第5章 模拟调制系统

第 5 章 模拟调制系统

调制就是把信号形式转换成适合在信道中传输的一种过程。广义的调制分为基带调制和带通调制（也称载波调制）。在本书中调制一词均指载波调制。

载波调制就是用调制信号去控制载波的参数，使载波的某一个或某几个参数按照调制信号的规律变化。调制信号是指来自信源的基带信号，这些信号可以是模拟的，也可以是数字的。载波是指未受调制的周期性振荡信号，它可以是正弦波，也可以是非正弦波 (如周期性脉冲序列)。载波受调制后称为已调信号，它含有调制信号的全部特征。解调则是调制的逆过程，其作用是将已调信号中的调制信号恢复出来。

调制的作用和目的：第一，在无线传输中，为了获得较高的辐射效率，天线的尺寸必须与发射信号的波长相比拟。而基带信号通常包含较低频率的分量，若直接发射，将使天线过长而难以实现。例如，天线长度一般应大于 \(\lambda/4\) , 其中 \(\lambda\) 为波长；对于 3000Hz 的基带信号，若直接发射则需要尺寸约为 25km 的天线。显然，这是无法实现的。但若通过调制，把基带信号的频谱搬至较高的频率上，就可以提高发射效率。第二，把多个基带信号分别搬移到不同的载频处，以实现信道的多路复用，提高信道利用率。第三，扩展信号带宽，提高系统抗干扰能力。因此，调制对通信系统的有效性和可靠性有着很大的影响和作用。

调制方式有很多。根据调制信号是模拟信号还是数字信号，载波是连续波还是脉冲序列，相应的调制方式有连续波模拟调制、连续波数字调制、脉冲模拟调制和脉冲数字调制等，详见表 1-1。

本章及第 7、8 章将分别介绍上述的各种调制系统，并将重点放在发展迅猛的数字调制上。由于模拟调制的理论与技术是数字调制的基础，且现用设备中还有不少模拟通信设备，故本章将讨论模拟调制系统的原理及其抗噪声性能。

最常用和最重要的模拟调制方式是用正弦波作为载波的幅度调制和角度调制。常见的调幅（AM）、双边带（DSB）、单边带（SSB）和残留边带（VSB）等调制就是幅度调制的几个典型实例；而频率调制（FM）是角度调制中被广泛采用的一种。

5.1 幅度调制 (线性调制) 原理

幅度调制是由调制信号去控制高频载波的幅度，使之随调制信号作线性变化的过程。

设正弦型载波为

\[ c (t) = A \cos (\omega_ {c} t + \varphi_ {0}) \tag {5.1-1} \]

式中：A 为载波幅度； \(\omega_{1}\) 为载波角频率； \(\varphi_{0}\) 为载波初始相位（以后可假定 \(\varphi_{0}=0\) ，而不失讨论的一般性）。

根据调制定义，幅度已调信号一般可表示成

\[ s _ {m} (t) = A m (t) \cos \omega_ {v} t \tag {5.1-2} \]

式中： \(m(t)\) 为基带调制信号。

设调制信号 \(m(t)\) 的频谱为 \(M(\omega)\) ，则由式 (5.1-2) 不难得到已调信号 \(s_{m}(t)\) 的频谱：

\[ S _ {m} (\omega) = \frac {A}{2} [ M (\omega + \omega_ {c}) + M (\omega - \omega_ {c}) ] \tag {5.1-3} \]

由以上公式可见，在波形上，幅度已调信号的幅度随基带信号的规律而呈正比地变化；在频谱结构上，它的频谱完全是基带信号频谱在频域内的简单搬移（精确到常数因子）。由于这种搬移是线性的，因此，幅度调制通常又称为线性调制。但应注意，这里的 “线性” 并不意味着已调信号与调制信号之间符合线性变换关系。事实上，任何调制过程都是一种非线性的变换过程。

5.1.1 调幅

标准调幅就是常规双边带调制，简称调幅 (AM)。假设调制信号 \(m(t)\) 的平均值为 0, 将其叠加一个直流偏量 \(A_{0}\) 后与载波相乘 (图 5-1), 即可形成调幅信号。其时域表达式为

\[ s _ {\mathrm{AM}} (t) = \left[ A _ {0} + m (t) \right] \cos \omega_ {\mathrm{c}} t = \]

\[ A _ {0} \cos \omega_ {\mathrm{c}} t + m (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {5.1-4} \]

式中： \(A_{0}\) 为外加的直流分量； \(m(t)\) 可以是确知信号，也可以是随机信号。

若 \(m(t)\) 为确知信号，则 AM 信号的频谱为

\[ S _ {\mathrm{AM}} (\omega) = \pi A _ {0} [ \delta (\omega + \omega_ {\mathrm{c}}) + \delta (\omega - \omega_ {\mathrm{c}}) ] + \frac {1}{2} [ M (\omega + \omega_ {\mathrm{c}}) + M (\omega - \omega_ {\mathrm{c}}) ] \tag {5.1-5} \]

其典型波形和频谱 (幅度谱) 如图 5-2 所示。

若 \(m(t)\) 为随机信号，则已调信号的频域表示必须用功率谱描述。

由波形可以看出，当满足条件

\[ \mid m (t) \mid_ {\max} \leqslant A _ {0} \tag {5.1-6} \]

时，AM 波的包络与调制信号 \(m(t)\) 的形状完全一样，因此，用包络检波的方法很容易恢复出原始调制信号；如果上述条件没有满足，就会出现 “过调幅” 现象，这时用包络检波将会发生失真。但是，可以采用其他的解调方法，如相干解调。

5.1

幅度调制（线性调制）原理

由频谱可以看出，AM 信号的频谱由载频分量、上边带、下边带三部分组成。上边带的频谱结构与原调制信号的频谱结构相同，下边带是上边带的镜像。因此，AM 信号是带有载波分量的双边带信号，它的带宽是基带信号带宽 \(f_{H}\) 的 2 倍，即

\[ B _ {\mathrm{AM}} = 2 f _ {\mathrm{H}} \tag {5.1-7} \]

AM 信号在 \(1\Omega\) 电阻上的平均功率等于 \(s_{\mathrm{AM}}(t)\) 的均方值。当 \(m(t)\) 为确知信号时， \(s_{\mathrm{AM}}(t)\) 的均方值等于其平方的时间平均，即

\[ \begin{array}{l} P _ {\mathrm{AM}} = \overline {{s _ {\mathrm{AM}} ^ {2} (t)}} = \overline {{\left[ A _ {0} + m (t) \right] ^ {2} \cos^ {2} \omega_ {\mathrm{c}} t}} \\ = \overline {{A _ {0} ^ {2} \cos^ {2} \omega_ {\mathrm{c}} t}} + \overline {{m ^ {2} (t) \cos^ {2} \omega_ {\mathrm{c}} t}} + 2 A _ {0} m (t) \cos^ {2} \omega_ {\mathrm{c}} t \\ \end{array} \]

通常假设调制信号的平均值为 0，即 \(m(t)=0\) ，因此

\[ P _ {\mathrm{AM}} = \frac {A _ {0} ^ {2}}{2} + \frac {\overline {{m ^ {2} (t)}}}{2} = P _ {\mathrm{c}} + P _ {\mathrm{s}} \tag {5.1-8} \]

式中： \(P_{c}=A_{0}^{2}/2\) ，为载波功率； \(P_{s}=\overline{m^{2}(t)}/2\) ，为边带功率。

由此可见，AM 信号的总功率包括载波功率和边带功率两部分。只有边带功率才与调制信号有关，也就是说，载波分量并不携带信息。有用功率（用于传输有用信息的边带功率）占信号总功率的比例可以写为

\[ \eta_ {\mathrm{AM}} = \frac {P _ {\mathrm{s}}}{P _ {\mathrm{AM}}} = \frac {\overline {{m ^ {2} (t)}}}{A _ {0} ^ {2} + \overline {{m ^ {2} (t)}}} \tag {5.1-9} \]

我们把 \(\eta_{AM}\) 称为调制效率。当调制信号为单音余弦信号时，即 \(m(t)=A_{m}\cos\omega_{m}t\) 时， \(\overline{m^{2}(t)}=A_{m}^{2}/2\) 。此时

\[ \eta_ {\mathrm{AM}} = \frac {\overline {{m ^ {2} (t)}}}{A _ {0} ^ {2} + \overline {{m ^ {2} (t)}}} = \frac {A _ {m} ^ {2}}{2 A _ {0} ^ {2} + A _ {m} ^ {2}} \tag {5.1-10} \]

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在 “满调幅” \(\left(\left|m(t)\right|_{\max}=A_{0}\right.\) 时，也称 100% 调制）条件下，这时调制效率的最大值为 \(\eta_{AM}=1/3\) 。因此，AM 信号的功率利用率比较低。

AM 的优点在于系统结构简单，价格低廉。所以至今调幅制仍广泛用于无线电广播。

5.1.2 双边带调制

在 AM 信号中，载波分量并不携带信息，信息完全由边带传送。如果在 AM 调制模型图 5-1 中将直流 \(A_{0}\) 去掉，即可得到一种高调制效率的调制方式 —— 抑制载波双边带信号 (DSB-SC), 简称双边带信号 (DSB)。其时域表达式为

\[ s _ {\mathrm{DSB}} (t) = m (t) \cos \omega_ {c} t \tag {5.1-11} \]

式中，假设 \(m(t)\) 的平均值为 0。DSB 的频谱与 AM 的谱相近，只是没有了在 \(\pm\omega_{c}\) 处的 \(\delta\) 函数，即

\[ S _ {\mathrm{DSB}} (\omega) = \frac {1}{2} [ M (\omega + \omega_ {\mathrm{c}}) + M (\omega - \omega_ {\mathrm{c}}) ] \tag {5.1-12} \]

其典型波形和频谱如图 5-3 所示。

与 AM 信号比较，因为不存在载波分量，DSB 信号的调制效率是 100%, 即全部功率都用于信息传输。但是，DSB 信号的包络不再与调制信号的变化规律一致，因而不能采用简单的包络检波来恢复调制信号。DSB 信号解调时需采用相干解调，也称同步检测 (比包络检波器复杂得多), 将在后面的 5.1.6 小节中讨论。

DSB 信号虽然节省了载波功率，但它所需的传输带宽仍是调制信号带宽的两倍，即与 AM 信号带宽相同。我们注意到 DSB 信号两个边带中的任意一个都包含了 \(M(\omega)\) 的所有频谱成分，因此仅传输其中一个边带即可。这样既节省发送功率，还可节省 1/2 的传输

5.1

幅度调制（线性调制）原理

频带，这种方式称为单边带调制。

5.1.3 单边带调制

单边带调制 (SSB) 信号是将双边带信号中的一个边带滤掉而形成的。根据滤除方法的不同，产生 SSB 信号的方法有：滤波法和相移法。

1. 滤波法及 SSB 信号的频域表示

产生 SSB 信号最直观的方法是，先产生一个双边带信号，然后让其通过一个边带滤波器，滤除不要的边带，即可得到单边带信号。我们把这种方法称为滤波法，它是最简单也是最常用的方法。其原理框图如图 5-4 所示。图 5-4 中，\(H(\omega)\) 为单边带滤波器的传输函数，若它具有如下理想高通特性:

\[ H (\omega) = H _ {\mathrm{USB}} (\omega) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & | \omega | > \omega_ {c} \\ 0 & | \omega | \leqslant \omega_ {c} \end{array} \right. \tag {5.1-13} \]

则可滤除下边带，保留上边带 (USB); 若 \(H(\omega)\) 具有如下理想低通特性:

\[ H (\omega) = H _ {\mathrm{LSB}} (\omega) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & | \omega | < \omega_ {c} \\ 0 & | \omega | \geqslant \omega_ {c} \end{array} \right. \tag {5.1-14} \]

则可滤除上边带，保留下边带 (LSB)。

因此，SSB 信号的频谱可表示为

\[ S _ {\mathrm{ssB}} (\omega) = S _ {\mathrm{DSB}} (\omega) \cdot H (\omega) \tag {5.1-15} \]

图 5-5 示出了用滤波法形成上边带 (USB) 信号的频谱图。

滤波法的技术难点是边带滤波器的制作。因为实际滤波器都不具有如式 (5.1-13)

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或式 (5.1-14) 所描述的理想特性，即在载频 \(f_{c}\) 处不具有陡峭的截止特性，而是有一定的过渡带。例如，若经过滤波后的语音信号的最低频率为 300Hz, 则上、下边带之间的频率间隔为 600Hz, 即允许过渡带为 600Hz。实现滤波器的难易程度与过渡带相对载频的归一化值有关，该值越小，边带滤波器就越难实现。因此在 600Hz 过渡带和不太高的载频情况下，滤波器不难实现；但当载频较高时，采用一级调制直接滤波的方法已不可能实现单边带调制。这时可以采用多级 (一般采用两级) DSB 调制及边带滤波的方法，即先在较低的载频上进行 DSB 调制，目的是增大过渡带的归一化值，以利于滤波器的制作，经单边带滤波后再在要求的载频上进行第二次调制及滤波 (常称为变频)。但当调制信号中含有直流及低频分量时滤波法就不适用了。

2. 相移法和 SSB 信号的时域表示

SSB 信号的频域表示直观、简明，但其时域表示式的推导比较困难，需借助希尔伯特 (Hilbert) 变换来表述。为简单起见，我们以单频调制为例，然后推广到一般情况。

设单频调制信号为

\[ m (t) = A _ {m} \cos \omega_ {m} t \tag {5.1-16} \]

载波为

\[ c (t) = \cos \omega_ {c} t \]

则 DSB 信号的时域表示式为

\[ \begin{array}{l} s _ {\mathrm{DSB}} (t) = A _ {m} \cos \omega_ {m} t \cos \omega_ {\mathrm{c}} t \\ = \frac {1}{2} A _ {m} \cos \left(\omega_ {\mathrm{c}} + \omega_ {m}\right) t + \frac {1}{2} A _ {m} \cos \left(\omega_ {\mathrm{c}} - \omega_ {m}\right) t \\ \end{array} \]

保留上边带，则有

\[ \begin{array}{l} s _ {\mathrm{USB}} (t) = \frac {1}{2} A _ {m} \cos (\omega_ {\mathrm{c}} + \omega_ {m}) t \\ = \frac {1}{2} A _ {m} \cos \omega_ {m} t \cos \omega_ {\mathrm{c}} t - \frac {1}{2} A _ {m} \sin \omega_ {m} t \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {5.1-17} \\ \end{array} \]

保留下边带，则有

\[ \begin{array}{l} s _ {\mathrm{LSB}} (t) = \frac {1}{2} A _ {m} \cos (\omega_ {\mathrm{c}} - \omega_ {m}) t \\ = \frac {1}{2} A _ {m} \cos \omega_ {m} t \cos \omega_ {\mathrm{c}} t + \frac {1}{2} A _ {m} \sin \omega_ {m} t \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {5.1-18} \\ \end{array} \]

把上、下边带公式合并起来写，可以写成

\[ s _ {\mathrm{SSB}} (t) = \frac {1}{2} A _ {m} \cos \omega_ {m} t \cos \omega_ {c} t \mp \frac {1}{2} A _ {m} \sin \omega_ {m} t \sin \omega_ {c} t \tag {5.1-19} \]

式中：“-” 表示上边带信号；“+” 表示下边带信号。

在式 (5.1-19) 中， \(A_{m}\sin\omega_{m}t\) 可以看成是 \(A_{m}\cos\omega_{m}t\) 相移 \(\frac{\pi}{2}\) 的结果，而幅度大小保持不变。我们把这一过程称为希尔伯特变换，记为 “∧”，则有

5.1

幅度调制（线性调制）原理

\[ A _ {m} \cos \omega_ {m} t = A _ {m} \sin \omega_ {m} t \]

故式 \((5.1-19)\) 可以改写为

\[ s _ {\mathrm{SSB}} (t) = \frac {1}{2} A _ {m} \cos \omega_ {m} t \cos \omega_ {c} t \mp \frac {1}{2} A _ {m} \hat {\cos} \omega_ {m} t \sin \omega_ {c} t \tag {5.1-20} \]

上述关系虽然是在单频调制下得到的，但是它不失一般性，因为任意一个基带波形总可以表示成许多正弦信号之和。所以，把式 (5.1-20) 推广到一般情况，则可得到调制信号为任意信号时 SSB 信号的时域表示式，即

\[ s _ {\mathrm{SSB}} (t) = \frac {1}{2} m (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t \mp \frac {1}{2} \hat {m} (t) \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {5.1-21} \]

式中： \(\hat{m}(t)\) 为 \(m(t)\) 的希尔伯特变换。

若 \(M(\omega)\) 为 \(m(t)\) 的傅里叶变换，则 \(\hat{m}(t)\) 的傅里叶变换为

\[ \hat {M} (\omega) = M (\omega) \cdot [ - \mathrm{jsgn} \omega ] \tag {5.1-22} \]

式中符号函数

\[ \operatorname{sgn} \omega = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \omega > 0 \\ - 1 & \omega < 0 \end{array} \right. \]

式 (5.1-22) 有明显的物理意义: \(m(t)\) 通过传递函数为 - jsgn \(\omega\) 的滤波器即可得到 \(\hat{m}(t)\) 。由此可知，-jsgn \(\omega\) 即是希尔伯特滤波器的传递函数，记为

\[ H _ {\mathrm{h}} (\omega) = \hat {M} (\omega) / M (\omega) = - \mathrm{jsgn} \omega \tag {5.1-23} \]

式 (5.1-23) 表明，希尔伯特滤波器 \(H_{h}(\omega)\) 实质上是一个宽带相移网络，对 \(m(t)\) 中的任意频率分量均相移 \(\frac{\pi}{2}\) , 即可得到 \(\hat{m}(t)\) 。

由式 \((5.1-21)\) 可画出相移法 SSB 调制器的一般模型，如图 5-6 所示。

相移法是利用相移网络，对载波和调制信号进行适当的相移，以便在合成过程中将其中的一个边带抵消而获得 SSB 信号。相移法不需要滤波器具有陡峭的截止特性，不论载频有多高，均可一次实现 SSB 调制。

相移法的技术难点是宽带相移网络 \(H_{\mathrm{h}}(\omega)\) 的制作。该网络必须对调制信号 \(m(t)\) 的所有频率分量均精确相移 \(\frac{\pi}{2}\) ，这一点即使近似达到也是困难的。为解决这个难题，可以采用维弗（Weaver）法 \(^{[1]}\) 。限于篇幅，这里不作介绍。

综上所述，SSB 信号的实现比 AM、DSB 要复杂，但 SSB 调制方式在传输信息时，不仅可节省发射功率，而且它所占用的频带宽度为 \(B_{SSB}=f_{H}\) ，比 AM、DSB 减少了 1/2。它目前已成为短波通信中一种重要的调制方式。

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SSB 信号的解调和 DSB 一样，不能采用简单的包络检波，因为 SSB 信号也是抑制载波的已调信号，它的包络不能直接反映调制信号的变化，所以仍需采用相干解调。

5.1.4 残留边带调制

残留边带 (VSB) 调制是介于 SSB 与 DSB 之间的一种折中方式，它既克服了 DSB 信号占用频带宽的缺点，又解决了 SSB 信号实现中的困难。在这种调制方式中，不像 SSB 中那样完全抑制 DSB 信号的一个边带，而是逐渐切割，使其残留一小部分，如图 5-7 所示。

用滤波法实现残留边带调制的原理框图与图 5-4 相同。不过，这时图中滤波器的特性 \(H(\omega)\) 应按残留边带调制的要求来进行设计，而不再要求十分陡峭的截止特性，因而它比单边带滤波器容易制作。

现在我们来确定残留边带滤波器的特性。假设 \(H(\omega)\) 是所需的残留边带滤波器的传输特性，由滤波法可知，残留边带信号的频谱为

\[ \begin{array}{l} S _ {\mathrm{VSB}} (\omega) = S _ {\mathrm{DSB}} (\omega) \cdot H (\omega) \\ = \frac {1}{2} \big [ M (\omega + \omega_ {\mathrm{c}}) + M (\omega - \omega_ {\mathrm{c}}) \big ] H (\omega) \tag {5.1-24} \\ \end{array} \]

为了确定式 (5.1-24) 中残留边带滤波器传输特性 \(H(\omega)\) 应满足的条件，我们来分析一下接收端是如何从该信号中恢复原基带信号的。VSB 信号也不能简单地采用包络检波，而必须采用如图 5-8 所示的相干解调。

图中，残留边带信号 \(s_{\mathrm{VSB}}(t)\) 与相干载波 \(2\cos \omega_t t\) 的乘积为

\[ s _ {\mathrm{p}} (t) = 2 s _ {\mathrm{VSB}} (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t \]

因为 \(s_{\mathrm{VSB}}(t) \Leftrightarrow S_{\mathrm{VSB}}(\omega)\) 和 \(\cos\omega_{c}t \Leftrightarrow \pi[\delta(\omega + \omega_{c}) + \delta(\omega - \omega_{c})]\) ，所以根据频域卷积定理可知，乘积 \(s_{\mathrm{p}}(t)\) 对应的频谱为

\[ S _ {\mathrm{p}} (\omega) = \left[ S _ {\mathrm{VSB}} (\omega + \omega_ {\mathrm{c}}) + S _ {\mathrm{VSB}} (\omega - \omega_ {\mathrm{c}}) \right] \tag {5.1-25} \]

5.1

幅度调制（线性调制）原理

将式 \((5.1-24)\) 代入式 \((5.1-25)\) ，得

\[ S _ {\mathrm{p}} (\omega) = \frac {1}{2} [ M (\omega + 2 \omega_ {\mathrm{c}}) + M (\omega) ] H (\omega + \omega_ {\mathrm{c}}) + \]

\[ \frac {1}{2} \big [ M (\omega) + M (\omega - 2 \omega_ {\mathrm{c}}) \big ] H (\omega - \omega_ {\mathrm{c}}) \tag {5.1-26} \]

式中： \(M(\omega-2\omega_{c})\) 及 \(M(\omega+2\omega_{c})\) 为 \(M(\omega)\) 搬移到 \(\pm2\omega_{c}\) 处的频谱，它们可以由解调器中的低通滤波器滤除。

于是，低通滤波器的输出频谱为

\[ S _ {\mathrm{d}} (\omega) = \frac {1}{2} M (\omega) \left[ H (\omega + \omega_ {\mathrm{c}}) + H (\omega - \omega_ {\mathrm{c}}) \right] \tag {5.1-27} \]

显然，为了保证相干解调的输出无失真地恢复调制信号 \(m(t)\) , 必须要求

\[ H (\omega + \omega_ {\mathrm{c}}) + H (\omega - \omega_ {\mathrm{c}}) = \text {常数} | \omega | \leqslant \omega_ {\mathrm{H}} (5. 1 - 2 8) \]

式中： \(\omega_{H}\) 为调制信号的截止角频率。

式 (5.1-28) 就是确定残留边带滤波器传输特性 \(H(\omega)\) 所必须遵循的条件。该条件的含义是：残留边带滤波器的特性 \(H(\omega)\) 在 \(\pm\omega\) 处必须具有互补对称 (奇对称) 特性，相干解调时才能无失真地从残留边带信号中恢复所需的调制信号。

满足式 (5.1-28) 的残留边带滤波器特性 \(H(\omega)\) 有两种形式，如图 5-9 所示。并且注意，每一种形式的滚降特性曲线并不是唯一的。

5.1.5 线性调制的一般模型

在前几节讨论的基础上，可以归纳出线性调制的一般模型，见图 5-10。该模型由相乘器和冲激响应为 \(h(t)\) 的滤波器组成。其输出已调信号的时域和频域表达式为

\[ s _ {m} (t) = [ m (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t ] * h (t) \tag {5.1-29} \]

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\[ S _ {m} (\omega) = \frac {1}{2} \left[ M \left(\omega + \omega_ {c}\right) + M \left(\omega - \omega_ {c}\right) \right] H (\omega) \tag {5.1-30} \]

式中： \(H(\omega)\Leftrightarrow h(t)\) 。

在该模型中，只要适当选择滤波器的特性 \(H(\omega)\) , 便可以得到各种幅度调制信号。

如果将式 \((5.1-29)\) 展开，则可得到另一种形式的时域表达式，即

\[ s _ {m} (t) = s _ {1} (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t + s _ {0} (t) \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {5.1-31} \]

其中 \(s_{1}(t)=h_{1}(t)*m(t)\quad h_{1}(t)=h(t)\cos\omega_{c}t\) (5.1-32)

\[ s _ {0} (t) = h _ {0} (t) * m (t) \quad h _ {0} (t) = h (t) \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {5.1-33} \]

式 (5.1-31) 表明，\(s_{m}(t)\) 可等效为两个互为正交调制分量的合成。由此可以得到图 5-10 的等效模型 (图 5-11)。该模型称为线性调制相移法的一般模型，它同样适用于所有线性调制。

5.1.6 相干解调与包络检波

解调是调制的逆过程，其作用是从接收的已调信号中恢复原基带信号 (即调制信号)。解调的方法可分为两类：相干解调和非相干解调 (包络检波)。

1. 相干解调

解调与调制的实质一样，均是频谱搬移。调制是把基带信号的谱搬到了载频位置，这一过程可以通过一个相乘器与载波相乘来实现。解调则是调制的反过程，即把在载频位置的已调信号的谱搬回到原始基带位置，因此同样可以用相乘器与载波相乘来实现。相干解调器的一般模型如图 5-12 所示。

相干解调时，为了无失真地恢复原基带信号，接收端必须提供一个与接收的已调载波严格同步 (同频同相) 的本地载波 (称为相干载波), 它与接收的已调信号相乘后，经低通滤波器取出低频分量，即可得到原始的基带调制信号。

相干解调器适用于所有线性调制信号的解调。由式 (5.1-31) 可知，送入解调器的已调信号的一般表达式为

5.1 幅度调制（线性调制）原理

\[ s _ {m} (t) = s _ {1} (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t + s _ {Q} (t) \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \]

与同频同相的相干载波 \(c(t)\) 相乘后，得

\[ \begin{array}{l} s _ {p} (t) = s _ {m} (t) \cos \omega_ {c} t \\ = \frac {1}{2} s _ {1} (t) + \frac {1}{2} s _ {1} (t) \cos 2 \omega_ {\mathrm{c}} t + \frac {1}{2} s _ {\mathrm{Q}} (t) \sin 2 \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {5.1-34} \\ \end{array} \]

经低通滤波器 (LPF) 后，得

\[ s _ {\mathrm{d}} (t) = \frac {1}{2} s _ {1} (t) \tag {5.1-35} \]

由式 (5.1-32) 和图 5-11 可知，\(s_{1}(t)\) 是 \(m(t)\) 通过一全通滤波器 \(H_{1}(\omega)\) 后的结果。因此，\(s_{\mathrm{d}}(t)\) 就是解调输出，即

\[ s _ {\mathrm{d}} (t) = \frac {1}{2} s _ {1} (t) \propto m (t) \tag {5.1-36} \]

由此可见，相干解调器适用于所有线性调制信号的解调，即对于 AM、DSB、SSB 和 VSB 都是适用的。只是 AM 信号的解调结果中含有直流成分 \(A_{0}\) ，这时在解调后加上一个简单隔直流电容即可。

从以上分析可知，实现相干解调的关键是接收端要提供一个与载波信号严格同步的相干载波。否则，相干解调后将会使原始基带信号减弱，甚至带来严重失真，这在传输数字信号时尤为严重。

关于相干载波的获取方法及载波相位差对解调性能带来的影响将在第 13 章中进行讨论。

2. 包络检波

AM 信号在满足 \(\left|m(t)\right|_{\max} \leqslant A_{0}\) 的条件下，其包络与调制信号 \(m(t)\) 的形状完全一样。因此，AM 信号除了可以采用相干解调外，一般都采用简单的包络检波法来恢复信号。

包络检波器通常由半波或全波整流器和低通滤波器组成。它属于非相干解调，因此不需要相干载波，广播接收机中多采用此法。一个二极管峰值包络检波器如图 5-13 所示，它由二极管 VD 和 RC 低通滤波器组成。

设输入信号是 AM 信号

\[ s _ {\mathrm{AM}} (t) = \left[ A _ {0} + m (t) \right] \cos \omega_ {\mathrm{c}} t \]

在大信号检波时 (一般大于 0.5V)，二极管处于受控的开关状态。选择 RC 满足如下关系

\[ f _ {\mathrm{H}} \ll \frac {1}{R C} \ll f _ {\mathrm{c}} \tag {5.1-37} \]

式中： \(f_{H}\) 为调制信号的最高频率； \(f_{c}\) 为载波的频率。

在满足式 \((5.1-37)\) 的条件下，检波器的输出为

\[ s _ {\mathrm{d}} (t) = A _ {0} + m (t) \tag {5.1-38} \]

第 5 章 模拟调制系统

隔去直流后即可得到原信号 \(m(t)\) 。

由此可见，包络检波器就是直接从已调波的幅度中提取原调制信号。其结构简单，且解调输出是相干解调输出的 2 倍。因此，AM 信号几乎无例外地采用包络检波。

顺便指出，DSB、SSB 和 VSB 均是抑制载波的已调信号，其包络不直接表示调制信号，因而不能采用简单的包络检波方法解调。但若插入很强的载波，使之成为或近似为 AM 信号，则可利用包络检波器恢复调制信号，这种方法称为插入载波包络检波法。它对于 DSB、SSB 和 VSB 信号均适用。载波分量可以在接收端插入，也可在发送端插入。

注意：为了保证检波质量，插入的载波振幅应远大于信号的振幅，同时也要求插入的载波与调制载波同频同相。

5.2 线性调制系统的抗噪声性能

5.2.1 分析模型

5.1 节中的分析都是在没有噪声条件下进行的。实际中，任何通信系统都避免不了噪声的影响。从第 4 章中有关信道与噪声的内容可知，各种信道中的加性高斯白噪声是普遍存在和经常存在的一种噪声。因此，本节将要研究的问题是，在信道加性高斯白噪声的背景下，各种线性调制系统的抗噪声性能。

由于加性噪声被认为只对已调信号的接收产生影响，因而通信系统的抗噪声性能可以用解调器的抗噪声性能来衡量。分析解调器的抗噪声性能的模型示于图 5-14 中。图中， \(s_{m}(t)\) 为已调信号， \(n(t)\) 为信道加性高斯白噪声。带通滤波器的作用是滤除已调信号频带以外的噪声，因此，经过带通滤波器后到达解调器输入端的信号仍可认为是 \(s_{m}(t)\) ，而噪声为 \(n_{i}(t)\) 。解调器输出的有用信号为 \(m_{o}(t)\) ，噪声为 \(n_{o}(t)\) 。

对于不同的调制系统，将有不同形式的信号 \(s_{m}(t)\) , 但解调器输入端的噪声 \(n_{i}(t)\) 形式却是相同的，它是由平稳高斯白噪声 \(n(t)\) 经过带通滤波器而得到的。由 3.7 节可知，当带通滤波器的带宽远小于其中心频率 \(\omega_{0}\) 时，可视为窄带滤波器，故 \(n_{i}(t)\) 为平稳窄带高斯噪声，它的表达式为

\[ n _ {\mathrm{i}} (t) = n _ {\mathrm{c}} (t) \cos \omega_ {0} t - n _ {\mathrm{s}} (t) \sin \omega_ {0} t \tag {5.2-1} \]

或者

\[ n _ {1} (t) = V (t) \cos [ \omega_ {0} t + \theta (t) ] \tag {5.2-2} \]

由随机过程知识可知，窄带噪声 \(n_{\mathrm{i}}(t)\) 及其同相分量 \(n_{\mathrm{c}}(t)\) 和正交分量 \(n_{\mathrm{s}}(t)\) 的均值都为 0，且具有相同的方差，即

\[ \overline {{n _ {\mathrm{i}} ^ {2} (t)}} = \overline {{n _ {\mathrm{c}} ^ {2} (t)}} = \overline {{n _ {\mathrm{s}} ^ {2} (t)}} = N _ {\mathrm{i}} \tag {5.2-3} \]

5.2 线性调制系统的抗噪声性能

式中： \(N_{i}\) 为解调器输入噪声的平均功率。

若白噪声的单边功率谱密度为 \(n_{0}\) ，带通滤波器是高度为 1、带宽为 B 的理想矩形函数，则解调器的输入噪声功率为

\[ N _ {\mathrm{i}} = n _ {0} B \tag {5.2-4} \]

这里的带宽 B 应等于已调信号的频带宽度，即保证已调信号无失真地进入解调器，同时又最大限度地抑制噪声。

模拟通信系统的主要质量指标是解调器的输出信噪比。输出信噪比定义为

\[ \frac {S _ {\mathrm{o}}}{N _ {\mathrm{o}}} = \frac {\mathrm{解调器输出有用信号的平均功率}}{\mathrm{解调器输出噪声的平均功率}} = \frac {\overline {{m _ {\mathrm{o}} ^ {2} (t)}}}{\overline {{n _ {\mathrm{o}} ^ {2} (t)}}} \tag {5.2-5} \]

输出信噪比与调制方式和解调方式均密切相关。因此在已调信号平均功率相同，而且信道噪声功率谱密度也相同的情况下，输出信噪比 \(S_{o}/N_{o}\) 反映了解调器的抗噪声性能。显然， \(S_{o}/N_{o}\) 越大越好。

为了便于比较同类调制系统采用不同解调器时的性能，还可用输出信噪比和输入信噪比的比值来表示，即

\[ G = \frac {S _ {\mathrm{o}} / N _ {\mathrm{o}}}{S _ {\mathrm{i}} / N _ {\mathrm{i}}} \tag {5.2-6} \]

这个比值 G 称为调制制度增益或信噪比增益。显然，同一调制方式，信噪比增益 G 越大，则解调器的抗噪声性能越好；同时，G 的大小也反映了这种调制制度的优劣。式中的 \(S_{i}/N_{i}\) 为输入信噪比，定义为

\[ \frac {S _ {\mathrm{i}}}{N _ {\mathrm{i}}} = \frac {\mathrm{解调器输入已调信号的平均功率}}{\mathrm{解调器输入噪声的平均功率}} = \frac {\overline {{{s _ {m} ^ {2} (t)}}}}{\overline {{{n _ {\mathrm{i}} ^ {2} (t)}}}} \tag {5.2-7} \]

现在的任务就是在给定 \(s_{m}(t)\) 和 \(n_{i}(t)\) 的情况下，推导出各种解调器的输入及输出信噪比，并在此基础上对各种调制系统的抗噪声性能作出评述。

5.2.2 DSB 调制系统的性能

在分析 DSB 及 SSB、VSB 系统的抗噪声性能时，图 5-14 模型中的解调器应为相干解调器，如图 5-15 所示。由于是线性系统，所以可以分别计算解调器输出的信号功率和噪声功率。

设解调器输入信号为

\[ s _ {m} (t) = m (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {5.2-8} \]

与相干载波 \(\cos\omega_{c}t\) 相乘后，得

第 5 章 模拟调制系统

\[ m (t) \cos^ {2} \omega_ {\mathrm{c}} t = \frac {1}{2} m (t) + \frac {1}{2} m (t) \cos 2 \omega_ {\mathrm{c}} t \]

经低通滤波器后，输出信号为

\[ m _ {\mathrm{o}} (t) = \frac {1}{2} m (t) \tag {5.2-9} \]

因此，解调器输出端的有用信号功率为

\[ S _ {\mathrm{o}} = \overline {{m _ {\mathrm{o}} ^ {2} (t)}} = \frac {1}{4} \overline {{m ^ {2} (t)}} \tag {5.2-10} \]

解调 DSB 信号时，接收机中的带通滤波器的中心频率 \(\omega_{0}\) 与调制载频 \(\omega_{c}\) 相同，因此解调器输入端的窄带噪声 \(n_{i}(t)\) 可表示为

\[ n _ {\mathrm{i}} (t) = n _ {\mathrm{c}} (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t - n _ {\mathrm{s}} (t) \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {5.2-11} \]

它与相干载波 \(\cos\omega_{t}t\) 相乘后，得

\[ \begin{array}{l} n _ {\mathrm{i}} (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t = [ n _ {\mathrm{c}} (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t - n _ {\mathrm{s}} (t) \sin \omega_ {\mathrm{c}} t ] \cos \omega_ {\mathrm{c}} t \\ = \frac {1}{2} n _ {\mathrm{c}} (t) + \frac {1}{2} \left[ n _ {\mathrm{c}} (t) \cos 2 \omega_ {\mathrm{c}} t - n _ {\mathrm{s}} (t) \sin 2 \omega_ {\mathrm{c}} t \right] \\ \end{array} \]

经低通滤波器后，解调器最终的输出噪声为

\[ n _ {\mathrm{o}} (t) = \frac {1}{2} n _ {\mathrm{c}} (t) \tag {5.2-12} \]

故输出噪声功率为

\[ N _ {v} = \overline {{n _ {v} ^ {2} (t)}} = \frac {1}{4} \overline {{n _ {v} ^ {2} (t)}} \tag {5.2-13} \]

根据式 \((5.2-3)\) 和式 \((5.2-4)\) ，有

\[ N _ {0} = \frac {1}{4} \overline {{{n _ {\mathrm{i}} ^ {2} (t)}}} = \frac {1}{4} N _ {\mathrm{i}} = \frac {1}{4} n _ {0} B \tag {5.2-14} \]

这里， \(B=2f_{H}\) ，为 DSB 信号的带通滤波器的带宽。

解调器输入信号平均功率为

\[ S _ {1} = \overline {{s _ {m} ^ {2} (t)}} = \overline {{[ m (t) \cos \omega_ {c} t ] ^ {2}}} = \frac {1}{2} \overline {{m ^ {2} (t)}} \tag {5.2-15} \]

与式 \((5.2-4)\) 相比，可得解调器的输入信噪比为

\[ \frac {S _ {\mathrm{i}}}{N _ {\mathrm{i}}} = \frac {\frac {1}{2} \overline {{m ^ {2} (t)}}}{n _ {0} B} \tag {5.2-16} \]

又根据式 \((5.2-10)\) 和式 \((5.2-14)\) 可得解调器的输出信噪比为

\[ \frac {S _ {\mathrm{o}}}{N _ {\mathrm{o}}} = \frac {\frac {1}{4} \overline {{m ^ {2} (t)}}}{\frac {1}{4} N _ {\mathrm{i}}} = \frac {\overline {{m ^ {2} (t)}}}{n _ {0} B} \tag {5.2-17} \]

5.2 线性调制系统的抗噪声性能

因此制度增益为

\[ G _ {\mathrm{DSH}} = \frac {S _ {\mathrm{o}} / N _ {\mathrm{o}}}{S _ {\mathrm{i}} / N _ {\mathrm{i}}} = 2 \tag {5.2-18} \]

由此可见，DSB 调制系统的制度增益为 2。也就是说，DSB 信号的解调器使信噪比改善 1 倍。这是因为采用相干解调，使输入噪声中的一个正交分量 \(n_{x}(t)\) 被消除的缘故。

5.2.3 SSB 调制系统的性能

SSB 信号的解调方法与 DSB 信号相同，其区别仅在于解调器之前的带通滤波器的带宽和中心频率不同。前者的带通滤波器的带宽是后者的一半。

由于 SSB 信号的解调器与 DSB 信号的相同，故计算解调器输入及输出信噪比的方法也相同。SSB 信号解调器的输出噪声与输入噪声的功率可由式 (5.2-14) 给出，即

\[ N _ {\mathrm{o}} = \frac {1}{4} N _ {\mathrm{i}} = \frac {1}{4} n _ {0} B \tag {5.2-19} \]

这里， \(B=f_{H}\) 为 SSB 信号的带通滤波器的带宽。

对于单边带解调器的输入及输出信号功率，不能简单地照搬双边带时的结果。这是因为 SSB 信号的表达式与 DSB 信号的不同。SSB 信号的表达式由式 (5.1-20) 给出，即

\[ s _ {m} (t) = \frac {1}{2} m (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t \mp \frac {1}{2} \hat {m} (t) \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {5.2-20} \]

与相干载波相乘后，再经低通滤波可得解调器输出信号为

\[ m _ {\mathrm{o}} (t) = \frac {1}{4} m (t) \tag {5.2-21} \]

因此，输出信号平均功率为

\[ S _ {\mathrm{o}} = \overline {{m _ {\mathrm{o}} ^ {2} (t)}} = \frac {1}{1 6} \overline {{m ^ {2} (t)}} \tag {5.2-22} \]

输入信号平均功率为

\[ \begin{array}{l} S _ {1} = \overline {{s _ {m} ^ {2} (t)}} = \frac {1}{4} \overline {{\left[ m (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t \mp \hat {m} (t) \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \right] ^ {2}}} \\ = \frac {1}{4} \left[ \frac {1}{2} \overline {{m ^ {2} (t)}} + \frac {1}{2} \overline {{\hat {m} ^ {2} (t)}} \right] \\ \end{array} \]

因为 \(\hat{m}(t)\) 与 \(m(t)\) 幅度相同，所以两者具有相同的平均功率，故上式变为

\[ S _ {\mathrm{i}} = \frac {1}{4} \overline {{m ^ {2} (t)}} \tag {5.2-23} \]

于是，单边带解调器的输入信噪比为

\[ \frac {S _ {\mathrm{i}}}{N _ {\mathrm{i}}} = \frac {\frac {1}{4} \overline {{m ^ {2} (t)}}}{n _ {0} B} = \frac {\overline {{m ^ {2} (t)}}}{4 n _ {0} B} \tag {5.2-24} \]

输出信噪比为

第 5 章 模拟调制系统

\[ \frac {S _ {\mathrm{o}}}{N _ {\mathrm{o}}} = \frac {\frac {1}{1 6} \overline {{m ^ {2} (t)}}}{\frac {1}{4} n _ {0} B} = \frac {\overline {{m ^ {2} (t)}}}{4 n _ {0} B} \tag {5.2-25} \]

因而制度增益为

\[ G _ {\mathrm{SSB}} = \frac {S _ {\mathrm{o}} / N _ {\mathrm{o}}}{S _ {\mathrm{i}} / N _ {\mathrm{i}}} = 1 \tag {5.2-26} \]

这是因为在 SSB 系统中，信号和噪声有相同表示形式，所以相干解调过程中，信号和噪声中的正交分量均被抑制掉，故信噪比没有改善。

比较式 (5.2-18) 与式 (5.2-26) 可知， \(G_{DSB}=2G_{SSB}\) 。这能否说明 DSB 系统的抗噪声性能比 SSB 系统好呢？回答是否定的。因为，两者的输入信号功率不同、带宽不同，在相同的噪声功率谱密度 \(n_{0}\) 条件下，输入噪声功率也不同，所以两者的输出信噪比是在不同条件下得到的。如果我们在相同的输入信号功率 \(S_{i}\) ，相同的输入噪声功率谱密度 \(n_{0}\) ，相同的基带信号带宽 \(f_{H}\) 条件下，对这两种调制方式进行比较，可以发现它们的输出信噪比是相等的。这就是说，两者的抗噪声性能是相同的。但 SSB 所需的传输带宽仅是 DSB 的 1/2，因此 SSB 得到普遍应用。

VSB 调制系统的抗噪声性能的分析方法与上面的相似。但是，由于采用的残留边带滤波器的频率特性形状不同，所以，抗噪声性能的计算是比较复杂的。但是在边带的残留部分不是太大的时候，可以近似认为其抗噪声性能与 SSB 调制系统的抗噪声性能相同。

5.2.4 AM 包络检波的性能

如前所述，AM 信号可用相干解调和包络检波两种方法解调。AM 信号相干解调系统的性能分析与前面双边带 (或单边带) 的相同，可自行分析。这里，我们将对 AM 信号采用包络检波的性能进行讨论。此时，图 5-14 分析模型中的解调器为一包络检波器，如图 5-16 所示，其检波输出电压正比于输入信号的包络变化。

设解调器输入信号为

\[ s _ {m} (t) = \left[ A _ {0} + m (t) \right] \cos \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {5.2-27} \]

这里仍假设调制信号 \(m(t)\) 的均值为 0，且 \(\left|m(t)\right|_{\max} \leqslant A_0\) 。解调器输入噪声为

\[ n _ {\mathrm{i}} (t) = n _ {\mathrm{c}} (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t - n _ {\mathrm{s}} (t) \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {5.2-28} \]

则解调器输入的信号功率 \(S_{i}\) 和噪声功率 \(N_{i}\) 分别为

\[ S _ {i} = \overline {{s _ {m} ^ {2} (t)}} = \frac {A _ {0} ^ {2}}{2} + \frac {\overline {{m ^ {2} (t)}}}{2} \tag {5.2-29} \]

5.2

线性调制系统的抗噪声性能

\[ N _ {i} = \overline {{{n _ {i} ^ {2} (t)}}} = n _ {0} B \tag {5.2-30} \]

输入信噪比为

\[ \frac {S _ {\mathrm{i}}}{N _ {\mathrm{i}}} = \frac {A _ {0} ^ {2} + \overline {{m ^ {2} (t)}}}{2 n _ {0} B} \tag {5.2-31} \]

由于解调器输入是信号加噪声的混合波形，即

\[ \begin{array}{l} s _ {m} (t) + n _ {\mathrm{i}} (t) = \left[ A _ {0} + m (t) + n _ {\mathrm{c}} (t) \right] \cos \omega_ {\mathrm{c}} t - n _ {\mathrm{s}} (t) \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \\ = E (t) \cos [ \omega_ {c} t + \psi (t) ] \\ \end{array} \]

其中 \(E(t) = \sqrt{[A_0 + m(t) + n_c(t)]^2 + n_s^2(t)}\) (5.2-32)

\[ \psi (t) = \arctan \left[ \frac {n _ {\mathrm{s}} (t)}{A _ {0} + m (t) + n _ {\mathrm{c}} (t)} \right] \tag {5.2-33} \]

很明显， \(E(t)\) 便是所求的合成包络。当包络检波器的传输系数为 1 时，则检波器的输出就是 \(E(t)\) 。

由式 (5.2-32) 可以看出，检波输出 \(E(t)\) 中的信号和噪声存在非线性关系。因此，计算输出信噪比是件困难的事。为使讨论简明，我们来考虑两种特殊情况。

1. 大信噪比情况

此时，输入信号幅度远大于噪声幅度，即

\[ \left[ A _ {0} + m (t) \right] \gg \sqrt {n _ {\mathrm{c}} ^ {2} (t) + n _ {\mathrm{s}} ^ {2} (t)} \]

因而式 \((5.2-32)\) 可简化为

\[ \begin{array}{l} E (t) = \sqrt {\left[ A _ {0} + m (t) \right] ^ {2} + 2 \left[ A _ {0} + m (t) \right] n _ {\mathrm{c}} (t) + n _ {\mathrm{c}} ^ {2} (t) + n _ {\mathrm{s}} ^ {2} (t)} \\ \approx \sqrt {\left[ A _ {0} + m (t) \right] ^ {2} + 2 \left[ A _ {0} + m (t) \right] n _ {\mathrm{c}} (t)} \\ \approx \left[ A _ {0} + m (t) \right] \left[ 1 + \frac {2 n _ {\mathrm{c}} (t)}{A _ {0} + m (t)} \right] ^ {1 / 2} \\ \approx \left[ A _ {0} + m (t) \right] \left[ 1 + \frac {n _ {\mathrm{c}} (t)}{A _ {0} + m (t)} \right] \\ = A _ {0} + m (t) + n _ {\mathrm{c}} (t) \tag {5.2-34} \\ \end{array} \]

这里，我们利用了近似公式，即

\[ (1 + x) ^ {\frac {1}{2}} \approx 1 + \frac {x}{2} \quad | x | \ll 1 \]

由式 (5.2-34) 可见，当直流分量 \(A_{0}\) 被电容器阻隔后，有用信号与噪声独立地分成两项，因而可分别计算它们的功率。

输出信号功率为

\[ S _ {\mathrm{o}} = \overline {{m ^ {2} (t)}} \tag {5.2-35} \]

输出噪声功率为

第 5 章 模拟调制系统

\[ N _ {\mathrm{o}} = \overline {{n _ {\mathrm{c}} ^ {2} (t)}} = \overline {{n _ {\mathrm{i}} ^ {2} (t)}} = n _ {0} B \tag {5.2-36} \]

输出信噪比为

\[ \frac {S _ {\mathrm{o}}}{N _ {\mathrm{o}}} = \overline {{\frac {m ^ {2} (t)}{n _ {0} B}}} \tag {5.2-37} \]

由式 \((5.2-31)\) 和式 \((5.2-37)\) 可得调制制度增益为

\[ G _ {\mathrm{AM}} = \frac {S _ {\mathrm{o}} / N _ {\mathrm{o}}}{S _ {\mathrm{i}} / N _ {\mathrm{i}}} = \frac {2 \overline {{m ^ {2} (t)}}}{A _ {0} ^ {2} + \overline {{m ^ {2} (t)}}} \tag {5.2-38} \]

显然，AM 信号的调制制度增益 \(G_{\mathrm{AM}}\) 随 \(A_0\) 的减小而增加。但对包络检波器来说，为了不发生过调制现象，应有 \(A_0 \geqslant |m(t)|_{\max}\) ，所以 \(G_{\mathrm{AM}}\) 总是小于 1，这说明包络检波器对输入信噪比没有改善，而是恶化了。例如：对于 \(100\%\) 的调制 \((A_0 = |m(t)|_{\max})\) ，且 \(m(t)\) 是单频正弦信号，这时 AM 的最大信噪比增益为

\[ G _ {\mathrm{AM}} = \frac {2}{3} \tag {5.2-39} \]

可以证明，采用相干解调法解调 AM 信号时，得到的调制制度增益 \(G_{AM}\) 与式 (5.2-38) 给出的结果相同。由此可见，对于 AM 调制系统，在大信噪比时，采用包络检波器解调时的性能与相干解调器时的性能几乎一样。但应该注意，后者的调制制度增益不受信号与噪声相对幅度假设条件的限制。

2. 小信噪比情况

此时，输入信号幅度远小于噪声幅度，即

\[ \left[ A _ {0} + m (t) \right] \ll \sqrt {n _ {\mathrm{c}} ^ {2} (t) + n _ {\mathrm{s}} ^ {2} (t)} \]

式 \((5.2-32)\) 变成

\[ \begin{array}{l} E (t) = \sqrt {\left[ A _ {0} + m (t) \right] ^ {2} + n _ {\mathrm{c}} ^ {2} (t) + n _ {\mathrm{s}} ^ {2} (t) + 2 n _ {\mathrm{c}} (t) \left[ A _ {0} + m (t) \right]} \\ \approx \sqrt {n _ {\mathrm{c}} ^ {2} (t) + n _ {\mathrm{s}} ^ {2} (t) + 2 n _ {\mathrm{c}} (t) [ A _ {0} + m (t) ]} \\ = \sqrt {\left[ n _ {c} ^ {2} (t) + n _ {s} ^ {2} (t) \right] \left\{1 + \frac {2 n _ {c} (t) \left[ A _ {0} + m (t) \right]}{n _ {c} ^ {2} (t) + n _ {s} ^ {2} (t)} \right\}} \\ = R (t) \sqrt {1 + \frac {2 [ A _ {0} + m (t) ]}{R (t)} \cos \theta (t)} \tag {5.2-40} \\ \end{array} \]

其中 \(R(t)\) 及 \(\theta(t)\) 代表噪声 \(n_{i}(t)\) 的包络及相位，即

\[ R (t) = \sqrt {n _ {\mathrm{c}} ^ {2} (t) + n _ {\mathrm{s}} ^ {2} (t)} \]

\[ \theta (t) = \arctan \left[ \frac {n _ {\mathrm{s}} (t)}{n _ {\mathrm{c}} (t)} \right] \]

\[ \cos \theta (t) = \frac {n _ {\mathrm{c}} (t)}{R (t)} \]

5.2 线性调制系统的抗噪声性能

因为 \(R(t) \gg [A_0 + m(t)]\) ，所以我们可以利用数学近似式 \((1 + x)^{\frac{1}{2}} \approx 1 + \frac{x}{2} (|x| \ll 1\) 时）把 \(E(t)\) 进一步近似为

\[ \begin{array}{l} E (t) \approx R (t) \left[ 1 + \frac {A _ {0} + m (t)}{R (t)} \cos \theta (t) \right] \\ = R (t) + [ A _ {0} + m (t) ] \cos \theta (t) \tag {5.2-41} \\ \end{array} \]

此时， \(E(t)\) 中没有单独的信号项，只有受到 \(\cos\theta(t)\) 调制的 \(m(t)\cos\theta(t)\) 项。由于 \(\cos\theta(t)\) 是一个随机噪声，所以有用信号 \(m(t)\) 被噪声扰乱，致使 \(m(t)\cos\theta(t)\) 也只能看作是噪声。这时候，输出信噪比不是按比例随着输入信噪比下降，而是急剧恶化，通常把这种现象称为解调器的门限效应。开始出现门限效应的输入信噪比称为门限值。这种门限效应是由包络检波器的非线性解调作用所引起的。

有必要指出，用相干解调的方法解调各种线性调制信号时不存在门限效应。原因是信号与噪声可分别进行解调，解调器输出端总是单独存在有用信号项。

由以上分析可得如下结论：在大信噪比情况下，AM 信号包络检波器的性能几乎与相干解调法相同。但当输入信噪比低于门限值时，将会出现门限效应，这时解调器的输出信噪比将急剧恶化，系统无法正常工作。

5.3 非线性调制 (角度调制) 原理

正弦载波有三个参量：幅度、频率和相位。我们不仅可以把调制信号的信息载荷于载波的幅度变化中，还可以载荷于载波的频率或相位变化中。在调制时，若载波的频率随调制信号变化，称为频率调制或调频 (FM); 若载波的相位随调制信号而变称为相位调制或调相 (PM)。在这两种调制过程中，载波的幅度都保持恒定不变，而频率和相位的变化都表现为载波瞬时相位的变化，故把调频和调相统称为角度调制。

角度调制与幅度调制不同的是，已调信号频谱不再是原调制信号频谱的线性搬移，而是频谱的非线性变换，会产生与频谱搬移不同的新的频率成分，故又称为非线性调制。

FM 和 PM 在通信系统中的使用都非常广泛。FM 广泛应用于高保真音乐广播、电视伴音信号的传输、卫星通信和蜂窝电话系统等。PM 除直接用于传输外，也常用作间接产生 FM 信号的过渡。调频与调相之间存在密切的关系。

与幅度调制技术相比，角度调制最突出的优势是其较高的抗噪声性能。然而有得就有失，获得这种优势的代价是角度调制占用比幅度调制信号更宽的带宽。

5.3.1 角度调制的基本概念

1. FM 和 PM 信号的一般表达式

角度调制信号的一般表达式为

\[ s _ {m} (t) = A \cos [ \omega_ {\mathrm{c}} t + \varphi (t) ] \tag {5.3-1} \]

式中： \(A\) 为载波的恒定振幅； \([\omega ,t + \varphi (t)]\) 为信号的瞬时相位，记为 \(\theta (t);\varphi (t)\) 为相对于载波相位 \(\omega_{c}t\) 的瞬时相位偏移； \(\mathrm{d}\left[\omega_{c}t+\varphi(t)\right]/\mathrm{d}t\) 为信号的瞬时角频率，记为 \(\omega(t)\) ; \(\mathrm{d}\varphi(t)/\mathrm{d}t\) 为相对于载频 \(\omega_{c}\) 的瞬时频偏。

第 5 章 模拟调制系统

所谓相位调制 (PM)，是指瞬时相位偏移随调制信号 \(m(t)\) 作线性变化，即

\[ \varphi (t) = K _ {\mathrm{p}} m (t) \tag {5.3-2} \]

式中： \(K_{p}\) 为调相灵敏度（rad/V），含义是单位调制信号幅度引起 PM 信号的相位偏移量。

将式 \((5.3-2)\) 代入式 \((5.3-1)\) ，则可得调相信号为

\[ s _ {\mathrm{PM}} (t) = A \cos [ \omega_ {\mathrm{c}} t + K _ {\mathrm{p}} m (t) ] \tag {5.3-3} \]

所谓频率调制 (FM)，是指瞬时频率偏移随调制信号 \(m(t)\) 成比例变化，即

\[ \frac {\mathrm{d} \varphi (t)}{\mathrm{d} t} = K _ {f} m (t) \tag {5.3-4} \]

式中： \(K_{f}\) 为调频灵敏度（rad/(s・V)）。

这时相位偏移为

\[ \varphi (t) = K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \tag {5.3-5} \]

代入式 \((5.3-1)\) ，可得调频信号为

\[ s _ {\mathrm{FM}} (t) = A \cos [ \omega_ {c} t + K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau ] \tag {5.3-6} \]

由式 (5.3-3) 和式 (5.3-6) 可见，PM 与 FM 的区别仅在于，PM 是相位偏移随调制信号 \(m(t)\) 线性变化，FM 是相位偏移随 \(m(t)\) 的积分呈线性变化。如果预先不知道调制信号 \(m(t)\) 的具体形式，则无法判断已调信号是调相信号还是调频信号。

2. 单音调制 FM 与 PM

设调制信号为单一频率的正弦波，即

\[ m (t) = A _ {m} \cos \omega_ {m} t = A _ {m} \cos 2 \pi f _ {m} t \tag {5.3-7} \]

当它对载波进行相位调制时，由式 \((5.3-3)\) 可得 PM 信号:

\[ \begin{array}{l} s _ {\mathrm{PM}} (t) = A \cos [ \omega_ {c} t + K _ {\mathrm{p}} A _ {m} \cos \omega_ {m} t ] \\ = A \cos [ \omega_ {c} t + m _ {\mathrm{p}} \cos \omega_ {m} t ] \tag {5.3-8} \\ \end{array} \]

式中： \(m_{p}=K_{p}A_{m}\) 称为调相指数，表示最大的相位偏移。

如果进行频率调制，则由式 \((5.3-6)\) 可得 FM 信号:

\[ \begin{array}{l} s _ {\mathrm{FM}} (t) = A \cos \left[ \omega_ {c} t + K _ {f} A _ {m} \int \cos \omega_ {m} \tau \mathrm{d} \tau \right] \\ = A \cos [ \omega_ {c} t + m _ {f} \sin \omega_ {m} t ] \tag {5.3-9} \\ \end{array} \]

式中： \(m_{f}\) 为调频指数，其表达式

\[ m _ {f} = \frac {K _ {f} A _ {m}}{\omega_ {m}} = \frac {\Delta \omega}{\omega_ {m}} = \frac {\Delta f}{f _ {m}} \tag {5.3-10} \]

表示最大的相位偏移；其中的 \(\Delta\omega = K_{f}A_{m}\) ，为最大角频偏； \(\Delta f = m_{f} \cdot f_{m}\) ，为最大频偏。

5.3

非线性调制（角度调制）原理

由式 (5.3-8) 和式 (5.3-9) 画出的单音 PM 信号和 FM 信号波形如图 5-17 所示。

3. FM 与 PM 之间的关系

由于频率和相位之间存在微分与积分的关系，所以 FM 与 PM 之间是可以相互转换的。比较式 (5.3-3) 和式 (5.3-6) 可以看出，如果将调制信号先微分，而后进行调频，则得到的是调相波，这种方式叫间接调相；同样，如果将调制信号先积分，而后进行调相，则得到的是调频波，这种方式叫间接调频。图 5-18 给出了 FM 与 PM 之间的关系。

FM 与 PM 这种密切的关系使我们可以对两者作并行的分析，仅需要强调一下它们的主要区别即可。鉴于在实际中 FM 波用得较多，下面将主要讨论频率调制。

5.3.2 窄带调频

当 FM 信号的最大瞬时相位偏移满足

\[ \left| K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \right| \ll \frac {\pi}{6} \quad (\text {或} 0. 5) \tag {5.3-11} \]

第 5 章 模拟调制系统

时，FM 信号的频谱宽度比较窄，称为窄带调频（NBFM）。当式 (5.3-11) 条件不满足时，FM 信号的频谱宽度比较宽，称为宽带调频（WBFM）。

将 FM 信号一般表达式 (5.3-6) 展开得到

\[ \begin{array}{l} s _ {\mathrm{FM}} (t) = A \cos \left[ \omega_ {c} t + K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \right] \\ = A \cos \omega_ {c} t \cos \left[ K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \right] - A \sin \omega_ {c} t \sin \left[ K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \right] \tag {5.3-12} \\ \end{array} \]

当满足式 \((5.3-11)\) 的条件时，有

\[ \begin{array}{l} \cos \left[ K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \right] \approx 1 \\ \sin \left[ K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \right] \approx K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \\ \end{array} \]

故式 \((5.3-12)\) 可简化为

\[ s _ {\mathrm{NBFM}} (t) \approx A \cos \omega_ {c} t - \left[ A K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \right] \sin \omega_ {c} t \tag {5.3-13} \]

利用以下傅里叶变换对：

\[ \begin{array}{l} m (t) \Leftrightarrow M (\omega) \\ \cos \omega_ {c} t \Leftrightarrow \pi [ \delta (\omega + \omega_ {c}) + \delta (\omega - \omega_ {c}) ] \\ \sin \omega_ {c} t \Leftrightarrow \mathrm{j} \pi [ \delta (\omega + \omega_ {c}) - \delta (\omega - \omega_ {c}) ] \\ \end{array} \]

\(\int m(t)\mathrm{d}t\Leftrightarrow\frac{M(\omega)}{\mathrm{j}\omega}\) （设 \(m(t)\) 的均值为 0）

\[ \left[ \int m (t) \mathrm{d} t \right] \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \Leftrightarrow \frac {1}{2} \left[ \frac {M (\omega + \omega_ {\mathrm{c}})}{\omega + \omega_ {\mathrm{c}}} - \frac {M (\omega - \omega_ {\mathrm{c}})}{\omega - \omega_ {\mathrm{c}}} \right] \]

可得 NBFM 信号的频域表达式为

\[ \begin{array}{l} s _ {\mathrm{NBFM}} (\omega) = \pi A [ \delta (\omega + \omega_ {c}) + \delta (\omega - \omega_ {c}) ] + \\ \frac {A K _ {f}}{2} \left[ \frac {M (\omega - \omega_ {\mathrm{c}})}{\omega - \omega_ {\mathrm{c}}} - \frac {M (\omega + \omega_ {\mathrm{c}})}{\omega + \omega_ {\mathrm{c}}} \right] \tag {5.3-14} \\ \end{array} \]

式 (5.3-13) 和式 (5.3-14) 是 NBFM 信号的时域和频域的一般表达式。将式 (5.3-14) 与式 (5.1-5) 表述的 AM 信号的频谱

\[ S _ {\mathrm{AM}} (\omega) = \pi A [ \delta (\omega + \omega_ {\mathrm{c}}) + \delta (\omega - \omega_ {\mathrm{c}}) ] + \frac {1}{2} [ M (\omega + \omega_ {\mathrm{c}}) + M (\omega - \omega_ {\mathrm{c}}) ] \]

相比较，可以清楚地看出 NBFM 和 AM 这两种调制的相似性和不同处。两者都含有一个载波和位于 \(\pm\omega_{c}\) 处的两个边带，所以它们的带宽相同，都是调制信号最高频率的两倍。不同的是，NBFM 的两个边频分别乘了因式 \(1/(\omega-\omega_{c})\) 和 \(1/(\omega+\omega_{c})\) , 由于因式是频率的函数，所以这种加权是频率加权，加权的结果引起调制信号频谱的失真。另外，NBFM 的一个边带和 AM 反相。

下面以单音调制为例。设调制信号为

5.3

非线性调制（角度调制）原理

\[ m (t) = A _ {m} \cos \omega_ {m} t \]

则 NBFM 信号为

\[ \begin{array}{l} s _ {\mathrm{NBFM}} (t) \approx A \cos \omega_ {c} t - \left[ A K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \right] \sin \omega_ {c} t \\ = A \cos \omega_ {c} t - A A _ {m} K _ {f} \frac {1}{\omega_ {m}} \sin \omega_ {m} t \sin \omega_ {c} t \\ = A \cos \omega_ {c} t + \frac {A A _ {m} K _ {f}}{2 \omega_ {m}} [ \cos (\omega_ {c} + \omega_ {m}) t - \cos (\omega_ {e} - \omega_ {m}) t ] \tag {5.3-15} \\ \end{array} \]

AM 信号为

\[ \begin{array}{l} s _ {\mathrm{AM}} = \left(A + A _ {m} \cos \omega_ {m} t\right) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t = A \cos \omega_ {\mathrm{c}} t + A _ {m} \cos \omega_ {m} t \cos \omega_ {\mathrm{c}} t \\ = A \cos \omega_ {c} t + \frac {A _ {m}}{2} \left[ \cos (\omega_ {c} + \omega_ {m}) t + \cos (\omega_ {c} - \omega_ {m}) t \right] \tag {5.3-16} \\ \end{array} \]

它们的频谱如图 5-19 所示；由此而画出的矢量图如图 5-20 所示。在 AM 中，两个边频的合成矢量与载波同相，所以只有幅度的变化，无相位的变化；而在 NBFM 中，由于下边频为负，两个边频的合成矢量与载波则是正交相加，所以 NBFM 不仅有相位的变化 \(\Delta \varphi\) ，幅度也有很小的变化。当最大相位偏移满足式 (5.3-11) 时，NBFM 信号幅度基本不变。这正是两者的本质区别。

由于 NBFM 信号最大频率偏移较小，占据的带宽较窄，但是其抗干扰性能比 AM 系统要好得多，因此得到较广泛的应用。对于高质量通信 (调频立体声广播、电视伴音等) 需

第 5 章 模拟调制系统

要采用宽带调频。

5.3.3 宽带调频

当不满足式 (5.3-11) 的条件时，调频信号的时域表达式不能简化，因而给宽带调频的频谱分析带来了困难。为使问题简化，我们只研究单音调制的情况，然后把分析的结论推广到多音调制的情况。

1. 调频信号表达式

设单音调制信号为

\[ m (t) = A _ {m} \cos \omega_ {m} t = A _ {m} \cos 2 \pi f _ {m} t \]

由式 \((5.3-9)\) 可知，单音调制 FM 信号的时域表达式为

\[ s _ {\mathrm{FM}} (t) = A \cos [ \omega_ {c} t + m _ {f} \sin \omega_ {m} t ] \tag {5.3-17} \]

对式 \((5.3-17)\) 利用三角公式展开，有

\[ s _ {\mathrm{FM}} (t) = A \cos \omega_ {c} t \cdot \cos \left(m _ {f} \sin \omega_ {m} t\right) - A \sin \omega_ {c} t \cdot \sin \left(m _ {f} \sin \omega_ {m} t\right) \tag {5.3-18} \]

将式 \((5.3-18)\) 中的两个因子分别展成如下傅里叶级数：

\[ \cos (m _ {f} \sin \omega_ {m} t) = J _ {0} (m _ {f}) + \sum_ {n = 1} ^ {\infty} 2 J _ {2 n} (m _ {f}) \cos 2 n \omega_ {m} t \tag {5.3-19} \]

\[ \sin (m _ {f} \sin \omega_ {m} t) = 2 \sum_ {n = 1} ^ {\infty} J _ {2 n - 1} (m _ {f}) \sin (2 n - 1) \omega_ {m} t \tag {5.3-20} \]

式中： \(J_{n}(m_{f})\) 为第一类 n 阶贝塞尔 (Bessel) 函数，它是调频指数 \(m_{f}\) 的函数。

图 5-21 给出了 \(J_n(m_f)\) 随 \(m_f\) 变化的关系曲线，详细数据可参看贝塞尔函数值表 (见附录 C)。

将式 \((5.3-19)\) 和式 \((5.3-20)\) 代入式 \((5.3-18)\) ，并利用三角公式

\[ \cos A \cos B = \frac {1}{2} \cos (A - B) + \frac {1}{2} \cos (A + B) \]

\[ \sin A \sin B = \frac {1}{2} \cos (A - B) - \frac {1}{2} \cos (A + B) \]

5.3

非线性调制（角度调制）原理

及贝塞尔函数性质

\[ J _ {- n} (m _ {f}) = - J _ {n} (m _ {f}) \quad n \text {为奇数时} \]

\[ J _ {- n} (m _ {f}) = J _ {n} (m _ {f}) \qquad n \text {为偶数时} \]

则得到 FM 信号的级数展开式为

\[ \begin{array}{l} s _ {\mathrm{FM}} (t) = A J _ {0} \left(m _ {f}\right) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t - A J _ {1} \left(m _ {f}\right) \left[ \cos \left(\omega_ {\mathrm{c}} - \omega_ {m}\right) t - \cos \left(\omega_ {\mathrm{c}} + \omega_ {m}\right) t \right] + \\ A J _ {2} (m _ {f}) \left[ \cos (\omega_ {c} - 2 \omega_ {m}) t + \cos (\omega_ {c} + 2 \omega_ {m}) t \right] - \\ A J _ {3} \left(m _ {f}\right) \left[ \cos \left(\omega_ {c} - 3 \omega_ {m}\right) t - \cos \left(\omega_ {c} + 3 \omega_ {m}\right) t \right] + \dots \\ = A \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} J _ {n} (m _ {f}) \cos (\omega_ {c} + n \omega_ {m}) t \tag {5.3-21} \\ \end{array} \]

对式 \((5.3-21)\) 进行傅里叶变换，即得 FM 信号的频域表达式为

\[ S _ {\mathrm{FM}} (\omega) = \pi A \sum_ {- \infty} ^ {\infty} J _ {n} (m _ {f}) [ \delta (\omega - \omega_ {c} - n \omega_ {m}) + \delta (\omega + \omega_ {c} + n \omega_ {m}) ] \tag {5.3-22} \]

由式 (5.3-21) 和式 (5.3-22) 可见，调频信号的频谱由载波分量 \(\omega_{c}\) 和无数边频 \(\omega_{c} \pm n\omega_{m}\) 组成。当 \(n = 0\) 时是载波分量 \(\omega_{c}\) ，其幅度为 \(AJ_{0}(m_{f})\) ；当 \(n \neq 0\) 时就是对称分布在载频两侧的边频分量 \(\omega_{c} \pm n\omega_{m}\) ，其幅度为 \(AJ_{n}(m_{f})\) ，相邻边频之间的间隔为 \(\omega_{m}\) ；且当 \(n\) 为奇数时，上、下边频极性相反；当 \(n\) 为偶数时极性相同。由此可见，FM 信号的频谱不再是调制信号频谱的线性搬移，而是一种非线性过程。图 5-22 示出了 \(m_{f}\) 取 0.2 和 5.0 时单音调频波的幅度频谱图。

2. 调频信号的带宽

调频信号的频谱包含无穷多个频率分量，因此理论上调频信号的频带宽度为无限宽。但是，实际上边频幅度 \(J_{n}(m_{f})\) 随着 \(n\) 的增大而逐渐减小，因此只要取适当的 \(n\) 值使边频分量小到可以忽略的程度，调频信号可近似认为具有有限频谱。通常采用的原则是，信号的频带宽度应包括幅度大于未调载波的 \(10\%\) 以上的边频分量，即 \(\left|J_{n}(m_{f})\right| \geqslant 0.1\) 。当 \(m_{f} \geqslant 1\) 以后，取边频数 \(n = m_{f} + 1\) 即可。因为 \(n > m_{f} + 1\) 以上的边频幅度 \(J_{n}(m_{f})\) 均小于 0.1，这意味着大于未调载波幅度 \(10\%\) 以上的边频分量均被保留。因为被保留的上、下边频数共有 \(2n = 2(m_{f} + 1)\) 个，相邻边频之间的频率间隔为 \(f_{m}\) ，所以调频波的有效带宽为

\[ B _ {\mathrm{FM}} = 2 (m _ {f} + 1) f _ {m} = 2 (\Delta f + f _ {m}) \tag {5.3-23} \]

式 \((5.3-23)\) 就是广泛用于计算调频信号带宽的卡森 (Carson) 公式。

第 5 章 模拟调制系统

当 \(m_{f} \ll 1\) 时，式 (5.3-23) 可近似为

\[ B _ {\mathrm{FM}} \approx 2 f _ {m} \qquad (\mathrm{NBFM}) \tag {5.3-24} \]

这就是窄带调频的带宽，与前面的分析相一致。这时，带宽由第一对边频分量决定，带宽只随调制频率 \(f_{m}\) 变化，而与最大频偏 \(\Delta f\) 无关。

当 \(m_{f} \gg 1\) 时，式 (5.3-23) 可近似为

\[ B _ {\mathrm{FM}} \approx 2 \Delta f \qquad (\mathrm{WBFM}) \tag {5.3-25} \]

这时，带宽由最大频偏 \(\Delta f\) 决定，而与调制频率 \(f_{m}\) 无关。

以上讨论的是单音调频的频谱和带宽。当调制信号不是单一频率时，由于调频是一种非线性过程，其频谱分析更加复杂。根据分析和经验，对于多音或任意带限信号调制时的调频信号的带宽仍可用卡森公式来估算，即

\[ B _ {\mathrm{FM}} = 2 (m _ {f} + 1) f _ {m} = 2 (\Delta f + f _ {m}) \tag {5.3-26} \]

但是，这里的 \(f_{m}\) 是调制信号的最高频率， \(m_{f}\) 是最大频偏 \(\Delta f\) 与 \(f_{m}\) 的比值。

例如，调频广播中规定的最大频偏 \(\Delta f = 75kHz\) ，最高调制频率 \(f_{m} = 15kHz\) ，故调频指数 \(m_{f} = 5\) ，由式 (5.3-26) 可计算出此 FM 信号的频带宽度为 \(180kHz\) 。

3. 调频信号的功率分配

调频信号 \(s_{\mathrm{FM}}(t)\) 在 \(1\Omega\) 电阻上消耗的平均功率为

\[ P _ {\mathrm{FM}} = \overline {{s _ {\mathrm{FM}} ^ {2} (t)}} \tag {5.3-27} \]

由式 \((5.3-21)\) ，并利用帕塞瓦尔定理，可知

\[ P _ {\mathrm{FM}} = \overline {{{s _ {\mathrm{FM}} ^ {2} (t)}}} = \frac {A ^ {2}}{2} \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} J _ {n} ^ {2} (m _ {f}) \tag {5.3-28} \]

根据贝塞尔函数具有

\[ \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} J _ {n} ^ {2} (m _ {f}) = 1 \tag {5.3-29} \]

性质，因此有

\[ P _ {\mathrm{FM}} = \frac {A ^ {2}}{2} = P _ {\mathrm{c}} \tag {5.3-30} \]

式 (5.3-30) 说明，调频信号的平均功率等于未调载波的平均功率，即调制后总的功率不变，只是将原来载波功率中的一部分分配给每个边频分量。所以，调制过程只是进行功率的重新分配，而分配的原则与调频指数 \(m_{f}\) 有关。

5.3.4 调频信号的产生与解调

1. 调频信号的产生

调频的方法主要有两种：直接调频和间接调频。

1）直接调频法

调频就是用调制信号控制载波的频率变化。直接调频就是用调制信号直接去控制载

5.3

非线性调制（角度调制）原理

波振荡器的频率，使其按调制信号的规律线性地变化。

可以由外部电压控制振荡频率的振荡器称为压控振荡器 (VCO)。每个压控振荡器自身就是一个 FM 调制器，因为它的振荡频率正比于输入控制电压，即

\[ \omega_ {i} (t) = \omega_ {0} + K _ {f} m (t) \]

若用调制信号作控制电压信号，就能产生 FM 波，如图 5-23 所示。

若被控制的振荡器是 LC 振荡器，则只需控制振荡回路的某个电抗元件 (L 或 C)，使其参数随调制信号变化。目前常用的电抗元件是变容二极管。用变容二极管实现直接调频，由于电路简单，性能良好，已成为目前最广泛采用的调频电路之一。

在直接调频法中，振荡器与调制器合二为一。这种方法的主要优点是在实现线性调频的要求下，可以获得较大的频偏；其主要缺点是频率稳定度不高。因此往往需要采用自动频率控制系统来稳定中心频率。

应用如图 5-24 所示的锁相环 (PLL) 调制器，可以获得高质量的 FM 或 PM 信号。这种方案的载频稳定度很高，可以达到晶体振荡器的频率稳定度。但是，它的一个显著缺点是低频调制特性较差，通常可用锁相环路构成一种所谓两点调制的宽带 FM 调制器来进行改善，其具体实现方法可参考文献 [2]。

2）间接调频法

间接调频法 (简称间接法) 是先将调制信号积分，然后对载波进行调相，即可产生一个 NBFM 信号，再经 n 次倍频器得到 WBFM 信号，其原理框图如图 5-25 所示。这种产生 WBFM 的方法称为阿姆斯特朗 (Armstrong) 法或间接法。

由式 \((5.3-13)\) 可知，NBFM 信号可看成由正交分量与同相分量合成，即

\[ s _ {\mathrm{NBFM}} (t) \approx A \cos \omega_ {\mathrm{c}} t - \left[ A K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \right] \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {5.3-31} \]

因此，采用图 5-26 所示的方框图可实现 NBFM。

图 5-25 中倍频器的作用是提高调频指数 \(m_{f}\) ，从而获得宽带调频 WBFM。倍频器可以用非线性器件实现，然后用带通滤波器滤去不需要的频率分量。以理想平方律器件为例，其输出 / 输入特性为

\[ s _ {\mathrm{o}} (t) = a s _ {\mathrm{i}} ^ {2} (t) \tag {5.3-32} \]

当输入信号 \(s_{i}(t)\) 为调频信号时，有

\[ s _ {i} (t) = A \cos [ \omega_ {c} t + \varphi (t) ] \]

第 5 章 模拟调制系统

\[ s _ {o} (t) = \frac {1}{2} a A ^ {2} \left\{1 + \cos \left[ 2 \omega_ {c} t + 2 \varphi (t) \right] \right\} \tag {5.3-33} \]

由式 (5.3-33) 可知，滤除直流成分后可得到一个新的调频信号，其载频和相位偏移均增为 2 倍，由于相位偏移增为 2 倍，因而调频指数也必然增为 2 倍。同理，经 \(n\) 次倍频后可以使调频信号的载频和调频指数增为 \(n\) 倍。

以典型的调频广播的发射机为例。倍频前，先以 \(f_{1}=200kHz\) 为载频，用最高频率为 \(f_{m}=15kHz\) 的调制信号，产生频偏为 \(\Delta f_{1}=25Hz\) 的 NBFM 信号。由于调频广播的最终频偏 \(\Delta f=75kHz\) ，载频 \(f_{c}\) 在 88MHz\~108MHz 频段内，所以需要经过 \(n=\Delta f/\Delta f_{1}=75\times10^{3}/25=3000\) 的倍频，以满足最终频偏 \(\Delta f=75kHz\) 的要求。但是，倍频器在提高相位偏移的同时，也使载波频率提高了，倍频后新的载波频率 \((nf_{1})\) 高达 600MHz，不符合 \(f_{c}=88MHz\sim108MHz\) 的要求，因此需用混频器进行下变频来解决这个问题。

解决上述问题的典型方案如图 5-27 所示。其中混频器将倍频器分成两个部分，由于混频器只改变载频而不影响频偏，因此可以根据 WBFM 信号的载频和最大频偏的要求适当选择的 \(f_{1}, f_{2}\) 和 \(n_1, n_2\) 。由图 5-27 可列出它们的关系：

\[ \left\{ \begin{array}{l} f _ {\mathrm{c}} = n _ {2} (n _ {1} f _ {1} - f _ {2}) \\ \Delta f = n _ {1} n _ {2} \Delta f _ {1} \end{array} \right. \tag {5.3-34} \]

【例 5-1】在上述宽带调频方案中，设调制信号是 \(f_{m}=15\mathrm{kHz}\) 的单频余弦信号，NBFM 信号的载频 \(f_{1}=200\mathrm{kHz}\) ，最大频偏 \(\Delta f_{1}=25\mathrm{Hz}\) ；混频器参考频率 \(f_{2}=10.9\mathrm{MHz}\) ，选择倍频次数 \(n_{1}=64, n_{2}=48\) 。

【解】（1）NBFM 信号的调频指数为

\[ m _ {1} = \frac {\Delta f _ {1}}{f _ {m}} = \frac {2 5}{1 5 \times 1 0 ^ {3}} = 1. 6 7 \times 1 0 ^ {- 3} \]

5.3

非线性调制（角度调制）原理

(2) 由式 \((5.3-34)\) 可求出调频发射信号的载频为

\[ f _ {c} = n _ {2} \left(n _ {1} f _ {1} - f _ {2}\right) = 4 8 \times (6 4 \times 2 0 0 \times 1 0 ^ {3} - 1 0. 9 \times 1 0 ^ {6}) = 9 1. 2 (\mathrm{MHz}) \]

最大频偏为

\[ \Delta f = n _ {1} n _ {2} \Delta f _ {1} = 6 4 \times 4 8 \times 2 5 = 7 6. 8 (\mathrm{kHz}) \]

调频指数为

\[ m _ {f} = \frac {\Delta f}{f _ {m}} = \frac {7 6 . 8 \times 1 0 ^ {3}}{1 5 \times 1 0 ^ {3}} = 5. 1 2 \]

图 5-27 所示的 WBFM 信号产生方案是由阿姆斯特朗于 1930 年提出的，因此称为阿姆斯特朗法。这个方法提出后，使调频技术得到很大发展。

间接法的优点是频率稳定度好。缺点是需要多次倍频和混频，因此电路较复杂。

2. 调频信号的解调

调频信号的解调也分为相干解调和非相干解调。相干解调仅适用于 NBFM 信号，而非相干解调对 NBFM 信号和 WBFM 信号均适用。

1）非相干解调

调频信号的一般表达式为

\[ s _ {\mathrm{FM}} (t) = A \cos \left[ \omega_ {c} t + K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \right] \tag {5.3-35} \]

解调器的输出应为

\[ m _ {o} (t) \propto K _ {f} m (t) \tag {5.3-36} \]

这就是说，调频信号的解调是要产生一个与输入调频信号的频率呈线性关系的输出电压。完成这种频率 — 电压转换关系的器件是频率检波器，简称鉴频器。

鉴频器有多种，图 5-28 描述了一种用振幅鉴频器进行非相干解调的特性与原理框图。图中，微分器和包络检波器构成了具有近似理想鉴频特性的鉴频器。微分器的作用是把幅度恒定的调频波 \(s_{\mathrm{FM}}(t)\) 变成幅度和频率都随调制信号 \(m(t)\) 变化的调幅调频波 \(s_{\mathrm{d}}(t)\) , 即

\[ s _ {\mathrm{d}} (t) = - A \left[ \omega_ {\mathrm{c}} + K _ {f} m (t) \right] \sin \left[ \omega_ {\mathrm{c}} t + K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \right] \tag {5.3-37} \]

・包络检波器则将其幅度变化检出并滤去直流，再经低通滤波后即得解调输出

\[ m _ {\mathrm{o}} (t) = K _ {\mathrm{d}} K _ {f} m (t) \tag {5.3-38} \]

式中： \(K_{d}\) 为鉴频器灵敏度 (V/(rad/s))。

图 5-28 中，限幅器的作用是消除信道中噪声和其他原因引起的调频波的幅度起伏，带通滤波器 (BPF) 是让调频信号顺利通过，同时滤除带外噪声及高次谐波分量。

鉴频器的种类很多，除了上述的振幅鉴频器之外，还有相位鉴频器、比例鉴频器、正交鉴频器、斜率鉴频器、频率负反馈解调器、锁相环 (PLL) 鉴频器等。这些电路和原理在高频电子线路课程中都有详细的讨论，这里不再赘述。

第 5 章 模拟调制系统

2）相干解调

由于 NBFM 信号可分解成同相分量与正交分量之和，因而可以采用线性调制中的相干解调法来进行解调，如图 5-29 所示。

根据式 \((5.3-13)\) ，设窄带调频信号

\[ s _ {\mathrm{NBFM}} (t) = A \cos \omega_ {c} t - A \left[ K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \right] \cdot \sin \omega_ {c} t \tag {5.3-39} \]

并设相干载波

\[ c (t) = - \sin \omega_ {v} t \tag {5.3-40} \]

则相乘器的输出为

\[ s _ {\mathrm{p}} (t) = - \frac {A}{2} \sin 2 \omega_ {\mathrm{c}} t + \frac {A}{2} \left[ K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \right] \cdot (1 - \cos 2 \omega_ {\mathrm{c}} t) \]

经低通滤波器取出其低频分量

\[ s _ {i l} (t) = \frac {A}{2} K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \]

再经微分器，即得解调输出

\[ m _ {_ {0}} (t) = \frac {A K _ {_ {f}}}{2} m (t) \tag {5.3-41} \]

可见，相干解调可以恢复原调制信号。这种解调方法与线性调制中的相干解调一样，要求本地载波与调制载波同步，否则将使解调信号失真。

5.3

非线性调制 (角度调制) 原理

The quick brown fox jumps over the lazy dog.

5.4 调频系统的抗噪声性能

如前所述，调频信号的解调有相干解调和非相干解调两种。相干解调仅适用于窄带调频信号，且需同步信号，故应用范围受限；而非相干解调不需同步信号，且对于 NBFM 信号和 WBFM 信号均适用，因此是 FM 系统的主要解调方式。下面我们将重点讨论 FM 非相干解调时的抗噪声性能，其分析模型如图 5-30 所示。图中， \(n(t)\) 是均值为零，单边功率谱密度为 \(n_{0}\) 的高斯白噪声；BPF 的作用是抑制调频信号带宽 \(B_{FM}\) 以外的噪声，其输出噪声 \(n_{i}(t)\) 为窄带高斯噪声；限幅器的作用是消除信道中噪声和其他原因引起的调频波的幅度起伏。

FM 非相干解调时的抗噪声性能分析方法，也和线性调制系统的一样，先分别计算解调器的输入信噪比和输出信噪比，最后通过信噪比增益来反映系统的抗噪声性能。

5.4.1 输入信噪比

我们先来计算解调器的输入信噪比。设输入调频信号为

\[ s _ {\mathrm{FM}} (t) = A \cos \left[ \omega_ {c} t + K _ {f} \int m (\tau) \mathrm{d} \tau \right] \]

故其输入信号功率为

\[ S _ {i} = \frac {A ^ {2}}{2} \tag {5.4-1} \]

输入噪声功率为

\[ N _ {\mathrm{i}} = n _ {0} B _ {\mathrm{FM}} \tag {5.4-2} \]

式中： \(B_{FM}\) 为调频信号的带宽，即带通滤波器 (BPF) 的带宽。

因此，输入信噪比为

\[ \frac {S _ {\mathrm{i}}}{N _ {\mathrm{i}}} = \frac {A ^ {2}}{2 n _ {0} B _ {\mathrm{FM}}} \tag {5.4-3} \]

在计算输出信噪比时，由于鉴频器的非线性作用，使得无法分别分析信号与噪声的输出。因此，也和 AM 信号的非相干解调一样，考虑两种极端情况，即大信噪比情况和小信噪比情况。

5.4.2 大信噪比时的解调增益

在输入信噪比足够大的条件下，信号和噪声的相互作用可以忽略，这时可以把信号和

第 5 章 模拟调制系统

噪声分开来计算。

设输入噪声为 0 时，由式 (5.3-38) 可知，解调输出信号为

\[ m _ {\mathrm{o}} (t) = K _ {\mathrm{d}} K _ {f} m (t) \]

故输出信号平均功率为

\[ S _ {\mathrm{o}} = \overline {{m _ {\mathrm{o}} ^ {2} (t)}} = (K _ {\mathrm{d}} K _ {f}) ^ {2} \overline {{m ^ {2} (t)}} \tag {5.4-4} \]

式中： \(K_{d}\) 为鉴频器灵敏度。

现在来计算解调器输出端噪声的平均功率。假设调制信号 \(m(t)=0\) ，则加到解调器输入端的是未调载波与窄带高斯噪声之和，即

\[ \begin{array}{l} A \cos \omega_ {c} t + n _ {i} (t) = A \cos \omega_ {c} t + n _ {c} (t) \cos \omega_ {c} t - n _ {s} (t) \sin \omega_ {c} t \\ = \left[ A + n _ {\mathrm{c}} (t) \right] \cos \omega_ {\mathrm{c}} t - n _ {\mathrm{s}} (t) \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \\ = A (t) \cos [ \omega_ {c} t + \psi (t) ] \tag {5.4-5} \\ \end{array} \]

式中：包络为

\[ A (t) = \sqrt {\left[ A + n _ {c} (t) \right] ^ {2} + n _ {s} ^ {2} (t)} \tag {5.4-6} \]

相位偏移

\[ \psi (t) = \arctan \frac {n _ {\mathrm{s}} (t)}{A + n _ {\mathrm{c}} (t)} \tag {5.4-7} \]

在大信噪比时，即 \(A \gg n_{c}(t)\) 和 \(A \gg n_{s}(t)\) ，相位偏移 \(\psi(t)\) 可近似为

\[ \psi (t) = \arctan {\frac {n _ {\mathrm{s}} (t)}{A + n _ {\mathrm{c}} (t)}} \approx \arctan {\frac {n _ {\mathrm{s}} (t)}{A}} \tag {5.4-8} \]

当 \(x \ll 1\) 时，有 \(\arctan x \approx x\) , 故

\[ \psi (t) \approx \frac {n _ {\mathrm{s}} (t)}{A} \tag {5.4-9} \]

由于鉴频器的输出正比于输入的频率偏移，故鉴频器的输出噪声 (在假设调制信号为 0 时，解调结果只有噪声) 为

\[ n _ {\mathrm{d}} (t) = K _ {\mathrm{d}} \frac {\mathrm{d} \psi (t)}{\mathrm{d} t} = \frac {K _ {\mathrm{d}}}{A} \frac {\mathrm{d} n _ {\mathrm{s}} (t)}{\mathrm{d} t} \tag {5.4-10} \]

式中： \(n_{s}(t)\) 为窄带高斯噪声 \(n_{i}(t)\) 的正交分量。

由式 (5.2-3) 可知，\(n_{s}(t)\) 的平均功率在数值上与 \(n_{i}(t)\) 的功率相同，即有

\[ \overline {{n _ {\mathrm{s}} ^ {2} (t)}} = \overline {{n _ {\mathrm{i}} ^ {2} (t)}} = N _ {\mathrm{i}} = n _ {0} B _ {\mathrm{FM}} \]

但应注意， \(n_{i}(t)\) 是带宽为 \(B_{FM}\) 的带通型噪声（中心频率为 \(f_{c}\) ），其单边功率谱密度为 \(n_{0}\) ：而 \(n_{s}(t)\) 是 \(n_{s}(t)\sin\omega_{c}t\) 的包络，所以 \(n_{s}(t)\) 可以看作是带宽为 \(B_{FM}/2\) 的低通型噪声，其双边功率谱密度 \(P_{s}(f)\) 在 \(|f|\leqslant B_{FM}/2\) 范围内为 \(n_{0}\) ，如图 5-31 (a) 所示。

由于 \(\frac{\mathrm{d}n_{\mathrm{s}}(t)}{\mathrm{d}t}\) 实际上是 \(n_{\mathrm{s}}(t)\) 通过理想微分电路的输出，故其功率谱密度应等于 \(n_{\mathrm{s}}(t)\) 的功率谱密度乘以理想微分电路的功率传输函数。理想微分电路的功率传输函数为

5.4 调频系统的抗噪声性能

\[ \mid H (f) \mid^ {2} = \mid j 2 \pi f \mid^ {2} = (2 \pi) ^ {2} f ^ {2} \tag {5.4-11} \]

故由式 (5.4-10) 可知，鉴频器输出噪声 \(n_{\mathrm{d}}(t)\) 的双边功率谱密度为

\[ P _ {\mathrm{d}} (f) = \left(\frac {K _ {\mathrm{d}}}{A}\right) ^ {2} | H (f) | ^ {2} P _ {\mathrm{s}} (f) = \left(\frac {K _ {\mathrm{d}}}{A}\right) ^ {2} (2 \pi) ^ {2} f ^ {2} n _ {0} = \frac {4 \pi^ {2} K _ {\mathrm{d}} ^ {2} n _ {0}}{A ^ {2}} f ^ {2} | f | < \frac {B _ {\mathrm{FM}}}{2} \tag {5.4-12} \]

如图 5-31 (b) 所示。

由图 5-31 可见，鉴频器输出噪声 \(n_d(t)\) 的功率谱密度已不再是均匀分布，而是与 \(f^2\) 成正比。该噪声再经过低通滤波器的滤波，滤除调制信号带宽 \(f_m \left( f_m < \frac{1}{2} B_{\mathrm{FM}} \right)\) 以外的频率分量，故最终解调器输出 (LPF 输出) 的噪声功率 (图中阴影部分) 为

\[ N _ {i} = \int_ {- f _ {m}} ^ {f _ {m}} P _ {\mathrm{d}} (f) \mathrm{d} f = \int_ {- f _ {m}} ^ {f _ {m}} \frac {4 \pi^ {2} K _ {d} ^ {2} n _ {0}}{A ^ {2}} f ^ {2} \mathrm{d} f = \frac {8 \pi^ {2} K _ {\mathrm{d}} ^ {2} n _ {0} f _ {m} ^ {3}}{3 A ^ {2}} \tag {5.4-13} \]

由式 \((5.4-4)\) 和式 \((5.4-13)\) 可得 FM 非相干解调器输出端的输出信噪比为

\[ \frac {S _ {\mathrm{o}}}{N _ {\mathrm{o}}} = \frac {3 A ^ {2} K _ {f} ^ {2} \overline {{m ^ {2} (t)}}}{8 \pi^ {2} n _ {0} f _ {m} ^ {3}} \tag {5.4-14} \]

为使式 (5.4-14) 具有简明的结果，我们考虑 \(m(t)\) 为单一频率余弦波时的情况，即

\[ m (t) = \cos \omega_ {m} t \]

这时的调频信号为

\[ s _ {\mathrm{FM}} (t) = A \cos [ \omega_ {c} t + m _ {f} \sin \omega_ {m} t ] \tag {5.4-15} \]

其中 \(m_{f}=\frac{K_{f}}{\omega_{m}}=\frac{\Delta\omega}{\omega_{m}}=\frac{\Delta f}{f_{m}}\) (5.4-16)

将以上这些关系式代入式 \((5.4-14)\) ，可得

\[ \frac {S _ {\mathrm{o}}}{N _ {\mathrm{o}}} = \frac {3}{2} m _ {f} ^ {2} \frac {A ^ {2} / 2}{n _ {0} f _ {m}} \tag {5.4-17} \]

因此，由式 \((5.4-3)\) 和式 \((5.4-17)\) 可得解调器的制度增益为

\[ G _ {\mathrm{FM}} = \frac {S _ {\mathrm{o}} / N _ {\mathrm{o}}}{S _ {\mathrm{i}} / N _ {\mathrm{i}}} = \frac {3}{2} m _ {f} ^ {2} \frac {B _ {\mathrm{FM}}}{f _ {m}} \tag {5.4-18} \]

考虑在宽带调频时，信号带宽为

第 5 章 模拟调制系统

\[ B _ {\mathrm{FM}} = 2 (m _ {f} + 1) f _ {m} = 2 (\Delta f + f _ {m}) \]

所以，式 \((5.4-18)\) 还可以写成

\[ G _ {\mathrm{FM}} = 3 m _ {f} ^ {2} (m _ {f} + 1) \tag {5.4-19} \]

当 \(m_{f}\gg1\) 时，有近似式

\[ G _ {\mathrm{FM}} \approx 3 m _ {f} ^ {3} \tag {5.4-20} \]

式 (5.4-20) 表明，在大信噪比情况下，宽带调频系统的制度增益是很高的，即抗噪声性能好。例如，调频广播中常取 \(m_{f}=5\) ，则制度增益 \(G_{FM}=450\) 。也就是说，加大调制指数 \(m_{f}\) ，可使调频系统的抗噪声性能迅速改善。

为了更好地说明在大信噪比情况下，宽带调频系统具有高的抗噪声性能这一特点，我们将调频系统与调幅系统作一比较。

在大信噪比情况下，AM 信号包络检波器的输出信噪比为

\[ \frac {S _ {\mathrm{o}}}{N _ {\mathrm{o}}} = \overline {{\frac {m ^ {2} (t)}{n _ {0} B}}} \]

若设 AM 信号为 100% 调制，且 \(m(t)\) 为单频余弦波信号，则 \(m(t)\) 的平均功率为

\[ \overline {{m ^ {2} (t)}} = \frac {A ^ {2}}{2} \]

因而

\[ \frac {S _ {\mathrm{o}}}{N _ {\mathrm{o}}} = \frac {A ^ {2} / 2}{n _ {0} B} \tag {5.4-21} \]

式中：B 为 AM 信号的带宽，它是基带信号带宽的 2 倍，即 \(B = 2f_{m}\) ，故有

\[ \frac {S _ {\mathrm{o}}}{N _ {\mathrm{o}}} = \frac {A ^ {2} / 2}{2 n _ {0} f _ {m}} \tag {5.4-22} \]

将式 \((5.4-22)\) 与式 \((5.4-17)\) 相比，可得

\[ \frac {(S _ {\mathrm{o}} / N _ {\mathrm{o}}) _ {\mathrm{FM}}}{(S _ {\mathrm{o}} / N _ {\mathrm{o}}) _ {\mathrm{AM}}} = 3 m _ {f} ^ {2} \tag {5.4-23} \]

由式 (5.4-23) 可见，在大信噪比情况下，若系统接收端的输入 \(A\) 和 \(n_0\) 相同，则宽带调频系统解调器的输出信噪比是调幅系统的 \(3m_f^2\) 倍。例如， \(m_f = 5\) 时，宽带调频的 \(S_{\mathrm{o}} / N_{\mathrm{o}}\) 是调幅时的 75 倍。这一结果是很可观的。但应注意，调频系统的这一优越性是以增加其传输带宽来换取的。因为，对于 AM 信号而言，传输带宽是 \(2f_{m}\) ，而对 WBFM 信号而言，相应于 \(m_f = 5\) 时的传输带宽为 \(12f_{m}\) 。后者是前者的 6 倍。

WBFM 信号的传输带宽 \(B_{FM}\) 与 AM 信号的传输带宽 \(B_{AM}\) 之间的一般关系为

\[ B _ {\mathrm{FM}} = 2 (m _ {f} + 1) f _ {m} = (m _ {f} + 1) B _ {\mathrm{AM}} \tag {5.4-24} \]

当 \(m_{f} \gg 1\) 时，式 (5.4-24) 可近似为

\[ B _ {\mathrm{FM}} \approx m _ {f} B _ {\mathrm{AM}} \]

故有

5.4 调频系统的抗噪声性能

\[ m _ {f} \approx \frac {B _ {\mathrm{FM}}}{B _ {\mathrm{AM}}} \]

在上述条件下，式 \((5.4-23)\) 变为

\[ \frac {(S _ {\mathrm{o}} / N _ {\mathrm{o}}) _ {\mathrm{FM}}}{(S _ {\mathrm{o}} / N _ {\mathrm{o}}) _ {\mathrm{AM}}} = 3 \left(\frac {B _ {\mathrm{FM}}}{B _ {\mathrm{AM}}}\right) ^ {2} \tag {5.4-25} \]

可见，宽带调频输出信噪比相对于调幅的改善与它们带宽比的平方成正比。这就意味着，对于调频系统来说，增加传输带宽就可以改善抗噪声性能。调频方式的这种以带宽换取信噪比的特性是十分有益的。在调幅制中，由于信号带宽是固定的，无法进行带宽与信噪比的互换，这也正是在抗噪声性能方面调频系统优于调幅系统的重要原因。由此我们得到如下结论：在大信噪比情况下，调频系统的抗噪声性能将比调幅系统优越，且其优越程度将随传输带宽的增加而提高。

但是，FM 系统以带宽换取输出信噪比改善并不是无止境的。随着传输带宽的增加（相当 \(m_{f}\) 加大），输入噪声功率增大，在输入信号功率不变的条件下，输入信噪比下降，当输入信噪比降到一定程度时就会出现门限效应，输出信噪比将急剧恶化。

5.4.3 小信噪比时的门限效应

以上分析结果都是在输入信噪比 \((S_{i}/N_{i})_{\mathrm{FM}}\) 足够大的条件下得到的。当 \(S_{i}/N_{i}\) 低于一定数值时，解调器的输出信噪比 \(S_{o}/N_{o}\) 急剧恶化，这种现象称为调频信号解调的门限效应。出现门限效应时所对应的输入信噪比值称为门限值，记为 \((S_{i}/N_{i})_{b}\) 。

图 5-32 画出了单音调制时在不同调制指数 \(m_{f}\) 下，调频解调器的输出信噪比与输入信噪比的关系曲线。由图 5-32 可得如下结论：

门限效应是 FM 系统存在的一个实际问题。尤其在采用调频制的远距离通信和卫星通信等领域中，对调频接收机的门限效应十分关注，希望门限点向低输入信噪比方向扩展。

降低门限值 (也称门限扩展) 的方法有很多，例如，可以采用锁相环解调器和负反馈解调器，它们的门限比一般鉴频器的门限电平低 6dB\~10dB。

另外，还可以采用预加重 (preemphasis) 和去加重 (deemphasis) 技术来进一步改善调

第 5 章 模拟调制系统

频解调器的输出信噪比。实际上，这也相当于改善了门限值。

5.4.4 预加重和去加重

如前所述，鉴频器输出噪声功率谱随 f 呈抛物线形状增大。但在调频广播中所传送的语音和音乐信号的能量却主要分布在低频端，且其功率谱密度随频率的增高而下降。因此，在调制频率高频端的信号谱密度最小，而噪声谱密度却是最大，致使高频端的输出信噪比明显下降，这对解调信号质量会带来很大的影响。

为了进一步改善调频解调器的输出信噪比，针对鉴频器输出噪声谱呈抛物线形状这一特点，在调频系统中广泛采用了加重技术，包括预加重和去加重措施。预加重和去加重的设计思想是保持输出信号不变，有效降低输出噪声，以达到提高输出信噪比的目的。

所谓 “去加重” 就是在解调器输出端接一个传输特性随频率增加而滚降的线性网络 \(H_{\mathrm{d}}(f)\) ，其目的是将调制频率高频端的噪声衰减，使总的噪声功率减小。但是，由于去加重网络的加入，在有效地减弱输出噪声的同时，必将使传输信号产生频率失真。因此，必须在调制器前加入一个预加重网络 \(H_{\mathrm{p}}(f)\) ，其目的是人为地提升调制信号的高频分量，以抵消去加重网络 \(H_{\mathrm{d}}(f)\) 的影响。显然，为了使传输信号不失真，应该有

\[ H _ {\mathrm{p}} (f) = \frac {1}{H _ {\mathrm{d}} (f)} \tag {5.4-26} \]

这是保证输出信号不变的必要条件。图 5-33 示出了预加重和去加重网络在调频系统中所处的位置。

由此可见，预加重网络是在信道噪声介入之前加入的，它对噪声没有影响（并未提升噪声），而输出端的去加重网络将输出噪声降低，因此有效地提高了调制信号高频端的输出信噪比，进一步改善了调频系统的噪声性能。

由于采用预加重 / 去加重系统的输出信号功率与没有采用预加重 / 去加重系统的功率相同，所以调频解调器的输出信噪比的改善程度可用加重前的输出噪声功率与加重后的输出噪声功率的比值确定，即

\[ \gamma = \frac {\int_ {- f _ {m}} ^ {f _ {m}} P _ {\mathrm{d}} (f) \mathrm{d} f}{\int_ {- f _ {m}} ^ {f _ {m}} P _ {\mathrm{d}} (f) | H _ {\mathrm{d}} (f) | ^ {2} \mathrm{d} f} \tag {5.4-27} \]

式 (5.4-27) 进一步说明，输出信噪比的改善程度取决于去加重网络 \(H_{\mathrm{d}}(f)\) 的特性。图 5-34 给出了一种实际中常采用的预加重和去加重电路，它在保持信号传输带宽不变的条件下，可使输出信噪比提高 6dB 左右。

加重技术不仅在调频系统中得到了实际应用，也常用在音频传输和录音系统中。例如，录音和放音设备中广泛应用的杜比 (Dolby) 降噪声系统就采用了加重技术。

5.4

调频系统的抗噪声性能

5.5 各种模拟调制系统的比较

为了便于在实际中合理地选用以上各种模拟调制系统，表 5-1 归纳列出了各种系统的传输带宽、输出信噪比 \(S_{0}/N_{0}\) 、设备复杂程度和主要应用。表中的 \(S_{0}/N_{0}\) 一栏是在 “同等条件” 下，由式 (5.2-38)、式 (5.2-18)、式 (5.2-26) 及式 (5.4-17) 计算的结果。

表 5-1 各种模拟调制系统的比较

调制方式	传输带宽	$S_o/N_o$	设备复杂程度	主要应用
AM	$2f_m$	$\left(\frac{S_n}{N_n}\right)_{\text{AM}} = \frac{1}{3} \left(\frac{S_i}{n_0 f_m}\right)$	简单	中短波无线电广播
DSB	$2f_m$	$\left(\frac{S_n}{N_n}\right)_{\text{DSB}} = \left(\frac{S_i}{n_0 f_m}\right)$	中等	应用较少
SSB	$f_m$	$\left(\frac{S_n}{N_n}\right)_{\text{SSB}} = \left(\frac{S_i}{n_0 f_m}\right)$	复杂	短波无线电广播、语音频分复用、载波通信、数据传输
VSB	略大于 $f_m$	近似SSB	复杂	电视广播、数据传输
FM	$2(m_f + 1)f_m$	$\left(\frac{S_n}{N_n}\right)_{\text{FM}} = \frac{3}{2} m_f^2 \left(\frac{S_i}{n_0 f_m}\right)$	中等	超短波小功率电台(窄带FM);调频立体声广播等高质量通信(宽带FM)

这里的 “同等条件” 是指：假设所有系统在接收机输入端具有相等的输入信号功率 \(S_{i}\) ，且加性噪声都是均值为 0、双边功率谱密度为 \(n_{0}/2\) 的高斯白噪声，基带信号 \(m(t)\) 的带宽均为 \(f_{m}\) ，并在所有系统中都满足

第 5 章 模拟调制系统

\[ \left\{ \begin{array}{l} \overline {{m (t)}} = 0 \\ \overline {{m ^ {2} (t)}} = \frac {1}{2} \\ | m (t) | _ {\max} = 1 \end{array} \right. \tag {5.5-1} \]

例如， \(m(t)\) 为正弦型信号；同时，所有的调制与解调系统都具有理想的特性。其中 AM 的调幅度为 100%。

1. 抗噪声性能

WBFM 抗噪声性能最好，DSB、SSB、VSB 抗噪声性能次之，AM 抗噪声性能最差。图 5-35 画出了各种模拟调制系统的性能曲线，图中的圆点表示门限点。门限点以下，曲线迅速下跌；门限点以上，DSB、SSB 的信噪比比 AM 高 4.7dB 以上，而 FM (\(m_{f}=6\)) 的信噪比比 AM 高 22dB。由此可见：当输入信噪比较高时，FM 的调频指数 \(m_{f}\) 越大，抗噪声性能越好。

2. 频带利用率

SSB 的带宽最窄，其频带利用率最高；FM 占用的带宽随调频指数 \(m_{f}\) 的增大而增大，其频带利用率最低。可以说，FM 是以牺牲有效性来换取可靠性的。因此，\(m_{f}\) 值的选择要从通信质量和带宽限制两方面考虑。对于高质量通信（高保真音乐广播，电视伴音、双向式固定或移动通信、卫星通信和蜂窝电话系统）采用 WBFM, \(m_{f}\) 值选大些。对于一般通信，要考虑接收微弱信号，带宽窄些，噪声影响小，常选用 \(m_{f}\) 较小的调频方式。

3. 特点与应用

5.5 各种模拟调制系统的比较

频带利用率低，存在门限效应，因此在接收信号弱、干扰大的情况下宜采用窄带 FM, 这就是小型通信机常采用窄带调频的原因。

5.6 频分复用

当一条物理信道的传输能力高于一路信号的需求时，该信道就可以被多路信号共享，例如电话系统的干线通常有数千路信号在一根光纤中传输。复用就是解决如何利用一条信道同时传输多路信号的技术。其目的是为了充分利用信道的频带或时间资源，提高信道的利用率。

信号多路复用有两种常用的方法：频分复用 (FDM) 和时分复用 (TDM)。时分复用通常用于数字信号的多路传输，将在第 9 章中阐述。频分复用主要用于模拟信号的多路传输，也可用于数字信号。本节将要讨论的是 FDM 的原理及其应用。

频分复用是一种按频率来划分信道的复用方式。在 FDM 中，信道的带宽被分成多个相互不重叠的频段 (子通道), 每路信号占据其中一个子通道，并且各路之间必须留有未被使用的频带 (防护频带) 进行分隔，以防止信号重叠。在接收端，采用适当的带通滤波器将多路信号分开，从而恢复出所需要的信号。

图 5-36 示出了频分复用系统的原理框图。在发送端，首先使各路基带语音信号通过低通滤波器（LPF），以便限制各路信号的最高频率。然后，将各路信号调制到不同的载波频率上，使得各路信号搬移到各自的频段范围内，合成后送入信道传输。在接收端，采用一系列不同中心频率的带通滤波器分离出各路已调信号，它们被解调后即恢复出各路相应的基带信号。

为了防止相邻信号之间产生相互干扰，应合理选择载波频率 \(f_{c1},f_{c2},\cdots,f_{cn}\) , 以使各路已调信号频谱之间留有一定的防护频带。

FDM 最典型的一个例子是在一条物理线路上传输多路语音信号的多路载波电话系统。该系统一般采用单边带调制频分复用，旨在最大限度地节省传输频带，并且使用层次结构：由 12 路电话复用为一个基群（Basic Group）；5 个基群复用为一个超群（Super Group），共 60 路电话；由 10 个超群复用为一个主群（Master Group），共 600 路电话。如果需要传输更多路电话，可以将多个主群进行复用，组成巨群（Jumbo Group）。每路电话信号的频带限制为 300Hz \~ 3400Hz，为了在各路已调信号间留有防护频带，每路电话信号取

第 5 章 模拟调制系统

4000Hz 作为标准带宽。

作为示例，图 5-37 给出了多路载波电话系统的基群频谱结构示意图。该电话基群由 12 个 LSB (下边带) 组成，占用 60kHz\~108kHz 的频率范围，其中每路电话信号取 4kHz 作为标准带宽。复用中所有的载波都由一个振荡器合成，起始频率为 64kHz, 间隔为 4kHz。因此，可以计算出各载波频率为

\[ f _ {c n} = 6 4 + 4 (1 2 - n) \quad (\mathrm{kHz}) \]

式中： \(f_{n}\) 为第 n 路信号的载波频率， \(n=1\sim12\) 。

FDM 技术主要用于模拟信号，普遍应用在多路载波电话系统中。其主要优点是信道利用率高，技术成熟；缺点是设备复杂，滤波器难以制作，并且在复用和传输过程中，调制、解调等过程会不同程度地引入非线性失真，而产生各路信号的相互干扰。

5.7 小结

调制在通信系统中的作用至关重要，它的主要作用和目的：将基带信号 (调制信号) 变换成适合在信道中传输的已调信号；实现信道的多路复用；改善系统抗噪声性能。

调制，是指按调制信号的变化规律去控制载波的某个参数的过程。根据正弦载波受调参数的不同，模拟调制分为：幅度调制和角度调制。

幅度调制，是指载波的振幅按照基带信号振幅瞬时值的变化规律而变化的调制方式。它是一种线性调制，其 “线性” 的含义：已调信号频谱仅是基带信号频谱的平移。

幅度调制包括：调幅 (AM)、双边带 (DSB)、单边带 (SSB) 和残留边带 (VSB) 调制。AM 信号的包络与调制信号 \(m(t)\) 的形状完全一样，因此可采用简单的包络检波器进行解调；DSB 信号抑制了 AM 信号中的载波分量，因此调制效率是 100%; SSB 信号只传输 DSB 信号中的一个边带，所以频谱最窄、效率最高；VSB 不像 SSB 中那样完全抑制 DSB 信号中的一个边带，而是使其残留一小部分，因此它既克服了 DSB 信号占用频带宽的缺点，又解决了 SSB 信号实现中的困难。

线性调制的通用模型有：滤波法和相移法。它们适用于所有线性调制，只要在模型中适当选择边带滤波器的特性，便可以得到各种幅度调制信号。

解调是调制的逆过程，其作用是将已调信号中的基带调制信号恢复出来。解调方法分为：相干解调和非相干解调。

相干解调适用于所有线性调制信号的解调。实现相干解调的关键是接收端要恢复出一个与调制载波严格同步的相干载波。恢复载波性能的好坏，直接关系到接收机解调性能的优劣。

包络检波是直接从已调波的幅度中恢复原调制信号。它属于非相干解调，因此不需要相干载波。AM 信号一般都采用包络检波。

5.7 小结

角度调制，是指载波的频率或相位按照基带信号的规律而变化的一种调制方式。它是一种非线性调制，已调信号的频谱不再保持原来基带频谱的结构。

角度调制包括调频 (FM) 和调相 (PM)。FM 信号的瞬时频偏与调制信号 \(m(t)\) 成正比；PM 信号的瞬时相偏与 \(m(t)\) 成正比。FM 与 PM 之间是密切相关的。

角度调制的频谱与调制信号的频谱是非线性变换关系，因此信号带宽随调频指数 \(m_{f}\) 增加而增加。调频波的有效带宽一般可由卡森 (Carson) 公式

\[ R _ {\mathrm{FM}} = 2 (m _ {f} + 1) f _ {m} = 2 (\Delta f + f _ {m}) \]

来计算。当 \(m_{f} \ll 1\) 时（NBFM）， \(B_{\mathrm{FM}} \approx 2f_{m}\) ；当 \(m_{f} \gg 1\) 时（WBFM）， \(B_{\mathrm{FM}} \approx 2\Delta f\) 。NBFM 信号的带宽约为调制信号带宽的两倍（与 AM 信号相同）。

与幅度调制技术相比，角度调制最突出的优势是其较高的抗噪声性能。这种优势的代价是占用比调幅信号更宽的带宽。

在大信噪比情况下，单音调制时，宽带调频系统的制度增益为

\[ G _ {\mathrm{FM}} = 3 m _ {f} ^ {2} (m _ {f} + 1) \]

加大调制指数 \(m_{f}\) ，可使调频系统的抗噪声性能迅速改善，但传输带宽也随之增加。因此， \(m_{f}\) 值的选择要从通信质量和带宽限制两方面考虑。

FM 信号的平均功率等于未调载波的平均功率。即调制后总的功率不变，调制的过程只是进行功率的重新分配，而分配的原则与调频指数 \(m_{f}\) 有关。

加重技术是 FM 系统以及录音和放音设备中实际采用的技术，目的是提高调制频率高频端的输出信噪比。

FM 信号的非相干解调和 AM 信号的非相干解调 (包络检波) 一样，都存在 “门限效应”。当输入信噪比低于门限值时，解调器的输出信噪比将急剧恶化。因此，解调器应工作在门限值以上。门限效应是因非相干解调的非线性作用引起的。相干解调不存在门限效应。

多路复用是指在一条信道中同时传输多路信号。常见的复用方式有：频分复用（FDM）、时分复用（TDM）和码分复用（CDM）等。FDM 是一种按频率来划分信道的复用方式；FDM 的特征是各路信号在频域上是分开的，而在时间上是重叠的。

思考题

5-1 何谓调制？调制在通信系统中的作用是什么？

5-2 什么是线性调制？常见的线性调制方式有哪些？

5-3 AM 信号的波形和频谱有哪些特点？

5-4 与未调载波的功率相比，AM 信号在调制过程中功率增加了多少？

5-5 为什么要抑制载波？相对 AM 信号来说，抑制载波的双边带信号可以增加多少功效？

5-6 SSB 信号的产生方法有哪些？各有何技术难点？

5-7 VSB 滤波器的传输特性应满足什么条件？为什么？

5-8 如何比较两个模拟通信系统的抗噪声性能？

5-9 DSB 和 SSB 调制系统的抗噪声性能是否相同？为什么？

第 5 章 模拟调制系统

5-10 什么是频率调制？什么是相位调制？两者关系如何？

5-11 什么是门限效应？AM 信号采用包络检波时为什么会产生门限效应？

5-12 为什么相干解调不存在门限效应？

5-13 比较调幅系统和调频系统的抗噪声性能。

5-14 为什么调频系统可进行带宽与信噪比的互换，而调幅不能？

5-15 FM 系统的调制制度增益和信号带宽的关系如何？这一关系说明什么问题？

5-16 FM 系统产生门限效应的主要原因是什么？

5-17 FM 系统中采用加重技术的原理和目的是什么？

5-18 什么是频分复用？

习题

5-1 某调制器欲发射 AM 信号，发射天线的负载电阻为 \(50\Omega\) 。已知未调载波的峰值电压 \(A\) 为 100 伏，载频为 \(50\mathrm{kHz}\) , 采用频率为 \(1\mathrm{kHz}\) 的余弦调制信号进行调制，调制度 \(m\) 为 \(60\%\) (注：调幅系数 \(m\) 用百分比表示时，称为调制度)。试确定:

5-2 已知已调信号表示式如下：

(1) \(s_1(t) = \cos \Omega t\cos \omega_c t\) (2) \(s_2(t) = (1 + 0.5\sin \Omega t)\cos \omega_c t\)

式中， \(\omega_{c}=6\Omega\) 。试分别画出它们的波形图和频谱图。

5-3 根据图 P5-1 所示的调制信号波形，试画出 DSB 及 AM 信号的波形图，并比较它们分别通过包络检波器后的波形差别。

5-6 某调制方框图如图 P5-3 (b) 所示。已知 \(m(t)\) 的频谱如图 P5-3 (a) 所示，载频 \(\omega_{1} \ll \omega_{2}, \omega_{1} > \omega_{11}\) ，且理想低通滤波器的截止频率为 \(\omega_{1}\) ，试求输出信号 \(s(t)\) ，并说明 \(s(t)\) 为何种已调信号。

5-7 某调制系统如图 P5-4 所示。为了在输出端同时分别得到 \(f_{1}(t)\) 及 \(f_{2}(t)\) ，试确定接收端的 \(c_{1}(t)\) 和 \(c_{2}(t)\) 。

5-8 设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度 \(P_{n}(f) = 0.5 \times 10^{-8} \mathrm{~W/Hz}\) , 在该信道中传输抑制载波的双边带信号，并设调制信号 \(m(t)\) 的频带限制在 \(5 \mathrm{kHz}\) , 载为 \(100 \mathrm{kHz}\) , 发射信号功率 \(S_{\mathrm{T}}\) 为 \(60 \mathrm{~dB}\) , 信道 (指调制信道) 损耗 \(\alpha\) 为 \(70 \mathrm{~dB}\) 。试确定:

5-9 若将 5-8 题中的双边带信号改为 \(s_{\mathrm{SSB}}(t) = \frac{1}{2} m(t)\cos \omega_c t - \frac{1}{2}\hat{m}(t)\sin \omega_c t\) ，其余假设条件不变，重复 5-8 的问题。

5-10 某调制系统采用 DSB 方式传输消息信号 \(m(t)\) 。设接收机输入端的噪声是均值为零，双边功率谱密度为 \(n_0 / 2\) 的高斯白噪声， \(m(t)\) 的功率谱密度为

\[ P _ {m} (f) = \left\{ \begin{array}{l l} \alpha \cdot \frac {| f |}{f _ {\mathrm{m}}} & | f | \leqslant f _ {\mathrm{m}} \\ 0 & | f | > f _ {\mathrm{m}} \end{array} \right. \]

其中， \(\alpha\) 为常数， \(f_{m}\) 为 \(m(t)\) 的最高频率。试求：

第 5 章 模拟调制系统

5-11 某线性调制系统的输出信噪比 \(20\mathrm{dB}\) , 输出噪声功率为 \(10^{-9}\mathrm{W}\) , 由发射机输出端到解调器输入端之间总的传输损耗为 \(100\mathrm{dB}\) , 试求:

5-12 试证明: AM 信号采用相干解调法进行解调时，其制度增益 G 与式 (5.2-38) 的结果相同。

5-13 设 AM 调制系统中信道噪声的单边功率谱密度为 \(P_n(f) = 10^{-7} \text{W/Hz}\) ，调制信号 \(m(t)\) 的频带限制在 5kHz，载频为 100kHz，解调器输入端信号的边带功率为 1W，载波功率为 4W。若接收机的输入信号先经过一个合适的理想带通滤波器，然后再加至包络检波器进行解调。试求：

5-14 试证明：若在 VSB 信号中加入大的载波，则可采用包络检波器进行解调。

5-15 已知某单频调频波的振幅是 \(10\mathrm{V}\) , 瞬时频率为

\[ f (t) = 1 0 ^ {6} + 1 0 ^ {4} \cos 2 \pi \times 1 0 ^ {3} t (\mathrm{Hz}) \]

试求：

5-16 已知调制信号是 \(8\mathrm{MHz}\) 的单频余弦信号，且设信道噪声单边功率谱密度 \(n_0 = 5\times 10^{-15}\mathrm{W / Hz}\) ，信道损耗 \(\alpha\) 为 \(60\mathrm{dB}\) 。若要求输出信噪比为 \(40\mathrm{dB}\) ，试求：

5-17 设有 60 路模拟语音信号采用频分复用方式传输。已知每路语音信号频率范围为 \(0 \sim 4\mathrm{kHz}\) （含防护频带），先由 12 路电话复用为一个基群，其中第 \(n\) 路载频 \(f_{\mathrm{cn}} = 112 - 4n (n = 1,2,\dots ,12)\) ，采用下边带调制；再由 5 个基群复用（仍采用下边带调制）为一个超群，共 60 路电话，占用频率范围为 \(312 \sim 552\mathrm{kHz}\) 。试求：

参考文献

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