathrm{d}} ^ {*} = \frac {\sigma_ {n} ^ {2}}{2 A} \ln \frac {P (0)}{P (1)} \tag {6.5-9} \]

若 \(P(1)=P(0)=1/2\) ，则有

\[ V _ {\mathrm{d}} ^ {*} = 0 \tag {6.5-10} \]

这时，基带传输系统总误码率为

\[ P _ {\mathrm{e}} = \frac {1}{2} [ P (0 / 1) + P (1 / 0) ] \]

第 6 章 数字基带传输系统

\[ = \frac {1}{2} \left[ 1 - \operatorname{erf} \left(\frac {A}{\sqrt {2} \sigma_ {n}}\right) \right] = \frac {1}{2} \operatorname{erfc} \left(\frac {A}{\sqrt {2} \sigma_ {n}}\right) \tag {6.5-11} \]

由式 (6.5-11) 可见，在发送概率相等，且在最佳门限电平下，双极性基带系统的总误码率仅依赖于信号峰值 \(A\) 与噪声均方根值 \(\sigma_{n}\) 的比值，而与采用什么样的信号形式无关（当然，这里的信号形式必须是能够消除码间干扰的）。且比值 \(A / \sigma_{n}\) 越大， \(P_{e}\) 就越小。

6.5.2 二进制单极性基带系统

对于单极性信号，若设它在抽样时刻的电平取值为 +A 或 0 (分别对应信码 “1” 或 “0”), 则只需将图 6-15 中 \(f_{0}(x)\) 曲线的分布中心由 -A 移到 0 即可。这时式 (6.5-9)、式 (6.5-10) 和式 (6.5-11) 将分别变成

\[ V _ {\mathrm{d}} ^ {*} = \frac {A}{2} + \frac {\sigma_ {n} ^ {2}}{A} \ln \frac {P (0)}{P (1)} \tag {6.5-12} \]

当 \(P(1) = P(0) = 1 / 2\) 时，有

\[ V _ {\mathrm{d}} ^ {*} = \frac {A}{2} \tag {6.5-13} \]

\[ P _ {\mathrm{e}} = \frac {1}{2} \operatorname{erfc} \left(\frac {A}{2 \sqrt {2} \sigma_ {n}}\right) \tag {6.5-14} \]

比较式 (6.5-14) 和式 (6.5-11) 可见，当比值 \(A/\sigma_{n}\) 一定时，双极性基带系统的误码率比单极性的低，抗噪声性能好。此外，在等概条件下，双极性的最佳判决门限电平为 0, 与信号幅度无关，因而不随信道特性变化而变，故能保持最佳状态。而单极性的最佳判决门限电平为 A/2, 它易受信道特性变化的影响，从而导致误码率增大。因此，双极性基带系统比单极性基带系统应用更为广泛。

6.6 眼图

从理论上讲，在信道特性确知的条件下，可以通过精心设计系统传输特性以达到消除码间串扰的目的。但在实际中难免存在滤波器的设计误差和信道特性的变化，所以无法实现理想的传输特性，使得抽样时刻上存在码间串扰，从而导致系统性能的下降。而且计算由于这些因素所引起的误码率非常困难，尤其在码间串扰和噪声同时存在的情况下，系统性能的定量分析更是难以进行，因此，在实际应用中需要用简便的实验手段来定性评价系统的性能。下面介绍一种有效的实验方法 —— 眼图。

所谓眼图，是指通过用示波器观察接收端的基带信号波形，从而估计和调整系统性能的一种方法。这种方法的具体做法是：用一个示波器跨接在抽样判决器的输入端，然后调整示波器水平扫描周期，使其与接收码元的周期同步。此时可以从示波器显示的图形上，观察码间干扰和信道噪声等因素影响的情况，从而估计系统性能的优劣程度。因为在传输二进制信号波形时，示波器显示的图形很像人的眼睛，故名 “眼图”。

现在，让我们借助图 6-16 来了解眼图形成原理。为了便于理解，暂先不考虑噪声的影响。图 6-16 (a) 是接收滤波器输出的无码间串扰的双极性基带波形，用示波器观察它，并将示波器扫描周期调整到码元周期 \(T_{B}\) ，由于示波器的余辉作用，扫描所得的每一个码元波形将重叠在一起，形成如图 6-16 (b) 所示的线迹细而清晰的大 “眼睛”；图 (c) 是有码间串扰的双极性基带波形，由于存在码间串扰，此波形已经失真，示波器的扫描迹线就不完全重合，于是形成的眼图线迹杂乱，“眼睛” 张开的较小，且眼图不端正，如图 6-16 (d) 所示。对比图 (b) 和图 (d) 可知，眼图的 “眼睛” 张开越大，且眼图越端正，表示码间串扰越小；反之，表示码间串扰越大。

当存在噪声时，眼图的线迹变成了比较模糊的带状的线，噪声越大，线条越粗，越模糊，“眼睛” 张开得越小。不过，应该注意，从图形上并不能观察到随机噪声的全部形态，例如出现机会少的大幅度噪声，由于它在示波器上一晃而过，因而用人眼是观察不到的。所以，在示波器上只能大致估计噪声的强弱。

从以上分析可知，眼图可以定性反映码间串扰的大小和噪声的大小，眼图还可以用来指示接收滤波器的调整，以减小码间串扰，改善系统性能。同时，通过眼图我们还可以获得有关传输系统性能的许多信息。为了说明眼图和系统性能之间的关系，我们把眼图简化为一个模型，如图 6-17 所示。由该图可以获得以下信息:

第 6 章 数字基带传输系统

图 6-18 (a) 和 (b) 分别是二进制双极性升余弦频谱信号在示波器上显示的两张眼图照片。其中 (a) 是在几乎无噪声和无码间干扰下得到的，而图 (b) 则是在一定噪声和码间干扰下得到的。

顺便指出，接收二进制双极性波形时，在一个码元周期 \(T_{B}\) 内只能看到一只眼睛；若接收的是 M 进制双极性波形，则在一个码元周期内可以看到纵向显示的 \((M-1)\) 只眼睛；若接收的是经过码型变换后得到的 AMI 码或 \(HDB_{3}\) 码时，由于它们的波形具有三电平，在眼图中间出现一根代表连 “0” 的水平线；另外，若扫描周期为 \(nT_{B}\) 时，可以看到并排的 n 只眼睛。

6.7 部分响应和时域均衡

到目前为止，我们从理论上研究了数字基带传输系统的基本问题。本节将针对实际系统介绍两种改善系统性能的措施：一是针对提高频带利用率而采用的部分响应技术；另一个是针对减小码间串扰而采用的时域均衡技术。

6.7.1 部分响应系统

在 6.4 节中，我们根据奈奎斯特第一准则，重点讨论了两种无码间串扰的基带传输特性：理想低通特性和升余弦滚降特性。理想低通传输特性的频带利用率可以达到基带系统的理论极限值 2Baud/Hz, 但它不能物理实现，且响应波形 \(\sin x/x\) 的尾巴振荡幅度大、收敛慢，从而对定时要求十分严格；升余弦滚降特性虽然能解决理想低通系统存在的问题，但代价是所需频带加宽，频带利用率下降，因此不利于高速传输的发展。

那么，能否找到频率利用率既高又使 “尾巴” 衰减大、收敛快的传输波形呢？奈奎斯特第二准则回答了这个问题。该准则告诉我们：人为地、有规律地在码元的抽样时刻引入码间串扰，并在接收端判决前加以消除，从而可以达到改善频谱特性，压缩传输频带，使频带利用率提高到理论上的最大值，并加速传输波形尾巴的衰减和降低对定时精度要求的目的。通常把这种波形称为部分响应波形。利用部分响应波形传输的基带系统称为部分响应系统。

6.9

部分响应和时域均衡

1. 第 Ⅰ 类部分响应波形

我们已经熟知，波形 \(\sin x/x\) “拖尾” 严重。但通过观察图 6-12 所示的 \(\sin x/x\) 波形，我们发现相距一个码元间隔的两个 \(\sin x/x\) 波形的 “拖尾” 刚好正负相反，利用这样的波形组合肯定可以构成 “拖尾” 衰减很快的脉冲波形。根据这一思路，我们可用两个间隔为一个码元长度 \(T_{B}\) 的 \(\sin x/x\) 的合成波形来代替 \(\sin x/x\) , 如图 6-19 (a) 所示。合成波形的表达式为

\[ g (t) = \frac {\sin \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} \left(t + \frac {T _ {\mathrm{B}}}{2}\right)}{\frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} \left(t + \frac {T _ {\mathrm{B}}}{2}\right)} + \frac {\sin \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} \left(t - \frac {T _ {\mathrm{B}}}{2}\right)}{\frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} \left(t - \frac {T _ {\mathrm{B}}}{2}\right)} \tag {6.7-1} \]

经简化后得

\[ g (t) = \frac {4}{\pi} \left(\frac {\cos \pi t / T _ {\mathrm{B}}}{1 - 4 t ^ {2} / T _ {\mathrm{B}} ^ {2}}\right) \tag {6.7-2} \]

由式 (6.7-2) 可见，\(g(t)\) 的 “拖尾” 幅度随 \(t^{2}\) 下降，这说明它比 \(\sin x/x\) 波形收敛快，衰减大。这是因为，相距一个码元间隔的两个 \(\sin x/x\) 波形的 “拖尾” 正负相反而相互抵消，使得合成波形的 “拖尾” 衰减速度加快了。此外，由图 6-19 (a) 还可以看出，\(g(t)\) 除了在相邻的取样时刻 \(t=\pm T_{B}/2\) 处，\(g(t)=1\) 外，其余的取样时刻上，\(g(t)\) 具有等 \(T_{B}\) 间隔的零点。

对式 \((6.7-2)\) 进行傅里叶变换，可得 \(g(t)\) 的频谱函数为

\[ G (\omega) = \left\{ \begin{array}{l l} 2 T _ {\mathrm{B}} \cos \frac {\omega T _ {\mathrm{B}}}{2} & | \omega | \leqslant \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} \\ 0 & | \omega | > \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} \end{array} \right. \tag {6.7-3} \]

如图 6-19 (b) 所示 (只画出了正频率部分), \(g(t)\) 的频谱限制在 \((- \pi / T_{\mathrm{B}}, \pi / T_{\mathrm{B}})\) 内，且呈余弦滤波特性。这种缓变的滚降过渡特性是在理想矩形滤波器的带宽 (奈奎斯特带宽)

第 6 章 数字基带传输系统

范围内，所以其带宽为 \(B = 1/2T_{\mathrm{B}}(\mathrm{Hz})\) , 与理想矩形滤波器的相同，频带利用率为 \(\eta = R_{B}/B = \frac{1}{T_{\mathrm{B}}} / \frac{1}{2T_{\mathrm{B}}} = 2 (\mathrm{Baud}/\mathrm{Hz})\) , 达到了基带系统的理论极限值。

若用上述构造的部分响应波形 \(g(t)\) 作为传送信号的波形，且发送码元间隔为 \(T_{B}\) , 则在抽样时刻上仅发生前一码元对本码元抽样值的干扰，而与其他码元不发生串扰（见图 6-20）。表面上看，由于前后码元的串扰很大，似乎无法按 \(1 / T_{\mathrm{B}}\) 的速率进行传送。但由于这种 “串扰” 是确定的，在接收端可以消除掉，故仍可按 \(1 / T_{\mathrm{B}}\) 传输速率传送码元。

例如，设输入的二进制码元序列为 \(\{a_{k}\}\) ，并设 \(a_{k}\) 的取值为 + 1 及 - 1（对应于 “1” 及 “0”）。这样，当发送码元 \(a_{k}\) 时，接收波形 \(g(t)\) 在相应时刻上（第 k 个时刻上）的抽样值 \(C_{k}\) 由下式确定：

\[ C _ {k} = a _ {k} + a _ {k - 1} \tag {6.7-4} \]

或

\[ a _ {k} = C _ {k} - a _ {k - 1} \tag {6.7-5} \]

式中： \(a_{k-1}\) 为 \(a_{k}\) 的前一码元在第 k 个时刻上的抽样值（即串扰值）。由于串扰值和信码抽样值相等，因此 \(g(t)\) 的抽样值 \(C_{k}\) 将有 -2,0,+2 三种取值，即成为伪三进制序列。如果前一码元 \(a_{k-1}\) 已经接收判定，则接收端可根据收到的 \(C_{k}\) ，由式 (6.7-5) 得到 \(a_{k}\) 的取值。

从上面例子可以看到，实际中确实还能够找到频带利用率高 (达到 2Baud/Hz) 和尾巴衰减大、收敛也快的传送波形。这说明，通过有控制地引入码间串扰，有可能达到 2Baud/Hz 的理想频带利用率，并使波形尾巴振荡衰减加快这样两个目的。

但是，上述判决方法存在这样一个问题：因为 \(a_{k}\) 的恢复不仅仅由 \(C_{k}\) 来确定，而是必须参考前一码元 \(a_{k-1}\) 的判决结果，如果 \(\{C_{k}\}\) 序列中某个抽样值因干扰而发生差错，则不但会造成当前恢复的 \(a_{k}\) 值错误，而且还会影响到以后所有的 \(a_{k+1},a_{k+2},\cdots\) 的正确判决，出现一连串的错误。这一现象叫做差错传播。例如:

输入信码	1	0	1	1	0	0	0	1	0	1	1
发送端 $\{a_k\}$	+1	-1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	-1	+1	+1
发送端 $\{C_k\}$		0	0	+2	0	-2	-2	0	0	0	+2
接收端 $\{C'_k\}$		0	0	+2	0	-2	$0_x$	0	0	0	+2
恢复的 $\{a'_k\}$	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1x	-1x	+1x	-1x	+3x

可见，自 \(\{C_{k}^{\prime}\}\) 出现错误之后，接收端恢复出来的 \(\{a_{k}^{\prime}\}\) 全部是错误的。此外，在接收端恢复 \(\{a_{k}^{\prime}\}\) 时还必须有正确的起始值 (\(\pm1\))，否则，即使没有传输差错也不可能得到正确的 \(\{a_{k}^{\prime}\}\) 序列。

产生差错传播的原因是，因为在 \(g(t)\) 的形成过程中，首先要形成相邻码元的串扰，然后再经过响应网络形成所需要的波形。所以，在有控制地引入码间串扰的过程中，使原本互相独立的码元变成了相关码元，也正是码元之间的这种相关性导致了接收判决的差错传播。这种串扰所对应的运算称为相关运算，所以式 (6.7-4) 称为相关编码。可见，相关编码是为了得到预期的部分响应信号频谱所必需的，但却带来了差错传播问题。

6.7

部分响应和时域均衡

为了避免因相关编码而引起的差错传播问题，可以在发送端相关编码之前进行预编码 (实质是把输入信码 \(a_{k}\) 变换成 “差分码” \(b_{k}\) ), 其编码规则为

\[ b _ {k} = a _ {k} \oplus b _ {k - 1} \tag {6.7-6} \]

即

\[ a _ {k} = b _ {k} \oplus b _ {k - 1} \tag {6.7-7} \]

式中： \(\oplus\) 表示模 2 加。

然后，把 \(\{b_{k}\}\) 作为发送滤波器的输入码元序列，形成由式 (6.7-1) 决定的 \(g(t)\) 波形序列，于是，参照式 (6.7-4) 可得到

\[ C _ {k} = b _ {k} + b _ {k - 1} \tag {6.7-8} \]

显然，若对式 \((6.7-8)\) 进行模 2 处理，则有

\[ \left[ C _ {k} \right] _ {\mathrm{mod2}} = \left[ b _ {k} + b _ {k - 1} \right] _ {\mathrm{mod2}} = b _ {k} \oplus b _ {k - 1} = a _ {k} \]

即

\[ a _ {k} = \left[ C _ {k} \right] _ {\mathrm{mod2}} \tag {6.7-9} \]

式 (6.7-9) 表明，对接收到的 \(C_{k}\) 作模 2 处理后便直接得到发送端的 \(a_{k}\) , 此时不需要预先知道 \(a_{k-1}\) , 因而不存在错误传播现象。这是因为，预编码后的部分响应信号各抽样值之间解除了码元之间的相关性，所以由当前 \(C_{k}\) 值可直接得到当前的 \(a_{k}\) 。

通常，把式 (6.7-6) 的变换称为预编码，而把式 (6.7-4) 或式 (6.7-8) 的关系称为相关编码。因此，整个上述处理过程可概括为 “预编码 — 相关编码 — 模 2 判决” 过程。

下面的例子说明了这一过程 (其中的 \(a_{k}\) 和 \(b_{k}\) 为二进制双极性码，其取值为 + 1 及 - 1 (对应于 “1” 及 “0”)):

\[ \begin{array}{l l l l l l l l l l l l} a _ {k} & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ b _ {k - 1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ b _ {k} & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ C _ {k} & 0 & + 2 & 0 & 0 & + 2 & + 2 & + 2 & 0 & - 2 & 0 & 0 \\ C _ {k} ^ {\prime} & 0 & + 2 & 0 & 0 & + 2 & + 2 & + 2 & 0 & \boxed {0 _ {\times}} & 0 & 0 \\ a _ {k} ^ {\prime} & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & \boxed {1 _ {\times}} & 1 & 1 \end{array} \]

判决规则为

\[ C _ {k} = \left\{ \begin{array}{l l} \pm 2 & \text {判} 0 \\ 0 & \text {判} 1 \end{array} \right. \]

第 6 章 数字基带传输系统

此例说明，由当前 \(C_{k}\) 值可直接得到当前的 \(a_{k}\) , 所以错误不会传播下去，而是局限在受干扰码元本身位置。

上面讨论的属于第 Ⅰ 类部分响应波形，其系统组成方框如图 6-21 所示。

应当指出，部分响应信号是由预编码器、相关编码器、发送滤波器、信道和接收滤波器共同产生的。这意味着：如果相关编码器输出为 \(\delta\) 脉冲序列，发送滤波器、信道和接收滤波器的传输函数应为理想低通特性。但由于部分响应信号的频谱是滚降衰减的，因此对理想低通特性的要求可以略有放松。

2. 部分响应波形的一般形式

部分响应波形的一般形式可以是 N 个相继间隔 \(T_{B}\) 的 \(\sin x/x\) 波形之和，其表达式为

\[ g (t) = R _ {1} \frac {\sin \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} t}{\frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} t} + R _ {2} \frac {\sin \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} (t - T _ {\mathrm{B}})}{\frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} (t - T _ {\mathrm{B}})} + \dots + R _ {N} \frac {\sin \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} [ t - (N - 1) T _ {\mathrm{B}} ]}{\frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} [ t - (N - 1) T _ {\mathrm{B}} ]} \tag {6.7-10} \]

式中： \(R_{1}, R_{2}, \cdots, R_{N}\) 为加权系数，其取值为正整数、负整数和零。例如，当取 \(R_{1} = 1, R_{2} = 1\) ，其余系数 \(R_{m} = 0\) 时，就是前面所述的第 I 类部分响应波形。

由式 (6.7-10) 可得，\(g(t)\) 的频谱函数为

\[ G (\omega) = \left\{ \begin{array}{l l} T _ {\mathrm{B}} \sum_ {m = 1} ^ {N} R _ {m} \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} \omega (m - 1) T _ {\mathrm{B}}} & | \omega | \leqslant \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} \\ 0 & | \omega | > \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} \end{array} \right. \tag {6.7-11} \]

可见， \(G(\omega)\) 仅在 \((-\pi /T_{\mathrm{B}},\pi /T_{\mathrm{B}})\) 范围内存在。

显然， \(R_{m}(m=1,2,\cdots,N)\) 不同，将有不同类别的的部分响应信号，相应地有不同的相关编码方式。相关编码是为了得到预期的部分响应信号频谱所必需的。若设输入数据序列为 \(\{a_{k}\}\) ，相应的相关编码电平为 \(\{C_{k}\}\) ，则仿照式 (6.7-4)，有

\[ C _ {k} = R _ {1} a _ {k} + R _ {2} a _ {k - 1} + \dots + R _ {N} a _ {k - (N - 1)} \tag {6.7-12} \]

6.7 部分响应和时域均衡

由此看出，\(C_{k}\) 的电平数将依赖于 \(a_{k}\) 的进制数 L 及 \(R_{m}\) 的取值。无疑，一般 \(C_{k}\) 的电平数将要超过 \(a_{k}\) 的进制数。

为了避免因相关编码而引起的 “差错传播” 现象，一般要经过类似于前面介绍的 “预编码 — 相关编码 — 模 2 判决” 过程。

仿照式 \((6.7-7)\) 对 \(a_{k}\) 进行预编码，即

\[ a _ {k} = R _ {1} b _ {k} + R _ {2} b _ {k - 1} + \dots + R _ {N} b _ {k - (N - 1)} \quad (\mathrm{Mod} L) \tag {6.7-13} \]

注意：式中 \(a_{k}\) 和 \(b_{k}\) 已假设为 L 进制，所以式中 “+” 为 “模 L 相加”。

然后，将预编码后的 \(b_{k}\) 进行相关编码，即

\[ C _ {k} = R _ {1} b _ {k} + R _ {2} b _ {k - 1} + \dots + R _ {N} b _ {k - (N - 1)} \quad (\text {算术加}) \tag {6.7-14} \]

再对 \(C_k\) 作模 \(L\) 处理，则由式 (6.7-13) 和式 (6.7-13) 可得

\[ a _ {k} = \left[ C _ {k} \right] _ {\mathrm{mod} L} \tag {6.7-15} \]

这正是所期望的结果。此时不存在错误传播问题，且接收端的译码十分简单，只需直接对 \(C_k\) 按模 \(L\) 判决即可得 \(a_k\) 。

表 6-1 列出了常见的五类部分响应波形、频谱特性和加权系数 \(R_{m}\) ，分别命名为 I 类、II 类、III 类、IV 类、V 类部分响应信号，为了便于比较，把具有 \(\sin x / x\) 波形的理想低通也列在表内并称为第 0 类。从表中看出，各类部分响应波形的频谱均不超过理想低通的频带宽度，但他们的频谱结构和对临近码元抽样时刻的串扰不同。目前应用较多的是第 I 类和第 IV 类。第 I 类频谱主要集中在低频段，适于信道频带高频严重受限的场合。第 IV 类无直流分量，且低频分量小，便于边带滤波，实现单边带调制，因而在实际应用中，第 IV 类部分响应用得最为广泛。当 \(R_{1} = 1, R_{2} = 0, R_{3} = -1\) ，其余系数 \(R_{m} = 0\) 时，即为第 IV 类部分响应，其系统组成方框可参照图 6-21 画出。此外，以上两类的抽样值电平数比其他类别的少，这也是它们得以广泛应用的原因之一，当输入为 \(L\) 进制信号时，经部分响应传输系统得到的第 I 类、IV 类部分响应信号的电平数为 (2L-1)。

表6-1				五类部分响应波形、频谱特性和加权系数的比较
类别	$R_1$	$R_2$	$R_3$	$R_4$	$R_5$	g(t)	$|G(\omega)|,|\omega| \leqslant \frac{\pi}{T_B}$	二进输入时 $C_R$ 的电平数
0	1							2
I	1	1						3
II	1	2	1					5

第 6 章 数字基带传输系统

(续)

类别	$R_1$	$R_2$	$R_3$	$R_4$	$R_5$	$g(t)$	$|G(\omega)|,|\omega| \leqslant \frac{\pi}{T_R}$	二进输入时 $C_R$ 的电平数
III	2	1	-1					5
IV	1	0	-1					3
V	-1	0	2	0	-1			5

综上所述，采用部分响应系统的优点是，能实现 2B/Hz 的频带利用率，且传输波形的 “尾巴” 衰减大和收敛快。

部分响应系统的缺点是：当输入数据为 L 进制时，部分响应波形的相关编码电平数要超过 L 个。因此，在同样输入信噪比条件下，部分响应系统的抗噪声性能要比 0 类响应系统差。

6.7.2 时域均衡

在 6.4 节中，我们从理论上找到了消除码间串扰的方法，即使基带系统的传输总特性 \(H(f)\) 满足奈奎斯特第一准则。但实际实现时，由于难免存在滤波器的设计误差和信道特性的变化，无法实现理想的传输特性，故在抽样时刻上总会存在一定的码间串扰，从而导致系统性能的下降。为了减小码间串扰的影响，通常需要在系统中插入一种可调滤波器来校正或补偿系统特性。这种起补偿作用的滤波器称为均衡器。

均衡器的种类很多，但按研究的角度和领域，可分为频域均衡器和时域均衡器两大类。频域均衡器是从校正系统的频率特性出发，利用一个可调滤波器的频率特性去补偿信道或系统的频率特性，使包括可调滤波器在内的基带系统的总特性接近无失真传输条件；时域均衡器用来直接校正已失真的响应波形，使包括可调滤波器在内的整个系统的冲激响应满足无码间串扰条件。

频域均衡在信道特性不变，且在传输低速数据时是适用的。而时域均衡可以根据信道特性的变化进行调整，能够有效地减小码间串扰，故在数字传输系统中，尤其是高速数据传输中得以广泛应用。

1. 时域均衡原理

在实际中，当数字基带传输系统（图 6-9）的总特性 \(H(\omega) = G_{\mathrm{T}}(\omega)C(\omega)G_{\mathrm{R}}(\omega)\) 不满足奈奎斯特第一准则时，就会产生有码间串扰的响应波形。现在我们来证明：如果在接收滤波器和抽样判决器之间插入一个称之为横向滤波器的可调滤波器，其冲激响应为

6.7 部分响应和时域均衡

\[ h _ {\mathrm{T}} (t) = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} C _ {n} \delta (t - n T _ {\mathrm{B}}) \tag {6.7-16} \]

其中， \(C_{n}\) 完全依赖于 \(H(\omega)\) ，那么，理论上就可消除抽样时刻上的码间串扰。

设插入滤波器的频率特性为 \(T(\omega)\) ，则当

\[ T (\omega) H (\omega) = H ^ {\prime} (\omega) \tag {6.7-17} \]

满足式 \((6.4-11)\) ，即满足

\[ \sum_ {i} H ^ {\prime} \Big (\omega + \frac {2 \pi i}{T _ {\mathrm{B}}} \Big) = T _ {\mathrm{B}} \quad | \omega | \leqslant \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} \tag {6.7-18} \]

时，包括 \(T(\omega)\) 在内的总特性 \(H'(\omega)\) 将能消除码间串扰。

将式 \((6.7-17)\) 代入式 \((6.7-18)\) ，得

\[ \sum_ {i} H \Big (\omega + \frac {2 \pi i}{T _ {\mathrm{B}}} \Big) T \Big (\omega + \frac {2 \pi i}{T _ {\mathrm{B}}} \Big) = T _ {\mathrm{B}} \quad | \omega | \leqslant \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} \tag {6.7-19} \]

如果 \(T(\omega)\) 是以 \(2\pi / T_{\mathrm{B}}\) 为周期的周期函数，即 \(T\left(\omega + \frac{2\pi i}{T_{\mathrm{B}}}\right) = T(\omega)\) ，则 \(T(\omega)\) 与 \(i\) 无关，可拿到 \(\sum_{i}\) 外边，于是有

\[ T (\omega) = \frac {T _ {\mathrm{B}}}{\sum_ {i} H \left(\omega + \frac {2 \pi i}{T _ {\mathrm{B}}}\right)} | \omega | \leqslant \frac {\pi}{T _ {\mathrm{B}}} \tag {6.7-20} \]

使得式 \((6.7-18)\) 成立。

既然 \(T(\omega)\) 是按式 (6.7-20) 开拓的周期为 \(2\pi/T_{B}\) 的周期函数，则 \(T(\omega)\) 可用傅里叶级数来表示，即

\[ T (\omega) = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} C _ {n} \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} n T _ {\mathrm{B}} \omega} \tag {6.7-21} \]

其中

\[ C _ {n} = \frac {T _ {\mathrm{B}}}{2 \pi} \int_ {- \pi / T _ {\mathrm{B}}} ^ {\pi / T _ {\mathrm{B}}} T (\omega) \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} n \omega T _ {\mathrm{B}}} \mathrm{d} \omega \tag {6.7-22} \]

或

\[ C _ {n} = \frac {T _ {\mathrm{B}}}{2 \pi} \int_ {- \pi / T _ {\mathrm{B}}} ^ {\pi / T _ {\mathrm{B}}} \frac {T _ {\mathrm{B}}}{\sum_ {i} H \left(\omega + \frac {2 \pi i}{T _ {\mathrm{B}}}\right)} \mathrm{e} ^ {\mathrm{j} n \omega T _ {\mathrm{B}}} \mathrm{d} \omega \tag {6.7-23} \]

由式 \((6.7-23)\) 看出，傅里叶系数 \(C_{n}\) 由 \(H(\omega)\) 决定。

对式 \((6.7-21)\) 求傅里叶反变换，则可求得其单位冲激响应为

\[ h _ {T} (t) = F ^ {- 1} [ T (\omega) ] = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} C _ {n} \delta (t - n T _ {\mathrm{B}}) \tag {6.7-24} \]

这就是需要证明的式 \((6.7-16)\) 。

第 6 章 数字基带传输系统

由式 (6.7-24) 看出，这里的 \(h_{T}(t)\) 是图 6-22 所示网络的单位冲激响应。该网络是由无限多的按横向排列的迟延单元 \(T_{B}\) 和抽头加权系数 \(C_{n}\) 组成的，因此称为横向滤波器。它的功能是利用它产生的无限多个响应波形之和，将接收滤波器输出端抽样时刻上有码间串扰的响应波形变换成抽样时刻上无码间串扰的响应波形。由于横向滤波器的均衡原理是建立在响应波形上的，故把这种均衡称为时域均衡。

不难看出，横向滤波器的特性将取决于各抽头系数 \(C_n\) 。如果 \(C_n\) 是可调整的，则图 6-23 所示的滤波器是通用的；特别当 \(C_n\) 可自动调整时，则它能够适应信道特性的变化，可以动态校正系统的时间响应。

理论上，无限长的横向滤波器可以完全消除抽样时刻上的码间串扰，但实际中是不可能实现的。因为，不仅均衡器的长度受限制，并且系数 \(C_{n}\) 的调整准确度也受到限制。如果 \(C_{n}\) 的调整准确度得不到保证，即使增加长度也不会获得显著的效果。因此，有必要进一步讨论有限长横向滤波器的抽头增益调整问题。

设一个具有 \(2N + 1\) 个抽头的横向滤波器，如图 6-23 (a) 所示，其单位冲激响应为 \(e(t)\) ，则参照式 (6.7-24) 有

\[ e (t) = \sum_ {i = - N} ^ {N} C _ {i} \delta (t - i T _ {\mathrm{B}}) \tag {6.7-25} \]

又设它的输入为 \(x(t), x(t)\) 是被均衡的对象，并设它没有附加噪声，如图 6-23 (b) 所示。则均衡后的输出波形为

6.7

部分响应和时域均衡

\[ y (t) = x (t) * e (t) = \sum_ {i = - N} ^ {N} C _ {i} x (t - i T _ {\mathrm{B}}) \tag {6.7-26} \]

在抽样时刻 \(t = kT_{B}\) (设系统无延时) 上，有

\[ y (k T _ {\mathrm{B}}) = \sum_ {i = - N} ^ {N} C _ {i} x (k T _ {\mathrm{B}} - i T _ {\mathrm{B}}) = \sum_ {i = - N} ^ {N} C _ {i} x [ (k - i) T _ {\mathrm{B}} ] \]

将其简写为

\[ y _ {k} = \sum_ {i = - N} ^ {N} C _ {i} x _ {k - i} \tag {6.7-27} \]

式 (6.7-27) 说明，均衡器在第 k 个抽样时刻上得到的样值 \(y_{k}\) 将由 \(2N+1\) 个 \(C_{i}\) 与 \(x_{k-i}\) 乘积之和来确定。显然，其中除 \(y_{0}\) 以外的所有 \(y_{k}\) 都属于波形失真引起的码间串扰。当输入波形 \(x(t)\) 给定，即各种可能的 \(x_{k-i}\) 确定时，通过调整 \(C_{i}\) 使指定的 \(y_{k}\) 等于零是容易办到的，但同时要求所有的 \(y_{k}\) (除 k=0 外) 都等于零却是一件很难的事。下面我们通过一个例子来说明。

【例 6-3】设有一个三抽头的横向滤波器，其 \(C_{-1} = -1 / 4, C_0 = 1, C_{+1} = -1 / 2\) ；均衡器输入 \(x(t)\) 在各抽样点上的取值分别为： \(x_{-1} = 1 / 4, x_0 = 1, x_{+1} = 1 / 2\) ，其余都为零。试求均衡器输出 \(y(t)\) 在各抽样点上的值。

【解】根据式 (6.7-27) 有

\[ y _ {k} = \sum_ {i = - 1} ^ {1} C _ {i} x _ {k - i} \]

当 \(k = 0\) 时，可得

\[ y _ {0} = \sum_ {i = - 1} ^ {1} C _ {i} x _ {- i} = C _ {- 1} x _ {1} + C _ {0} x _ {0} + C _ {1} x _ {- 1} = \frac {3}{4} \]

当 \(k = 1\) 时，可得

\[ y _ {+ 1} = \sum_ {i = - 1} ^ {1} C _ {i} x _ {1 - i} = C _ {- 1} x _ {2} + C _ {0} x _ {1} + C _ {1} x _ {0} = 0 \]

当 \(k = -1\) 时，可得

\[ y _ {- 1} = \sum_ {i = - 1} ^ {1} C _ {i} x _ {- 1 - i} = C _ {- 1} x _ {0} + C _ {0} x _ {- 1} + C _ {1} x _ {- 2} = 0 \]

同理可求得： \(y_{-2} = -1/16, y_{+2} = -1/4\) ，其余均为零。

由此例可见，除 \(y_{0}\) 外，均衡使 \(y_{-1}\) 及 \(y_{1}\) 为零，但 \(y_{-2}\) 及 \(y_{2}\) 不为零。这说明，利用有限长的横向滤波器减小码间串扰是可能的，但完全消除是不可能的。

那么，如何确定和调整抽头系数 \(C_{i}\) , 获得最佳的均衡效果呢？

2. 均衡准则与实现

如上所述，有限长横向滤波器不可能完全消除码间串扰，其输出将有剩余失真。为了反映这些失真的大小，需要建立度量均衡效果的标准。通常采用峰值失真和均方失真来

第 6 章 数字基带传输系统

衡量。

峰值失真定义为

\[ D = \frac {1}{y _ {0}} \sum_ {\substack {k = - \infty \\ k \neq 0}} ^ {\infty} | y _ {k} | \tag{6.7 - 28} \]

式中，除 k=0 以外的各值的绝对值之和反映了码间串扰的最大值。 \(y_{0}\) 是有用信号样值，所以峰值失真 D 是码间串扰最大可能值（峰值）与有用信号样值之比。显然，对于完全消除码间干扰的均衡器而言，应有 D=0；对于码间干扰不为零的场合，希望 D 越小越好。因此，若以峰值失真为准则调整抽头系数时，应使 D 最小。

均方失真定义为

\[ e ^ {2} = \frac {1}{y _ {0} ^ {2}} \sum_ {\substack {k = - \infty \\ k \neq 0}} ^ {\infty} y _ {k} ^ {2} \tag{6.7 - 29} \]

其物理意义与峰值失真相似。

以最小峰值失真为准则，或以最小均方失真为准则来确定或调整均衡器的抽头系数，均可获得最佳的均衡效果，使失真最小。

注意：以上两种准则都是根据均衡器输出的单个脉冲响应来规定的。另外，还有必要指出，在分析横向滤波器时，我们均把时间原点 \((t=0)\) 假设在滤波器中心点处（即 \(C_{0}\) 处）。如果时间参考点选择在别处，则滤波器输出的波形形状是相同的，所不同的仅仅是整个波形的提前或推迟。

1）最小峰值法 —— 迫零调整法

现以最小峰值失真准则为依据，讨论均衡器的实现与调整。

与式 \((6.7-28)\) 相应，未均衡前的输入峰值失真 (称为初始失真) 可表示为

\[ D _ {0} = \frac {1}{x _ {0}} \sum_ {\substack {k = - \infty \\ k \neq 0}} ^ {\infty} | x _ {k} | \tag{6.7 - 30} \]

若 \(x_{k}\) 是归一化的，且令 \(x_{0}=1\) ，则式 (6.7-30) 变为

\[ D _ {0} = \sum_ {\substack {k = - \infty \\ k \neq 0}} ^ {\infty} | x _ {k} | \tag{6.7 - 31} \]

为方便起见，将样值 \(y_{k}\) 也归一化，且令 \(y_{0}=1\) ，则根据式 (6.7-27) 可得

\[ y _ {0} = \sum_ {i = - N} ^ {N} C _ {i} x _ {- i} = 1 \tag {6.7-32} \]

或

\[ C_{0}x_{0} + \sum_{\substack{i = -N\\ i\neq 0}}^{N}C_{i}x_{-i} = 1 \]

于是

6.7

部分响应和时域均衡

\[ C _ {0} = 1 - \sum_ {\substack {i = - N \\ i \neq 0}} ^ {N} C _ {i} x _ {- i} \tag{6.7 - 33} \]

将式 \((6.7-33)\) 代入式 \((6.7-27)\) ，则

\[ y _ {k} = \sum_ {\substack {i = - N \\ i \neq 0}} ^ {N} C _ {i} \left(x _ {k - i} - x _ {k} x _ {- i}\right) + x _ {k} \tag{6.7 - 34} \]

再将式 \((6.7-34)\) 代入式 \((6.7-28)\) ，则

\[ D = \sum_ {\substack {k = - \infty \\ i \neq 0}} ^ {\infty} \left| \sum_ {\substack {i = - N \\ i \neq 0}} ^ {N} C _ {i} \left(x _ {k - i} - x _ {k} x _ {- i}\right) + x _ {k} \right| \tag{6.7 - 35} \]

可见，在输入序列 \(\{x_{k}\}\) 给定的情况下，峰值畸变 D 是各抽头系数 \(C_{i}\) （除 \(C_{0}\) 外）的函数。显然，求解使 D 最小的 \(C_{i}\) 是我们所关心的。Lucky 曾证明 \(^{[1]}\) ：如果初始失真 \(D_{0}<1\) ，则 D 的最小值必然发生在 \(y_{0}\) 前后的 \(y_{k}\) 都等于零的情况下。这一定理的数学意义是，所求的系数 \(\{C_{i}\}\) 应该为

\[ y _ {k} = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & 1 \leqslant | k | \leqslant N \\ 1 & k = 0 \end{array} \right. \tag {6.7-36} \]

成立时的 \(2N+1\) 个联立方程的解。

由式 \((6.7-36)\) 和式 \((6.7-27)\) 可列出抽头系数必须满足的这 \(2N+1\) 个线性方程，即

\[ \left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = - N} ^ {N} C _ {i} x _ {k - i} = 0 & k = \pm 1, \pm 2, \dots , \pm N \\ \sum_ {i = - N} ^ {N} C _ {i} x _ {- i} = 1 & k = 0 \end{array} \right. \tag {6.7-37} \]

将它写成矩阵形式，即

\[ \left[ \begin{array}{c c c c} x _ {0} & x _ {- 1} & \dots & x _ {- 2 N} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x _ {N} & x _ {N - 1} & \dots & x _ {- N} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x _ {2 N} & x _ {2 N - 1} & \dots & x _ {0} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} C _ {- N} \\ C _ {- N + 1} \\ \vdots \\ C _ {0} \\ \vdots \\ C _ {N - 1} \\ C _ {N} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right] \tag {6.7-38} \]

这个联立方程的解的物理意义：在输入序列 \(\{x_{k}\}\) 给定时，如果按式 (6.7-37) 调整或设计各抽头系数 \(C_{i}\) , 可迫使均衡器输出的各抽样值 \(y_{k}(|k| \leqslant N, k \neq 0)\) 为零。这种调整叫做 “迫零” 调整，所设计的均衡器称为 “迫零” 均衡器。它能保证在 \(D_{0} < 1\) (这个条件等效于在均衡之前有一个睁开的眼图，即码间串扰不足以严重到闭合眼图) 时，调整除 \(C_{0}\) 外的 2N 个抽头增益，并迫使 \(y_{0}\) 前后各有 N 个取样点上无码间串扰，此时 D 取最小值，均衡效果达到最佳。

第 6 章 数字基带传输系统

【例 6-4】设计一个具有三个抽头的迫零均衡器，以减小码间串扰。已知， \(x_{-2} = 0, x_{-1} = 0.1, x_0 = 1, x_1 = -0.2, x_2 = 0.1\) ，求三个抽头的系数，并计算均衡前后的峰值失真。

【解】根据式 \((6.7-38)\) 和 \(2N+1=3\) ，列出矩阵方程为

\[ \left[ \begin{array}{l l l} x _ {0} & x _ {- 1} & x _ {- 2} \\ x _ {1} & x _ {0} & x _ {- 1} \\ x _ {2} & x _ {1} & x _ {0} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} C _ {- 1} \\ C _ {0} \\ C _ {1} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \]

将样值代入上式，可列出方程组:

\[ \left\{ \begin{array}{r l} C _ {- 1} + 0. 1 C _ {0} & = 0 \\ - 0. 2 C _ {- 1} + C _ {0} + 0. 1 C _ {1} & = 1 \\ 0. 1 C _ {- 1} - 0. 2 C _ {0} + C _ {1} & = 0 \end{array} \right. \]

解联立方程可得

\[ C _ {- 1} = - 0. 0 9 6 0 6, \quad C _ {0} = 0. 9 6 0 6, \quad C _ {1} = 0. 2 0 1 7 \]

然后通过式 \((6.7-27)\) ，可得

\[ y _ {- 1} = 0, \quad y _ {0} = 1, \quad y _ {1} = 0 \]

\[ y _ {- 3} = 0, \quad y _ {- 2} = 0. 0 0 9 6, \quad y _ {2} = 0. 0 5 5 7, \quad y _ {3} = 0. 0 2 0 1 6 \]

输入峰值失真为

\[ D_{0} = \frac{1}{x_{0}}\sum_{\substack{k = -\infty \\ k\neq 0}}^{\infty}\left|x_{k}\right| = 0.4 \]

输出峰值失真为

\[ D_{0} = \frac{1}{y_{0}}\sum_{\substack{k = -\infty \\ k\neq 0}}^{\infty}|y_{k}| = 0.0869 \]

均衡后的峰值失真减小 4.6 倍。

可见，三抽头均衡器可以使 \(y_{0}\) 两侧各有一个零点，但在远离 \(y_{0}\) 的一些抽样点上仍会有码间串扰。这就是说抽头有限时，总不能完全消除码间串扰，但适当增加抽头数可以将码间串扰减小到相当小的程度。

“迫零” 均衡器的具体实现方法有许多种。一种最简单的方法是预置式自动均衡器，其原理方框图如图 6-24 所示。它的输入端每隔一段时间送入一个来自发端的测试单脉冲波形（此单脉冲波形是指基带系统在单个单位脉冲作用下，其接收滤波器的输出波形）。当该波形每隔 \(T_{B}\) 秒依次输入时，在输出端就将获得各样值为 \(y_{k}(k=-N,\) \(-N+1,\cdots,N-1,N)\) 的波形，根据 “迫零” 调整原理，若得到的某一 \(y_{k}\) 为正极性时，则相应的抽头增益 \(C_{k}\) 应下降一个适当的增量 \(\Delta\) ；若 \(y_{k}\) 为负极性，则相应的 \(C_{k}\) 应增加一个增量 \(\Delta\) 。为了实现这个调整，在输出端将每个 \(y_{k}\) 依次进行抽样并进行极性判决，判决的两种可能结果以 “极性脉冲” 表示，并加到控制电路。控制电路将在某一规定时刻（如测试信号的终了时刻）将所有 “极性脉冲” 分别作用到相应的抽头上，让它们作增加 \(\Delta\) 或下降 \(\Delta\) 的改变。这样，经过多次调整，就能达到均衡的目的。可以看到，这种自动均衡器的精度与增量 \(\Delta\) 的选择和允许调整时间有关。 \(\Delta\) 越小，精度就越高，但调整时间就需要愈长。

6.7

部分响应和时域均衡

2）最小均方失真法自适应均衡器

按最小峰值失真准则设计的 “迫零” 均衡器存在一个缺点，那就是必须限制初始失真 \(D_{0}<1\) 。若用最小均方失真准则也可导出抽头系数必须满足的 \(2N+1\) 个方程，从中也可解得使均方失真最小的 \(2N+1\) 个抽头系数，不过，这时不需对初始失真 \(D_{0}\) 提出限制。下面介绍一种按最小均方误差准则来构成的自适应均衡器。

自适应均衡与预置式均衡一样，都是通过调整横向滤波器的抽头增益来实现均衡的。但自适应均衡器不再利用专门的测试单脉冲进行误差的调整，而是在传输数据期间借助信号本身来调整增益，从而实现自动均衡的目的。由于数字信号通常是一种随机信号，所以，自适应均衡器的输出波形不再是单脉冲响应，而是实际的数据信号。

设发送序列为 \(\{a_{k}\}\) ，均衡器输入为 \(x(t)\) ，均衡后输出的样值序列为 \(\{y_{k}\}\) ，此时误差信号为

\[ e _ {k} = y _ {k} - a _ {k} \tag {6.7-39} \]

均方误差定义为

\[ \overline {{{e ^ {2}}}} = E (y _ {k} - a _ {k}) ^ {2} \tag {6.7-40} \]

当 \(\{a_{k}\}\) 是随机数据序列时，上式最小化与均方失真最小化是一致的。根据式 (6.7-27) 可知

\[ y _ {k} = \sum_ {i = - N} ^ {N} C _ {i} x _ {k - i} \]

将上式代入式 \((6.7-40)\) ，有

第 6 章 数字基带传输系统

\[ \overline {{{e ^ {2}}}} = E \left(\sum_ {i = - N} ^ {N} C _ {i} x _ {k - i} - a _ {k}\right) ^ {2} \tag {6.7-41} \]

可见，均方误差 \(e^{2}\) 是各抽头增益的函数。我们期望对于任意的 k, 都应使均方误差最小，故将上式对 \(C_{i}\) 求偏导数，有

\[ \frac {\partial \overline {{e ^ {2}}}}{\partial C _ {i}} = 2 E [ e _ {k} x _ {k - i} ] \tag {6.7-42} \]

其中

\[ e _ {k} = y _ {k} - a _ {k} = \sum_ {i = - N} ^ {N} C _ {i} x _ {k - i} - a _ {k} \tag {6.7-43} \]

表示误差值。这里误差的起因包括码间串扰和噪声，而不仅仅是波形失真。

从式 (6.7-42) 可见，要使 \(\overline{e^{2}}\) 最小，应有 \(\frac{\partial e^{2}}{\partial C_{i}}=0\) , 即 \(E\left[e_{k}x_{k-i}\right]=0\) , 这就要求误差 \(e_{k}\) 与均衡器输入样值 \(x_{k-i}\left(\left|i\right|\leqslant N\right)\) 应互不相关。这就说明，抽头增益的调整可以借助对误差 \(e_{k}\) 和样值 \(x_{k-i}\) 乘积的统计平均值。若这个平均值不等于零，则应通过增益调整使其向零值变化，直到使其等于零为止。

图 6-25 给出了一个三抽头自适应均衡器原理框图。图中，统计平均器可以是一个求算术平均的部件。

由于自适应均衡器的各抽头系数可随信道特性的时变而自适应调节，故调整精度高，不需预调时间。在高速数传系统中，普遍采用自适应均衡器来克服码间串扰。

自适应均衡器还有多种实现方案，经典的自适应均衡器准则或算法有：迫零算法 (ZF)、最小均方误差算法 (LMS)、递推最小二乘算法 (RLS)、卡尔曼算法等。

另外，上述均衡器属于线性均衡器（因为横向滤波器是一种线性滤波器），它对于像电话线这样的信道来说性能良好，对于在无线信道传输中，若信道严重失真造成的码间干扰以致线性均衡器不易处理时，可采用非线性均衡器。目前已经开发出三个非常有效的非线性均衡算法：判决反馈均衡（DFE）、最大似然符号检测、最大似然序列估值。其中，判决反馈均衡器被证明是解决该问题的一个有效途径，其详细介绍可参考文献 [2]。

6.7

部分响应和时域均衡

6.8 小结

本章主要讨论了五个方面的问题：

基带信号，指未经调制的信号。这些信号的特征是其频谱从零频或很低频率开始，占据较宽的频带。

基带信号在传输前，必须经过一些处理或某些变换 (如码型变换、波形和频谱变换) 才能送入信道中传输。处理或变换的目的是使信号的特性与信道的传输特性相匹配。

数字基带信号是消息代码的电波形表示。表示形式有多种，有单极性和双极性波形、归零和非归零波形、差分波形、多电平波形之分，各自有不同的特点。等概双极性波形无直流分量，有利于在信道中传输；单极性 RZ 波形中含有位定时频率分量，常作为提取位同步信息时的过渡性波形；差分波形可以消除设备初始状态的影响。

码型编码用来把原始消息代码变换成适合于基带信道传输的码型。常见的传输码型有 AMI 码、 \(HDB_{3}\) 码、双相码、CMI 码、nBmB 码和 nBmT 码等。这些码各有自己的特点，可针对具体系统的要求来选择，如 \(HDB_{3}\) 码常用于 A 律 PCM4 次群以下的接口码型。

功率谱分析的意义在于，可以确定信号的带宽，还可以明确能否从脉冲序列中直接提取定时分量，以及采取怎样的方法可以从基带脉冲序列中获得所需的离散分量。

码间串扰和信道噪声是造成误码的两个主要因素。如何消除码间串扰和减小噪声对误码率的影响是数字基带传输中必须研究的问题。

奈奎斯特带宽为消除码间串扰奠定了理论基础。 \(\alpha=0\) 的理想低通系统可以达到 2Baud/Hz 的理论极限值，但它不能物理实现；实际中应用较多的是 \(\alpha>0\) 的余弦滚降特性，其中 \(\alpha=1\) 的升余弦频谱特性易于实现，且响应波形的尾部衰减收敛快，有利于减小码间串扰和位定时误差的影响，但占用带宽最大，频带利用率下降为 1Baud/Hz。

在二进制基带信号传输过程中，噪声引起的误码有两种差错形式：发 “1” 错判为 “0”, 发 “0” 错判为 “1”。在相同条件下，双极性基带系统的误码率比单极性的低，抗噪声性能好，且在等概条件下，双极性的最佳判决门限电平为 0, 与信号幅度无关，因而不随信道特性变化而变，而单极性的最佳判决门限电平为 A/2, 易受信道特性变化的影响，从而导致误码率增大。

部分响应技术通过有控制地引入码间串扰 (在接收端加以消除), 可以达到 2Baud/Hz 的理想频带利用率，并使波形 “尾巴” 振荡衰减加快这样两个目的。

部分响应信号是由预编码器、相关编码器、发送滤波器、信道和接收滤波器共同产生的。其中，相关编码是为了得到预期的部分响应信号频谱所必需的。预编码解除了码元之间的相关性。

实际中为了减小码间串扰的影响，需要采用均衡器进行补偿。实用的均衡器是有限长的横向滤波器，其均衡原理是直接校正接收波形，尽可能减小码间串扰。峰值失真和均方失真是评价均衡效果的两种度量准则。

第 6 章 数字基带传输系统

眼图为直观评价接收信号的质量提供了一种有效的实验方法。它可以定性反映码间串扰和噪声的影响程度，还可以用来指示接收滤波器的调整，以减小码间串扰，改善系统性能。

思考题

6-1 数字基带传输系统的基本结构及各部分的功能如何？

6-2 数字基带信号有哪些常用的形式？它们各有什么特点？它们的时域表示式如何？

6-3 研究数字基带信号功率谱的意义何在？信号带宽怎么确定？

6-4 构成 AMI 码和 \(\mathrm{HDB}_3\) 码的规则是什么？它们各有什么优缺点？

6-5 简述双相码和差分双相码的优缺点。

6-6 什么是码间串扰？它是怎样产生的？对通信质量有什么影响？

6-7 为了消除码间串扰，基带传输系统的传输函数应满足什么条件？其相应的冲激响应应具有什么特点？

6-8 何谓奈奎斯特速率和奈奎斯特带宽？此时的频带利用率有多大？

6-9 什么是最佳判决门限电平？

6-10 在二进制基带传输过程中，有哪两种误码？它们各在什么情况下发生？

6-11 当 \(P(1) = P(0) = 1 / 2\) 时，对于传送单极性基带波形和双极性基带波形的最佳判决门限电平各为多少？为什么？

6-12 无码间串扰时，基带系统的误码率与哪些因素有关？如何降低系统的误码率？

6-13 什么是眼图？它有什么用处？由眼图模型可以说明基带传输系统的哪些性能？具有升余弦脉冲波形的 \(\mathrm{HDB}_3\) 码的眼图应是什么样的图形？

6-14 什么是部分响应波形？什么是部分响应系统？

6-15 部分响应技术解决了什么问题？第 Ⅳ 类部分响应的特点是什么？

6-16 什么是频域均衡？什么是时域均衡？横向滤波器为什么能实现时域均衡？

6-17 时域均衡器的均衡效果是如何衡量的？什么是峰值失真准则？什么是均方失真准则？

习题

6-1 设二进制符号序列为 10010011，试以矩形脉冲为例，分别画出相应的单极性、双极性、单极性归零、双极性归零、空号差分 (0 变 1 不变) 和传号差分 (1 变 0 不变) 波形。

6-2 设二进制符号序列为 110101011000010111100001，试画出相应的八电平和四电平波形。若波特率相同时，谁的比特率更高？

6-3 设二进制随机序列由 \(g_{1}(t)\) 和 \(g_{2}(t)\) 组成，出现 \(g_{1}(t)\) 的概率为 \(P\) ，出现 \(g_{2}(t)\)

的概率为 \((1-P)\) 。试证明下式成立时，脉冲序列将无离散谱。

\[ P = \frac {1}{1 - \frac {g _ {1} (t)}{g _ {2} (t)}} \]

6-4 设二进制随机序列中的 “0” 和 “1” 分别由 \(g(t)\) 和 \(-g(t)\) 组成，它们的出现概率分别为 \(P\) 及 \((1 - P)\) 。试确定：

6-5 设某二进制数字基带信号的基本脉冲为三角形脉冲，如图 P6-2 所示。图中 \(T_{\mathrm{B}}\) 为码元间隔，数字信息 “1” 和 “0” 分别用 \(g(t)\) 的有和无表示，且 “1” 和 “0” 出现的概率相等。试确定：

6-6 设某二进制数字基带信号中，数字信息 “1” 和 “0” 分别用 \(g(t)\) 和 \(-g(t)\) 表示，且 “1” 和 “0” 出现的概率相等， \(g(t)\) 是升余弦频谱脉冲：

\[ g (t) = \frac {1}{2} \frac {\cos \left(\frac {\pi t}{T _ {\mathrm{B}}}\right)}{1 - \frac {4 t ^ {2}}{T _ {\mathrm{B}} ^ {2}}} S a \left(\frac {\pi t}{T _ {\mathrm{B}}}\right) \]

6-7 已知信码序列为 1011000000000101，试确定相应的 AMI 码及 \(\mathrm{HDB}_3\) 码，并分别画出它们的波形图。

(1) 求该系统的传输函数 \(H(\omega)\) ;

第 6 章 数字基带传输系统

（2）假设信道的传输函数 \(C(\omega)=1\) ，发送滤波器和接收滤波器具有相同的传输函数，即 \(G_{\mathrm{T}}(\omega)=G_{\mathrm{R}}(\omega)\) ，试求这时 \(G_{\mathrm{T}}(\omega)\) 或 \(G_{\mathrm{R}}(\omega)\) 的表达式。

6-10 某基带传输系统具有如图 P6-4 所示的三角形传输函数。试确定：

6-11 设基带传输系统的发送滤波器、信道及接收滤波器组成的总特性为 \(H(\omega)\) ，若要求以 \(2 / T_{\mathrm{B}}\) 波特的速率进行数据传输，验证图 P6-5 所示的各种 \(H(\omega)\) 能否满足抽样点上无码间串扰的条件？

6-12 欲以 \(R_{\mathrm{B}} = 10^{3}\) 波特的速率传输数字基带信号，试问采用图 P6-6 中的哪一种传输特性较好？并简要说明其理由。

6-13 设某数字基带系统的传输特性 \(H(\omega)\) 如图 P6-7 所示。图中 \(\alpha\) 为某个常数 \((0\leqslant \alpha \leqslant 1)\)

习题

6-14 设某基带系统的频率特性 \(|H(\omega)|\) 为余弦滚降频谱，传输信号为四电平基带脉冲序列，能够实现无 ISI 传输的最高信息速率为 \(R_{b}=2\ 400\ b/s\) ，试确定：

6-15 设二进制基带系统的传输总特性为

\[ H (\omega) = \left\{ \begin{array}{c c} {{ \frac {T _ {\mathrm{B}}}{2} \Big (1 + \cos \frac {\omega T _ {\mathrm{B}}}{2} \Big)}} & {{| \omega | \leqslant \frac {2 \pi}{T _ {\mathrm{B}}}}} \\ {{0}} & {{\text {其他}}} \end{array} \right. \]

试证明其单位冲激响应为 \(h(t)=\frac{\sin\pi t/T_{\mathrm{B}}}{\pi t/T_{\mathrm{B}}}\cdot\frac{\cos\pi t/T_{\mathrm{B}}}{1-4t^{2}/T_{\mathrm{B}}^{2}}\) 并画出 \(h(t)\) 的示意波形和说明用 \(1/T_{B}\) 波特速率传送数据时，抽样时刻上是否存在码间串扰？

6-16 二进制数字基带传输系统如图 6-9 所示，设 \(C(\omega) = 1, G_{\mathrm{T}}(\omega) = G_{\mathrm{R}}(\omega) = \sqrt{H(\omega)}\) 。现已知

\[ H (\omega) = \left\{ \begin{array}{c c} {{\tau_ {0} (1 + \cos \omega \tau_ {0})}} & {{| \omega | \leqslant \frac {\pi}{\tau_ {0}}}} \\ {{0}} & {{\text {其他} \omega}} \end{array} \right. \]

\[ f (V) = \frac {1}{2 \lambda} \mathrm{e} ^ {- \frac {| V |}{\lambda}} \qquad \lambda > 0 (\text {常数}) \]

试求此系统最小误码率 \(P_{e}\)

6-17 某二进制数字基带系统所传送的是单极性基带信号，且数字信息 “1” 和 “0” 的出现概率相等。

6-18 若将上题中的单极性信号改为双极性信号，而其他条件不变，重做上题中的

第 6 章 数字基带传输系统

各问，并进行比较。

6-19 一随机二进制序列为 10110001，“1” 码对应的基带波形是峰值为 1 的升余弦波形，持续时间为 \(T_{\mathrm{B}}\) ；“0” 码对应的基带波形与 “1” 码的极性相反。

6-24 设计一个三抽头迫零均衡器。已知输入信号 \(x(t)\) 在各抽样点的值依次为 \(x_{-2} = 0, x_{-1} = 0.2, x_0 = 1, x_{+1} = -0.3, x_{+2} = 0.1\) ，其余均为零。

参考文献

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