第4章 信道

4.1 无线信道

在无线信道中信号的传输是利用电磁波在空间的传播来实现的。原则上，任何频率的电磁波都可以产生。但是，为了有效地发射或接收电磁波，要求天线的尺寸不小于电磁波波长的 1/10。因此，频率过低，波长过长，则天线难于实现。例如，若电磁波的频率等于 3000Hz，则其波长等于 100km。这时，要求天线的尺寸大于 10km。这样大的天线虽然可以实现，但是并不经济和方便。所以，通常用于通信的电磁波频率都比较高。

除了在外层空间两个飞船的无线电收发信机之间的电磁波传播是在自由空间 (free space) 传播外，在无线电收发信机之间的电磁波传播总是受到地面和大气层的影响。根据通信距离、频率和位置的不同，电磁波的传播主要分为地波（ground wave）、天波 (sky wave)(或称电离层反射波 (ionosphere reflection wave)) 和视线 (line of sight) 传播三种。

频率较低 (约 2MHz 以下) 的电磁波趋于沿弯曲的地球表面传播，有一定的绕射能力。

这种传播方式称为地波传播，在低频和甚低频段，地波能够传播超过数百千米或数千千米 (图 4-1)。

频率较高 (2MHz \~ 30MHz) 的电磁波称为高频 (high frequency) 电磁波，它能够被电离层反射。电离层位于地面上 60km \~400km, 它是因太阳的紫外线 (ultraviolet light) 和宇宙射线 (cosmic ray) 辐射使大气电离的结果。白天的强烈阳光使大气电离产生 D、E、 \(F_{1}\) 、 \(F_{2}\) 层 (layer) 等多个电离层，夜晚 D 层和 \(F_{1}\) 层消失，只剩下 E 层和 \(F_{2}\) 层。D 层最低，在距地面 60km\~80km 的高度。它对于电磁波主要产生吸收或衰减作用，并且衰减随电磁波的频率增高而减小。所以，只有较高频率的电磁波能够穿过 D 层，并由高层电离层向下反射。E 层距地面 100km\~120km。它的电离浓度在白天很大，能够反射电磁波。晚上 D 层消失。F 层的高度为 150km\~400km。它在白天分离为 \(F_{1}\) 和 \(F_{2}\) 两层， \(F_{1}\) 层的高度为 200km， \(F_{2}\) 层的高度为 250km\~400km，晚上合并为一层。反射高频电磁波的主要是 F 层。换句话说，高频信号主要是依靠 F 层作远程通信。根据地球半径和 F 层的高度不难估算出，电磁波经过 F 层的一次反射距离最大可以达到约 4000km。但是，经过反射的电磁波到达地面后可以被地面再次反射，并再次由 F 层反射。这样经过多次反射，电磁波可以传播 10000km 以上 (图 4-2)。利用电离层反射的传播方式称为天波传播。由图 4-2 可见，电离层反射波到达地面的区域可能是不连续的，图中用粗线表示的地面是电磁波可以到达的区域，其中在发射天线附近的地区是地波覆盖的范围，而在电磁波不能到达的其他区域称为寂静区 (silent zone)。

频率高于 30MHz 的电磁波将穿透电离层，不能被反射回来。此外，它沿地面绕射的能力也很小。所以，它只能类似光波那样作视线传播。为了能增大其在地面上的传播距离，最简单的办法就是提升天线的高度从而增大视线距离 (图 4-3)。由地球的半径 r 等于 6370km (若考虑到大气的折射率对于传播的影响，地球的等效半径略有不同), 我们可以计算出天线高度和传播距离的关系。设收发天线的高度相等，均等于 h, 并且 h 是使此两天线间保持视线的最低高度，则由图 4-3 可见下列公式成立:

\[ d ^ {2} + r ^ {2} = (h + r) ^ {2} \tag {4.1-1} \]

或

\[ d = \sqrt {h ^ {2} + 2 r h} \approx \sqrt {2 r h} \tag {4.1-2} \]

第 4 章 信道

设 D 为两天线间的距离，则有

\[ D ^ {2} = (2 d) ^ {2} = 8 r h \]

将 r 的数值代入上式后，得

\[ h = \frac {D ^ {2}}{8 r} \approx \frac {D ^ {2}}{5 0} (\mathrm{m}) \tag {4.1-3} \]

式中：D 为收发天线间距离 (km)。

例如，若要求视线传输距离 D=50km, 则收发天线的架设高度 h=50m。由于视距传输的距离有限，为了达到远距离通信的目的，可以采用无线电中继 (radio relay) 的办法。例如，若视距为 50km, 则每间隔 50km 将信号转发一次，如图 4-4 所示。这样经过多次转发，也能实现远程通信。由于视线传输的距离和天线架设高度有

关，天线架设越高，视线传输距离越远；故利用人造卫星作为转发站 (或称基站) 将会大大提高视距。通常将利用人造卫星转发信号的通信称为卫星通信 (satellite communication)。在距地面约 35800km 的赤道平面上人造卫星围绕地球转动的周期和地球自转周期相等，从地面上看卫星好像静止不动。这种卫星通常称为静止 (geostationary) 卫星。利用三颗这样的静止卫星作为转发站就能覆盖全球，保证全球通信 (图 4-5)。不难想象，利用这样遥远的卫星作为转发站虽然能够增大一次转发的距离，但是却增大了对发射功率的要求和增大了信号传输的延迟 (delay) 时间；这不是我们所希望的。此外，发射卫星也是另一项巨大的工程。因此，近几年来，开始了平流层 (stratosphere) 通信的研究。平流层通信是指用位于平流层的高空平台电台 (High Altitude Platform Stations,HAPS) 代替卫星作为基站的通信 \(^{[1]}\) , 平台高度距地面 17km\~22km。可以用充氦飞艇、气球或飞机 \(^{[2]}\) 作为安置转发站的平台。若其高度在 20km, 则可以实现地面覆盖半径约 500km 的通信区。若在平流层安置 250 个充氦飞艇，可以实现覆盖全球 90% 以上人口的地区。平流层通信系统和卫星通信系统相比，费用低廉、延迟时间小、建设快、容量大。它是在研究中的一种通信手段 \(^{[3,4]}\) 。

上述几种电磁波，无论是地波、天波还是视线传播，随着传播距离的增大，电磁波不断扩散，其强度必然逐渐衰弱。这里，我们仅考虑一种最简单的情况，即电磁波在自由空间传播的情况。所谓自

重复覆盖地区；南北极盲区。

4.1 无线信道

由空间是指电磁波的传播没有任何障碍的空间，例如没有吸收、反射、折射、绕射和散射等。当天线架设得很高、天线的方向性很强时，以及在卫星通信和卫星（飞船）间通信中，电磁波的传播就极接近自由空间传播。下面就来讨论在自由空间中电磁波在发射天线和接收天线之间的传播损耗。

若假设天线是全方向性的 (omnidirectional)，即天线均匀地在 \(4\pi\) 球面度 (steradian) 上发射电磁波，即假设天线是理想的各向同性 (isotropic) 天线，则在与发射天线距离为 d 的一个假想球面上 (图 4-6)，接收到的功率密度为

\[ p (d) = \frac {P _ {\mathrm{T}}}{4 \pi d ^ {2}} (\mathrm{W/m} ^ {2}) \tag {4.1-4} \]

式中： \(4\pi d^{2}\) 为此球面的面积； \(P_{T}\) 为发射功率。

这一发射功率在接收天线上产生的接收功率为

\[ P _ {\mathrm{R}} = p (d) A _ {\mathrm{er}} = \frac {P _ {\mathrm{T}} A _ {\mathrm{er}}}{4 \pi d ^ {2}} \tag {4.1-5} \]

式中： \(A_{cr}\) 为接收天线的有效面积。

一个天线的有效面积 \(A_{r}\) 和它的物理面积 \(A_{p}\) 之间的关系为

\[ A _ {\mathrm{e}} = \eta A _ {\mathrm{p}} \tag {4.1-6} \]

式中： \(\eta\) 为天线效率；对于抛物面天线而言，通常 \(\eta\approx0.55\) 。

由于实际发射天线大都不是各向同性的，并且常常设计成在接收方向上具有最大的发射功率密度 \(p_{max}\) ，这时将最大发射功率密度 \(p_{max}\) 与平均功率密度 \(p_{ave}\) 之比定义为发射天线（方向）增益：

\[ G _ {\mathrm{T}} = \frac {p _ {\max}}{p _ {\mathrm{ave}}} \tag {4.1-7} \]

式中： \(p_{max}\) 为方向性天线在最大辐射方向上的发射功率密度； \(p_{ave}\) 为各向同性天线辐射的功率密度。

可以证明，天线增益 G 和天线有效面积 A 之间的关系为

\[ G = \frac {4 \pi A}{\lambda^ {2}} \quad (\text {当} A \gg \lambda^ {2} \text {时}) \tag {4.1-8} \]

式中： \(\lambda\) 为电磁波的波长 (m)。

现在我们可以将发射功率 \(P_{T}\) 和发射天线增益 \(G_{T}\) 的乘积定义为有效全向辐射功率 (EIRP):

\[ \mathrm{EIRP} = P _ {\mathrm{T}} G _ {\mathrm{T}} \tag {4.1-9} \]

在考虑到天线的方向性时，将式 (4.1-9) 中的 EIRP 代替式 (4.1-5) 中的 \(P_{T}\) , 则得到这时接收天线上的接收功率为

\[ P _ {\mathrm{R}} = \mathrm{EIRP} \frac {A _ {\mathrm{er}}}{4 \pi d ^ {2}} = \frac {P _ {\mathrm{T}} G _ {\mathrm{T}} A _ {\mathrm{er}}}{4 \pi d ^ {2}} \tag {4.1-10} \]

若将式 \((4.1-8)\) 代入式 \((4.1-10)\) ，则有

\[ P _ {\mathrm{R}} = \frac {\lambda^ {2} P _ {\mathrm{T}} G _ {\mathrm{T}} G _ {\mathrm{R}}}{1 6 \pi^ {2} d ^ {2}} \tag {4.1-11} \]

第 4 章 信道

在以上功率计算中，忽略了天线馈线的损耗以及馈线不匹配的损耗。

若将发射机输出功率与接收机输入功率之比定义为传播损耗，则由式 (4.1-11) 可以写出传播损耗为

\[ L _ {\mathrm{fr}} = \frac {P _ {\mathrm{T}}}{P _ {\mathrm{R}}} = \frac {1 6 \pi^ {2} d ^ {2}}{\lambda^ {2} G _ {\mathrm{T}} G _ {\mathrm{R}}} \tag {4.1-12} \]

式中： \(L_{fr}\) 为自由空间传播损耗； \(P_{T}\) 为发射机输出功率（W）； \(P_{R}\) 为接收机输入功率（W）；d 为距离（m）； \(\lambda\) 为波长（m）。

【例 4-1】设发射功率 \(P_{T}=10W\) ，发射天线增益 \(G_{T}=100\) ，接收天线增益 \(G_{R}=10\) ，传播距离等于 50km，电磁波频率为 800MHz，试求接收功率和传播损耗。

【解】此时电磁波的波长为

\[ \lambda = \frac {3 0 0}{8 0 0} = 0. 3 7 5 \mathrm{m} \]

由式 \((4.1-11)\) 得出接收功率为

\[ P _ {\mathrm{R}} = \frac {\lambda^ {2} P _ {\mathrm{T}} G _ {\mathrm{T}} G _ {\mathrm{R}}}{1 6 \pi^ {2} d ^ {2}} = \frac {(0 . 3 7 5) ^ {2} \times 1 0 \times 1 0 0 \times 1 0}{1 6 \pi^ {2} \times (5 0 \times 1 0 0 0) ^ {2}} = 3. 5 6 \times 1 0 ^ {- 9} (\mathrm{W}) = 3 5 6 0 (\mathrm{pW}). \]

传播损耗为

\[ L _ {\mathrm{fr}} = \frac {1 6 \pi^ {2} d ^ {2}}{\lambda^ {2} G _ {\mathrm{T}} G _ {\mathrm{R}}} = \frac {1 6 \pi^ {2} \times (5 0 \times 1 0 0 0) ^ {2}}{(0 . 3 7 5) ^ {2} \times 1 0 0 \times 1 0} \approx 2 8 \times 1 0 ^ {8} \approx 9 4. 5 (\mathrm{dB}) \]

电磁波在大气层内传播时会受到大气的影响。大气（主要是其中的氧气和水蒸气）及降水都会吸收和散射（scatter）电磁波，使频率在 1GHz 以上的电磁波的传播衰减（attenuation）显著增加。电磁波的频率越高，传播衰减越严重。在一些特定的频率范围，由于分子谐振（resonance）现象而使衰减出现峰值。图 4-7 (a) 示出了这种衰减特性和频率的关系曲线。由此曲线可见，在频率约 23GHz 处，出现由于水蒸气（vapor）吸收产生的第一个谐振点。在频率约 62GHz 处，出现由于氧气（oxygen）吸收产生的第二个谐振点。氧气吸收的下一个谐振点发生在 120GHz。水蒸气的另外两个吸收频率为 180GHz 和 350GHz。在大气中通信时应该避免使用上述衰减严重的频率。此外，降水对于 10GHz 以上的电磁波也有较大的影响，如图 4-7 (b) 所示 \(^{[5]}\) 。

4.1 无线信道

除了上述三种传播方式外，电磁波还可以经过散射方式传播。散射传播和反射传播不同。无线电波的反射特性类似光波的镜面反射特性。而散射则是由于传播媒体的不均匀性，使电磁波的传播产生向许多方向折射的现象。散射现象具有强的方向性，散射的能量主要集中于前方，故常称其为前向散射（forward scatter）。由于散射信号的能量分散于许多方向，故接收点散射信号的强度比反射信号的强度要小得多。

散射传播分为电离层散射、对流层 (troposphere) 散射和流星余迹 (meteor trail) 散射三种。

电离层散射现象发生在 \(30MHz \sim 60MHz\) 的电磁波上。由于电离层的不均匀性，使其对于在这一频段入射的电磁波产生散射。这种散射信号的强度与 \(30MHz\) 以下的电离层反射信号的强度相比，要小得多，但是仍然可以用于通信。

对流层散射则是由于对流层中的大气不均匀性产生的。从地面至高约十余千米间的大气层称为对流层。对流层中的大气存在强烈的上下对流现象，使大气中形成不均匀的湍流（turbulence）。电磁波由于对流层中的这种大气不均匀性可以产生散射现象，使电磁波散射到接收点。图 4-8 示出对流层散射通信示意图。图中发射天线射束（beam）和接收天线射束相交于对流层上空，两波束相交的空间为有效散射区域。利用对流层散射进行通信的频率范围主要在 \(100\mathrm{MHz}\sim 4000\mathrm{MHz}\) ；按照对流层的高度估算，可以达到的有效散射传播距离最大约为 \(600\mathrm{km}\) 。

流星余迹散射则是由于流星经过大气层时产生的很强的电离余迹使电磁波散射的现象。流星余迹的高度为 80km\~120km，余迹长度为 15km\~40km（图 4-9）。流星余迹散

射的频率范围为 \(30MHz \sim 100MHz\) ，传播距离可达 1000km 以上。一条流星余迹的存留时间在十分之几秒到几分钟之间，但是空中随时都有大量的人们肉眼看不见的流星余迹存在，能够随时保证信号断续地传输。所以，流星余迹散射通信只能用低速存储、高速突发的断续方式传输数据。

目前在民用无线电通信中，应用最广的是蜂窝网 (cellular network) 和卫星通信。蜂窝网工作在特高频 (UHF) 频段。而卫星通信则工作在特高频和超高频 (SHF) 频段，其电磁波传播是利用视线传播方式，但是在地面和卫星之间的电磁波传播要穿过电离层。

4.2 有线信道

传输电信号的有线信道主要有三类，即明线 (open wire)、对称电缆 (symmetrical cable) 和同轴电缆 (coaxial cable)。

第 4 章 信道

明线是指平行架设在电线杆上的架空线路。它本身是导电裸线或带绝缘层的导线。虽然它的传输损耗低，但是易受天气和环境的影响，对外界噪声干扰较敏感，并且很难沿一条路径架设大量的成百对线路，故目前已经逐渐被电缆所代替。电缆有两类，即对称电缆和同轴电缆。

对称电缆是由若干对叫做芯线的双导线放在一根保护套内制造成的。为了减小各对导线之间的干扰，每一对导线都做成扭绞形状的，称为双绞线（twist wire），如图 4-10 所示。对称电缆的芯线比明线细，直径为 \(0.4\mathrm{mm}\sim 1.4\mathrm{mm}\) ，故其损耗较明线大，但是性能较稳定。对称电缆在有线电话网中广泛用于用户接入（access）电路。

同轴电缆则是由内外两根同心圆柱形导体构成，在这两根导体间用绝缘体隔离开（图 4-11）。内导体多为实心导线，外导体是一根空心导电管或金属编织网，在外导体外面有一层绝缘保护层。在内外导体间可以填充实心介质材料，或者用空气作介质，但间隔一段距离有绝缘支架用于连接和固定内外导体。由于外导体通常接地，所以它同时能够很好地起到电屏蔽（screen）作用。目前，由于光纤的广泛应用，远距离传输信号的干线（trunk）线路多采用光纤代替同轴电缆。主要在有线电视广播（TV broadcasting）网中还较广泛地应用同轴电缆将信号送入用户。

传输光信号的有线信道是光导纤维，简称光纤。光纤是由华裔科学家高锟 (Charles Kuen Kao, 1933—) 发明的，他被认为是 “光纤之父”。

最早出现的光纤是由折射率不同的两种导光介质 (高纯度的石英玻璃) 纤维制成的。其内层称为纤芯 (central core)，在纤芯外包有另一种折射率的介质，称为包层 (cladding layer)，如图 4-12 (a) 所示。由于纤芯的折射率 \(n_{1}\) 比包层的折射率 \(n_{2}\) 大，光波会在两层的边界处产生反射。经过多次反射，光波可以达到远距离传输。由于折射率在两种介质内是均匀不变的，仅在边界处发生突变，故这种光纤称为阶跃 (折射率) 型光纤 (step-index fiber)。随后出现的一种光纤的纤芯折射率沿半径增大方向逐渐减小，光波在这种光纤中传输的路径是因折射而逐渐弯曲的，并到达远距离传输的目的。这种光纤称为梯度 (折射率) 型光纤 (graded-index fiber)，如图 4-12 (b) 所示。对梯度型光纤的折射率沿轴向的变化是有严格要求的，故其制造难度比阶跃型光纤大。

上述两种光纤中，光线的传播模式 (mode) 有多种。在这里，模式是指光线传播的路径。上述两种光纤中光线有多条传播路径，故称为多模 (multimode) 光纤。在图 4-12 (a) 和 (b) 中示出了多模光纤的典型直径尺寸。它用发光二极管 (LED) 作为光源，这种光源不是单色的，即包含许多频率成分。由于这类光纤的直径较粗，不同入射角的光波在光纤中有不同的传播路径，各路径的传输时延不同，并且存在色散现象，故会造成信号波形的失真，从而限制了传输带宽。

4.2 有线信道

按照色散产生的原因不同，多模光纤中的色散可以分为三种:①材料色散，它是由于材料的折射率随频率变化产生的。②模式色散，它是由于不同模式的光波的群速不同引起的。③波导色散，它是由于不同频率分量的光波的群速不同引起的。在梯度型光纤中，可以控制折射率的合理分布，来均衡色散，故其模式色散比阶跃型光纤的小。

为了减小色散，增大传输带宽，后来又研制出一种光纤，称为单模 (single mode) 光纤，其纤芯的直径较小，在 7μm\~10μm, 包层的典型直径约 125μm。在图 4-12 (c) 中示出的是一种阶跃型单模光纤。单模光纤用激光器作为光源。激光器产生单一频率的光波，并且光波在光纤中只有一种传播模式。因此，单模光纤的无失真传输频带较宽，比多模光纤的传输容量大得多。但是，由于其直径较小，所以在将两段光纤相接时不易对准。另外，激光器的价格比发光极管 (LED) 贵。所以，这两种光纤各有优缺点，都得到了广泛的应用。

在实用中光纤的外面还有一层塑料保护层，并将多根光纤组合起来成为一根光缆。光缆有保护外皮，内部还加有增加机械强度的钢线和辅助功能的电线。

为了使光波在光纤中传输时受到最小的衰减，以便传输尽量远的距离，希望将光波的波长选择在光纤传输损耗最小的波长上。图 4-13 示出了光纤损耗与光波波长的关系。由图可见，在 \(1.31\mu \mathrm{m}\) 和 \(1.55\mu \mathrm{m}\) 波长上出现两个损耗最小点。这两个波长是目前应用最广的波长。在这两个波长之间 \(1.4\mu \mathrm{m}\) 附近的损耗高峰是由于光纤材料中水分子的吸收造成的。1998 年朗讯科技 (Lucent Technologies) 公司发明了一项技术可以消除这一高峰，从而大大扩展了可用的波长范围。目前使用单个波长的单模光纤传输系统的传输速率已超过 \(10\mathrm{Gb / s}\) 。若在同一根光纤中传输波长不同的多个信号，则总传输速率将提高好多倍。光纤的传输损耗也是很低的，单模光纤的传输损耗可达 \(0.2\mathrm{dB / km}\) 以下。因此，无中继的直接传输距离可达上百千米。目前，已经建成经过海底的跨洋远程光纤传输信道。

第 4 章 信道

4.3 信道的数学模型

为了讨论通信系统的性能，对于信道可以有不同的定义。图 1-4 和图 1-5 中示出的信道是从调制和解调的观点定义的。这时把发送端调制器输出端至接收端解调器输入端之间的部分称为信道，其中可能包括放大器、变频器和天线等装置。在研究各种调制制度的性能时使用这种定义是方便的。所以，有时称之为调制信道。此外，有时为了便于分析通信系统的总体性能，把调制和解调等过程的电路特性 (如一些滤波器的特性) 对信号的影响也折合到信道特性中一并考虑。此外，在讨论数字通信系统中的信道编码和解码时，我们把编码器输出端至解码器输入端之间的部分称为编码信道，如图 4-14 所示。在研究利用纠错编码对数字信号进行差错控制的效果时，利用编码信道的概念是方便的。

通常，信道一词在研究调制系统时均指调制信道；只有在讨论信道编码时，信道表示编码信道。

4.3.1 调制信道模型

最基本的调制信道有一对输入端和一对输出端，其输入端信号电压 \(e_{i}(t)\) 和输出端电压 \(e_{o}(t)\) 间的关系可以用下式表示:

\[ e _ {\mathrm{o}} (t) = f [ e _ {\mathrm{i}} (t) ] + n (t) \tag {4.3-1} \]

式中： \(e_i(t)\) 为信道输入端信号电压； \(e_0(t)\) 为信道输出端的信号电压； \(n(t)\) 为噪声电压。

4.3 信道的数学模型

由于信道中的噪声 \(n(t)\) 是叠加在信号上的，而且无论有无信号，噪声 \(n(t)\) 是始终存在的。因此通常称它为加性 (additive) 噪声或加性干扰。当没有信号输入时，信道输出端也有加性干扰输出。 \(f[e_i(t)]\) 表示信道输入和输出电压之间的函数关系。为了便于数学分析，通常假设 \(f[e_i(t)] = k(t)e_i(t)\) ，即信道的作用相当于对输入信号乘一个系数 \(k(t)\) 。这样，式 (4.3-1) 可以改写为

\[ e _ {o} (t) = k (t) e _ {i} (t) + n (t) \tag {4.3-2} \]

式 (4.3-2) 就是调制信道的一般数学模型。在图 4-15 中画出了此数学模型。 \(k(t)\) 是一个很复杂的函数，它反映信道的特性。一般说来，它是时间 t 的函数，即表示信道的特性是随时间变化的。随时间变化的信道称为时变 (time - variant) 信道。 \(k(t)\) 又可以看作是对信号的一种干扰，称为乘性 (multiplicative) 干扰。因为它与信号是相乘的

关系，所以当没有输入信号时，信道输出端也没有乘性干扰输出。作为一种干扰看待，k (t), 会使信号产生各种失真 (distortion), 包括线性失真、非线性失真、时间延迟以及衰减等。这些失真都可能随时间作随机变化，所以 k (t) 只能用随机过程表述。这种特性随机变化的信道称为随机参量信道，简称随参信道。另外，也有些信道的特性基本上不随时间变化，或变化极慢极小。我们将这种信道称为恒定参量信道，简称恒参信道。综上所述，调制信道的模型可以分为两类，随参信道和恒参信道。

在 4.2 节中讨论的各种有线信道，以及在 4.1 节中讨论的无线电中继和卫星通信等视线传播信道的传输特性基本稳定，属于恒参信道；而其他各种无线信道都属于随参信道。

在本节开始处提到，有一对输入端和一对输出端的调制信道是最基本的信道。此外，还有多对输入端和多对输出端的调制信道，如图 4-16 所示。图中示出有 m 个输入端和 n 个输出端的信道。例如，会议电话系统的信道；在会议电话系统中每个人都可以同时听到多个人的讲话。

4.3.2 编码信道模型

调制信道对信号的影响是乘性干扰 \(k(t)\) 和加性干扰 \(n(t)\) 使信号的波形发生失真。编码信道的影响则不同。因为编码信道的输入和输出信号是数字序列，例如，在二进制信道中是 “0” 和 “1” 的序列，故编码信道对信号的影响是使传输的数字序列发生变化，即序列中的数字发生错误。所以，可以用转移概率（transfer probability）来描述编码信道的特性。在二进制系统中，错误概率就是 “0” 转移为 “1” 的概率和 “1” 转移为 “0” 的概率。按照这种原理可以画出一个二进制编码信道的简单模型，如图 4-17 所示。图中 \(P(0/0)\) 和 \(P(1/1)\) 是正确转移概率。 \(P(1/0)\) 是发送 “0” 而接收 “1” 的概率； \(P(0/1)\) 是发送 “1” 而接收 “0” 的概率。后面这两个概率为错误传输概率。实际编码信道转移概率的数值需要由大量的实验统计数据分析得出。在二进制系统中由于只有 “0” 和 “1” 这两种符号，所以由概率论的原理可知：

第 4 章 信道

\[ P (0 / 0) = 1 - P (1 / 0) \tag {4.3-3} \]

\[ P (1 / 1) = 1 - P (0 / 1) \tag {4.3-4} \]

图 4-17 中的模型所以称为 “简单的” 二进制编码信道模型是因为已经假定此编码信道是无记忆（memoryless）信道，即前后码元发生的错误是互相独立的。也就是说，一个码元的错误和其前后码元是否发生错误无关。类似地，我们可以画出无记忆四进制编码信道模型，如图 4-18 所示。最后指出，编码信道中产生错码的原因以及转移概率的大小主要是由于调制信道不理想造成的。

4.4 信道特性对信号传输的影响

按照调制信道模型，信道可以分为恒参信道和随参信道两类。在 4.1 节和 4.2 节中讨论的无线信道和有线信道中，各种有线信道和部分无线信道，包括卫星链路 (link) 和某些视距传输链路，可以当作为恒参信道看待，因为它们的特性变化很小、很慢，可以视作其参量恒定。恒参信道实质上就是一个非时变线性网络。所以只要知道这个网络的传输特性，就可以利用信号通过线性系统的分析方法得知信号通过恒参信道时受到的影响。恒参信道的主要传输特性通常可以用其振幅 — 频率特性和相位 — 频率特性来描述。无失真传输要求振幅特性与频率无关，即其振幅 — 频率特性曲线是一条水平直线；要求其相位特性是一条通过原点的直线，或者等效地要求其传输群时延与频率无关，等于常数。实际的信道往往都不能满足这些要求。例如，电话信号的频带在 300Hz\~3400Hz 范围内；而电话信道的振幅 — 频率特性和相位 — 频率特性的典型曲线示于图 4-19 中。在此图中采用的是便于测量的实用参量，即用插入损耗 (insertion loss) 和频率的关系表示振幅 — 频率特性，用群延迟 (group delay) 和频率的关系表示相位 — 频率特性。

若信道的振幅 — 频率特性不理想，则信号发生的失真称为频率失真。信号的频率失真会使信号的波形产生畸变。在传输数字信号时，波形畸变可引起相邻码元波形之间发生部分重叠，造成码间串扰 (intersymbol interference)。由于这种失真是一种线性失真，所以它可以用一个线性网络进行补偿。若此线性网络的频率特性与信道的频率特性之和，在信号频谱占用的频带内，为一条水平直线，则此补偿 (compensation) 网络就能够完全抵消信道产生的振幅 — 频率失真。

4.4

信道特性对信号传输的影响

信道的相位特性不理想将使信号产生相位失真。在模拟 (analog) 语音信道 (简称模拟话路) 中，相位失真对通话的影响不大，因为人耳对于声音波形的相位失真不敏感。但是，相位失真对于数字信号的传输则影响很大，因为它也会引起码间串扰，使误码率增大。相位失真也是一种线性失真，所以也可以用一个线性网络进行补偿。

除了振幅特性和相位特性外，恒参信道中还可能存在其他一些使信号产生失真的因素，例如非线性失真、频率偏移（deviation）和相位抖动（phase jitter）等。非线性失真是指信道输入和输出信号的振幅关系不是直线关系，如图 4-20 所示。非线性特性将使信号产生新的谐波（harmonic）分量，造成所谓谐波失真。这种失真主要是由于信道中的元器件特性不理想造成的。频率偏移是指信道输入信号的频谱经过信道传输后产生了平移。这主要是由于发送端和接收端中用于调制解调或频率变换的振荡器（oscillator）的频率误差引起的。相位抖动也是由于这些振荡器的频率不稳定产生的。相位抖动的结果是对信号产生附加调制。上述这些因素产生的信号失真一旦出现，很难消除。

现在转入讨论随参信道对信号传输的影响。上述无线电信道中有一些是随参信道，例如依靠天波传播和地波传播的无线电信道、某些视距传输信道和各种散射信道。随参信道的特性是 “时变” 的。例如，在用天波传播时，电离层的高度和离子浓度随时间、季节和年份而在不断变化，使信道特性随之变化；在用对流层散射传播时，大气层随气候和天气在变化着，也使信道特性变化。此外，在移动通信中，由于移动台在运动，收发两点间的传输路径自然也在变化，使得信道参量在不断变化。一般说来，各种随参信道具有的共同特性：①信号的传输衰减随时间而变；②信号的传输时延随时间而变；③信号经过几条路径到达接收端，而且每条路径的长度（时延）和衰减都随时间而变，即存在多径传播（multipath propagation）现象。多径传播对信号的影响称为多径效应。由于它对信号传输质量的影响很大，下面对其作专门的讨论。

设发射信号为 \(A\cos\omega_{0}t\) ，它经过 n 条路径传播到接收端，则接收信号 \(R(t)\) 可以表示为

第 4 章 信道

\[ R (t) = \sum_ {i = 1} ^ {n} \mu_ {i} (t) \cos \omega_ {0} [ t - \tau_ {i} (t) ] = \sum_ {i = 1} ^ {n} \mu_ {i} (t) \cos [ \omega_ {0} t + \varphi_ {i} (t) ] \tag {4.4-1} \]

式中： \(\mu_{i}(t)\) 为第 i 条路径到达的接收信号振幅； \(\tau_{i}(t)\) 为第 i 条路径达到的信号的时延； \(\varphi_{i}(t) = -\omega_{0}\tau_{i}(t)\) 。

式 (4.4-1) 中的 \(\mu_{i}(t),\tau_{i}(t),\varphi_{i}(t)\) 都是随机变化的。

应用三角公式可以将式 \((4.4-1)\) 改写为

\[ R (t) = \sum_ {i = 1} ^ {n} \mu_ {i} (t) \cos \varphi_ {i} (t) \cos \omega_ {0} t - \sum_ {i = 1} ^ {n} \mu_ {i} (t) \sin \varphi_ {i} (t) \sin \omega_ {0} t \tag {4.4-2} \]

实验观察表明，在多径传播中，和信号角频率 \(\omega_{0}\) 的周期相比， \(\mu_{i}(t)\) 和 \(\varphi_{i}(t)\) 随时间变化很缓慢。所以，式 (4.4-2) 中的接收信号 \(R(t)\) 可以看成是由互相正交的两个分量组成的。这两个分量的振幅分别是缓慢随机变化的 \(\mu_{i}(t)\cos\varphi_{i}(t)\) 和 \(\mu_{i}(t)\sin\varphi_{i}(t)\) 。设

\[ X _ {e} (t) = \sum_ {i = 1} ^ {n} \mu_ {i} (t) \cos \varphi_ {i} (t) \tag {4.4-3} \]

\[ X _ {s} (t) = \sum_ {i = 1} ^ {n} \mu_ {i} (t) \sin \varphi_ {i} (t) \tag {4.4-4} \]

则 \(X_{c}(t)\) 和 \(X_{s}(t)\) 都是缓慢随机变化的。将式 (4.4-3) 和式 (4.4-4) 代入式 (4.4-2)，得出

\[ R (t) = X _ {c} (t) \cos \omega_ {0} t - X _ {s} (t) \sin \omega_ {0} t = V (t) \cos [ \omega_ {0} t + \varphi (t) ] \tag {4.4-5} \]

式中： \(V(t)=\sqrt{X_{c}^{2}(t)+X_{s}^{2}(t)}\) ，为接收信号 \(R(t)\) 的包络；

\(\varphi(t)=\arctan\frac{X_{s}(t)}{X_{c}(t)}\) ，为接收信号 \(R(t)\) 的相位。

这里的 \(V(t)\) 和 \(\varphi(t)\) 也是缓慢随机变化的，所以式 (4.4-5) 表示接收信号是一个振幅和相位作缓慢变化的余弦波，即接收信号 \(R(t)\) 可以看作是一个包络和相位随机缓慢变化的窄带信号，如图 4-21 所示。和振幅恒定、单一频率的发射信号对比，接收信号波形的包络有了起伏，频率也不再是单一频率，而有了扩展，成为窄带信号。这种信号包络因传播有了起伏的现象称为衰落 (fading)。多径传播使信号包络 (envelope) 产生的起伏虽然比信号的周期缓慢，但是仍然可能是在秒或秒以下的数量级，衰落的周期常能和数字信号的一个码元周期相比较，故通常将由多径效应引起的衰落称为快衰落。即使没有多径效应，仅有一条无线电路径传播时，由于路径上季节、日夜、天气等的变化，也会使信号产生衰落现象。这种衰落的起伏周期可能较长，甚至以若干天或若干小时计，故称这种衰落为慢衰落。

为简单起见，下面我们将对仅有两条路径的最简单的快衰落现象作进一步的讨论。

设多径传播的路径只有两条，并且这两条路径具有相同的衰减，但是时延不同；并设发射信号为 \(f(t)\) ，它经过两条路径传播后到达接收端分别为 \(Af(t-\tau_{0})\) 和 \(Af(t-\tau_{0}-\tau)\) 。其中 A 是传播衰减， \(\tau_{0}\) 是第一条路径的时延， \(\tau\) 是两条路径的时延差。现在来求出这个多径信道的传输函数。

设发射信号 \(f(t)\) 的傅里叶变换 (即其频谱) 为 \(F(\omega)\) ，并将其用下式表示：

4.4

信道特性对信号传输的影响

\[ f (t) \Leftrightarrow F (\omega) \tag {4.4-6} \]

则

\[ A f (t - \tau_ {0}) \Leftrightarrow A F (\omega) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} \omega \tau_ {0}} \tag {4.4-7} \]

\[ A f (t - \tau_ {0} - \tau) \Leftrightarrow A F (\omega) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} \omega (\tau_ {0} + \tau)} \tag {4.4-8} \]

\[ A f (t - \tau_ {0}) + A f (t - \tau_ {0} - \tau) \Leftrightarrow A F (\omega) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} \omega \tau_ {0}} (1 + \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} \omega \tau}) \tag {4.4-9} \]

式 \((4.4-9)\) 的两端分别是接收信号的时间函数和频谱函数。将式 \((4.4-6)\) 和式 \((4.4-9)\) 的右端相除，就得到此多径信道的传输函数为

\[ H (\omega) = \frac {A F (\omega) \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} \omega \tau_ {0}} (1 + \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} \omega \tau})}{F (\omega)} = A \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} \omega \tau_ {0}} (1 + \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} \omega \tau}) \tag {4.4-10} \]

式中：A 为一个常数衰减因子； \(e^{-j\omega\tau_{0}}\) 为一个确定的传输时延 \(\tau_{0}\) ; \(1 + e^{-j\omega\tau}\) 因子是和信号频率 \(\omega\) 有关的复因子，其模为

\[ \left| 1 + \mathrm{e} ^ {- \mathrm{j} \omega \tau} \right| = \left| 1 + \cos \omega \tau - \mathrm{j} \sin \omega \tau \right| = \left| \sqrt {(1 + \cos \omega \tau) ^ {2} + \sin^ {2} \omega \tau} \right| = 2 \left| \cos \frac {\omega \tau}{2} \right| \tag {4.4-11} \]

按照式 (4.4-11) 画出的模与角频率 \(\omega\) 关系曲线如图 4-22 所示。它表示此多径信道的传输衰减和信号频率及时延差 \(\tau\) 有关。在角频率 \(\omega = 2n\pi / \tau\) (n 为整数) 处的频率分量最强，而在 \(\omega = (2n + 1)\pi / \tau\) 处的频率分量为零。这种曲线的最大和最小值位置决定于两条路径的相对时延差 \(\tau\) 。而 \(\tau\) 是随时间变化的，所以对于给定频率的信号，使信号的强度随时间而变，这种现象称为衰落现象。由于这种衰落和频率有关，故常称其为频率选择性衰落。特别是对于宽带信号，若信号带宽大于 \((1/\tau)\) Hz, 则信号频谱中不同频率分量的幅度之间必然出现强烈的差异。我们将 \((1/\tau)\) Hz 称为此两条路径信道的相关带宽 (correlation bandwidth)。

实际的多径信道中通常有不止两条路径，并且每条路径的信号衰减一般也不相同，所以不会出现图 4-22 中的零点。但是，接收信号的包络肯定会出现随机起伏（random fluctuation）。这时，设 \(\tau_{m}\) 为多径中最大的相对时延差，并将 \((1/\tau_{m})\mathrm{Hz}\) 定义为此多径信道的相关带宽。为了使信号基本不受多径传播的影响，要求信号的带宽小于多径信道的相关带宽 \(\left(1/\tau_{m}\right)\) 。

第 4 章 信道

多径效应会使数字信号的码间串扰增大。为了减小码间串扰的影响，通常要降低码元传输速率。因为，若码元速率降低，则信号带宽也将随之减小，多径效应的影响也随之减轻。

综合上述，还可以将经过信道传输后的数字信号分为三类。第一类称为确知信号 (deterministic signal), 即接收端能够准确知道其码元波形的信号，这是理想情况。第二类称为随机相位信号，简称随相信号 (random phase signal), 这种信号的相位由于传输时延的不确定而带有随机性，使接收码元的相位随机变化。即使是经过恒参信道传输，大多数也属于这种情况。第三类称为起伏信号 (fluctuation signal), 这时接收信号的包络随机起伏、相位也随机变化。通过多径信道传输的信号都具有这种特性。

4.5 信道中的噪声

我们将信道中存在的不需要的电信号统称为噪声（noise）。通信系统中的噪声是叠加在信号上的，没有传输信号时通信系统中也有噪声，噪声永远存在于通信系统中。噪声可以看成是信道中的一种干扰，也称为加性干扰，因为它是叠加在信号之上的。噪声对于信号的传输是有害的，它能使模拟信号失真，使数字信号发生错码，并限制着信息的传输速率。

按照来源分类，噪声可以分为人为噪声 (man-made noise) 和自然噪声 (natural noise) 两大类。人为噪声是由人类的活动产生的，例如，电钻和电气开关瞬态 (transient) 造成的电火花 (spark)、汽车点火系统产生的电火花、荧光灯产生的干扰、其他电台和家电用具产生的电磁波辐射等。自然噪声是自然界中存在的各种电磁波辐射，例如，闪电 (lightning)、大气噪声 (atmosphere noise) 和来自太阳和银河系 (galaxy) 等的宇宙噪声 (cosmic noise)。此外还有一种很重要的自然噪声，即热噪声 (thermal noise)。热噪声来自一切电阻性元器件中电子的热运动。例如，导线、电阻和半导体器件等均产生热噪声。所以热噪声是无处不在，不可避免地存在于一切电子设备中，除非设备处于热力学温度 0K。在电阻性元器件中，自由电子因具有热能而不断运动，在运动中和其他粒子碰撞而随机地以折线路径运动，即呈现为布朗运动 (Brownian motion)。在没有外界作用力的条件下，这些电子的布朗运动结果产生的电流平均值等于零，但是会产生一个交流电流分量。这个交流分量称为热噪声。热噪声的频率范围很广，它均匀分布在大约从接近零频率开始，直到 \(10^{12}Hz\) 。在一个阻值为 R 的电阻两端，在频带宽度为 B 的范围内，产生的热噪声电压有效值为

\[ V = \sqrt {4 k T R B} (\mathrm{V}) \tag {4.5-1} \]

式中： \(k=1.38\times10^{-23}\) （J/K），为玻耳兹曼常数（Boltzmann's constant）；T 为热力学温度（K）；R 为电阻（Ω）；B 为带宽（Hz）。

由于在一般通信系统的工作频率范围内热噪声的频谱是均匀分布的，好像白光的频谱在可见光的频谱范围内均匀分布那样，所以热噪声又常称为白噪声。由于热噪声是由大量自由电子的运动产生的，其统计特性服从高斯分布，故常将热噪声称为高斯白噪声 (Gaussian white noise)。

4.5 信道中的噪声

按照性质分类，噪声可以分为脉冲噪声、窄带噪声和起伏噪声三类。脉冲噪声 (impulse noise) 是突发性地产生的，幅度很大，其持续时间比间隔时间短得多。由于其持续时间很短，故其频谱较宽，可以从低频一直分布到甚高频，但是频率越高其频谱的强度越小。电火花就是一种典型的脉冲噪声。窄带噪声 (narrow band noise) 可以看作是一种非所需的连续的已调正弦波，或简单地看作是一个振幅恒定的单一频率的正弦波。通常它来自相邻电台或其他电子设备，其频谱或频率位置通常是确知的或可以测知的。起伏噪声 (fluctuation noise) 是遍布在时域和频域内的随机噪声，包括热噪声、电子管内产生的散弹噪声 (shot noise) 和宇宙噪声等都属于起伏噪声。

上述各种噪声中，脉冲噪声不是普遍地持续地存在的，对于语音通信的影响也较小，但是对于数字通信可能有较大影响。窄带噪声也是只存在于特定频率、特定时间和特定地点，所以它的影响是有限的。只有起伏噪声无处不在。所以，在讨论噪声对于通信系统的影响时，主要是考虑起伏噪声，特别是热噪声的影响。

如上所述，热噪声本身是白色的。但是，在通信系统接收端解调器中对信号解调时，叠加在信号上的热噪声已经经过了接收机带通滤波器的过滤，从而其带宽受到了限制，故它已经不是白色的了，成为了窄带噪声或称为带限（band-limited）白噪声。由于滤波器是一种线性电路，高斯过程通过线性电路后，仍为一高斯过程，故此窄带噪声又常称为窄带高斯噪声。设经过接收滤波器后的噪声双边功率谱密度为 \(P_{n}(f)\) ，如图 4-23 所示，则此噪声的功率为

\[ P _ {n} = \int_ {- \infty} ^ {\infty} P _ {n} (f) \mathrm{d} f \tag {4.5-2} \]

为了描述窄带噪声的带宽，我们引入噪声等效带宽 (equivalent bandwidth) 的概念。这时，将噪声功率谱密度曲线的形状变为矩形 (见图中虚线), 并保持噪声功率不变。若令矩形的高度等于原噪声功率谱密度曲线的最大值 \(P_{n}(f_{0})\) , 则此矩形的宽度为

\[ B _ {n} = \frac {\int_ {- \infty} ^ {\infty} P _ {n} (f) \mathrm{d} f}{2 P _ {n} (f _ {0})} = \frac {\int_ {0} ^ {\infty} P _ {n} (f) \mathrm{d} f}{P _ {n} (f _ {0})} \tag {4.5-3} \]

式 (4.5-3) 保证了图中矩形虚线下面的面积和功率谱密度曲线下面的面积相等，即功率相等。故将式 (4.5-3) 中的 \(B_{n}\) 称为噪声等效带宽。利用噪声等效带宽的概念，在后面讨论通信系统的性能时，可以认为窄带噪声的功率谱密度在带宽 \(B_{n}\) 内是恒定的。

第 4 章 信道

4.6 信道容量

在本节中将讨论信道容量 (channel capacity) 的概念。信道容量是指信道能够传输的最大平均信息速率。由于信道分为连续 (continuous) 信道和离散 (discrete) 信道两类，所以信道容量的描述方法也不同。下面将分别对其作简要介绍。

4.6.1 离散信道容量

离散信道的容量有两种不同的度量单位。一种是用每个符号（symbol）能够传输的平均信息量最大值表示信道容量 C；另一种是用单位时间（秒）内能够传输的平均信息量最大值表示信道容量 \(C_{t}\) 。这两者之间可以互换。若知道信道每秒能够传输多少个符号，则不难从第一种转换成第二种表示。因此，这两种表示方法在实质上是一样的；可以根据需要选用。

现在将图 4-18 中的信道模型、推广到有 \(n\) 个发送符号和 \(m\) 个接收符号的一般形式，如图 4-24 所示。图中发送符号 \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}\) 的出现概率为 \(P(x_{i}),i=1,2,\cdots,n;\) 收到 \(y_{j}\) 的概率是 \(P(y_{j}),j=1,2,\cdots,m\) 。 \(P(y_{j}/x_{i})\) 是转移概率，即发送 \(x_{i}\) 的条件下收到 \(y_{j}\) 的条件概率（conditional probability）。

从信息量 (information content) 的概念得知，发送 \(x_{i}\) 时收到 \(y_{j}\) 所获得的信息量等于发送 \(x_{i}\) 前接收端对 \(x_{i}\) 的不确定程度 (\(x_{i}\) 的信息量) 减去收到 \(y_{j}\) 后接收端对 \(x_{i}\) 的不确定程度 (给定 \(y_{j}\) 条件下 \(x_{i}\) 的不确定程度), 即

发送 \(x_{i}\) 时收到 \(y_{j}\) 所获得的信息量 \(= -\log_2P(x_i) - \left[-\log_2P(x_i / y_j)\right]\) (4.6-1) 对所有的 \(x_{i}\) 和 \(y_{j}\) 取统计平均值，得出收到一个符号时获得的平均信息量：

平均信息量 / 符号 = - \(\sum_{i=1}^{n}P(x_{i})\log_{2}P(x_{i})\) -

\[ \left[ - \sum_ {j = 1} ^ {m} P (y _ {j}) \sum_ {i = 1} ^ {n} P (x _ {i} / y _ {j}) \log_ {2} P (x _ {i} / y _ {j}) \right] \]

\[ = H (x) - H (x / y) \tag {4.6-2} \]

式中： \(H(x) = -\sum_{i=1}^{n} P(x_i) \log_2 P(x_i)\) ，为每个发送符号 \(x_i\) 的平均信息量，称为信源的熵（entropy）； \(H(x/y) = -\sum_{j=1}^{m} P(y_j) \sum_{i=1}^{n} P(x_i/y_j) \log_2 P(x_i/y_j)\) ，为接收 \(y_j\) 符号已知后，发送

4.6 信道容量

符号 \(x_{i}\) 的平均信息量。

由式 (4.6-2) 可知，收到一个符号的平均信息量只有 \(\left[H(x)-H(x/y)\right]\) ，而发送符号的信息量原为 \(H(x)\) ，少了的部分 \(H(x/y)\) 就是传输错误率引起的损失。

对于二进制信源 (information source)，设发送 “1” 的概率 \(P(1)=\alpha\) ，则发送 “0” 的概率 \(P(0)=1-\alpha\) 。当 \(\alpha\) 从 “0” 变到 “1” 时，信源的熵 \(H(\alpha)\) 可以写成

\[ H (\alpha) = - \alpha \log_ {2} \alpha - (1 - \alpha) \log_ {2} (1 - \alpha) \tag {4.6-3} \]

按照式 \((4.6-3)\) 画出的曲线示于图 4-25 中。由此图可见，当 \(\alpha=1/2\) 时，此信源的熵达到最大值。这时两个符号的出现概率相等，其不确定性最大。

对于无噪声信道，发送符号和接收符号有一一对应关系。这时，信道模型将变成如图 4-26 所示；并且在接收到符号 \(y_{i}\) 后，可以确知发送的符号是 \(x_{i}(i=1,2,\cdots,n)\) ，因此收到的信息量是 \(-\log_{2}P(x_{i})\) 。于是，由式 (4.6-1) 可知，此时 \(P(x_{i}/y_{j})=0\) ；以及由式 (4.6-2) 可知， \(H(x/y)=0\) 。所以在无噪声条件下，从接收一个符号获得的平均信息量为 \(H(x)\) 。而原来在有噪声条件下，从一个符号获得的平均信息量为 \([H(x)-H(x/y)]\) 。这再次说明 \(H(x/y)\) 即为因噪声而损失的平均信息量。

从式 (4.6-2) 得知，每个符号传输的平均信息量和信源发送符号概率 \(P(x_{i})\) 有关，我们将其对 \(P(x_{i})\) 求出的最大值定义为信道容量，即

\[ C = \max _ {P (x)} [ H (x) - H (x / y) ] \qquad (\mathrm{b/符号}) \tag {4.6-4} \]

若信道中的噪声极大，则 \(H(x/y)=H(x)\) 。这时 C=0, 即信道容量为零。

设单位时间内信道传输的符号数为 \(r(\text{符号}/\mathrm{s})\) ，则信道每秒传输的平均信息量为

\[ R = r \left[ H (x) - H (x / y) \right] \quad (\mathrm{b} / \mathrm{s}) \tag {4.6-5} \]

求 R 的最大值，即得出容量 \(C_{t}\) 的表达式为

\[ C _ {1} = \max _ {P (x)} \left\{r [ H (x) - H (x / y) ] \right\} \quad (\mathrm{b/s}) \tag {4.6-6} \]

【例 4-2】设信源由两种符号 “0” 和 “1” 组成，符号传输速率为 1000 符号 /s，且这两种符号的出现概率相等，均等于 \(1 / 2\) 。信道为对称信道，其传输的符号错误概率为 \(1 / 128\) 。试画出此信道模型，并求此信道的容量 \(C\) 和 \(C_\mathrm{t}\)

第 4 章 信道

【解】此信道模型如图 4-27 所示。

由式 \((4.6-2)\) 知，此信源的平均信息量 (熵) 为

\[ H (x) = - \sum_ {i = 1} ^ {n} P (x _ {i}) \log_ {2} P (x _ {i}) = - \left[ \frac {1}{2} \log_ {2} \frac {1}{2} + \frac {1}{2} \log_ {2} \frac {1}{2} \right] = 1 \quad (\mathrm{b/符号}) \]

由给定条件： \(P(y_{1}/x_{1})=P(0/0)=127/128\) ; \(P(y_{2}/x_{2})=P(1/1)=127/128\) ;

\[ P \left(y _ {2} / x _ {1}\right) = P (1 / 0) = 1 / 1 2 8; \quad P \left(y _ {1} / x _ {2}\right) = P (0 / 1) = 1 / 1 2 8; \]

根据概率论中的贝叶斯公式： \(P(x_{i}/y_{j})=P(x_{i})P(y_{j}/x_{i})/\sum_{i}^{n}P(x_{i})P(y_{j}/x_{i})\)

可以计算出：

\[ \begin{array}{l} P (x _ {1} / y _ {1}) = \frac {P (x _ {1}) P (y _ {1} / x _ {1})}{P (x _ {1}) P (y _ {1} / x _ {1}) + P (x _ {2}) P (y _ {1} / x _ {2})} = \frac {(1 / 2) (1 2 7 / 1 2 8)}{(1 / 2) (1 2 7 / 1 2 8) + (1 / 2) (1 / 1 2 8)} \\ = 1 2 7 / 1 2 8 \\ \end{array} \]

及 \(P(x_{2}/y_{1})=1/128\) ; \(P(x_{1}/y_{2})=1/128\) ; \(P(x_{2}/y_{2})=127/128\) 。

而条件信息量 \(H(x/y)\) 可以按照式 (4.6-2) 写为

\[ \begin{array}{l} H (x / y) = - \sum_ {j = 1} ^ {m} P (y _ {j}) \sum_ {i = 1} ^ {n} [ P (x _ {i} / y _ {j}) \log_ {2} P (x _ {i} / y _ {j}) ] \\ = - \left\{P \left(y _ {1}\right) \left[ P \left(x _ {1} / y _ {1}\right) \log_ {2} P \left(x _ {1} / y _ {1}\right) + P \left(x _ {2} / y _ {1}\right) \log_ {2} P \left(x _ {2} / y _ {1}\right) \right] + \right. \\ P \left(y _ {2}\right) \left[ P \left(x _ {1} / y _ {2}\right) \log_ {2} P \left(x _ {1} / y _ {2}\right) + P \left(x _ {2} / y _ {2}\right) \log_ {2} P \left(x _ {2} / y _ {2}\right) \right] \\ \end{array} \]

将上面求出的各条件概率值代入上式，并且考虑到 \(P(y_{1}) = P(y_{2}) = 1 / 2\) ，可得出

\[ \begin{array}{l} H (x / y) = - \left[ (1 2 7 / 1 2 8) \log_ {2} (1 2 7 / 1 2 8) + (1 / 1 2 8) \log_ {2} (1 / 1 2 8) \right] \\ = - \left[ (1 2 7 / 1 2 8) \times (- 0. 0 1) + (1 / 1 2 8) \times (- 7) \right] \approx 0. 0 6 5 \\ \end{array} \]

上面已经计算出 \(H(x)=1\) ，故此信道的容量为

\[ C = \max _ {P (x)} [ H (x) - H (x / y) ] = 0. 9 3 5 \quad (\mathrm{b/符号}) \]

由式 (4.6-6)，得： \(C_{1}=\max_{P(x)}\left|r\left[H(x)-H(x/y)\right]\right|=1000\times0.935=935\) (b/s)

4.6.2 连续信道容量

连续信道的容量也有两种不同的计量单位。这里，我们只介绍按单位时间计算的容量。

4.6 信道容量

对于带宽有限、平均功率有限的高斯白噪声连续信道，可以证明 \(^{[6,7]}\) ，其信道容量为

\[ C _ {1} = B \log_ {2} \left(1 + \frac {S}{N}\right) (\mathrm{b/s}) \tag {4.6-7} \]

式中：S 为信号平均功率 (W)；N 为噪声功率 (W)；B 为带宽 (Hz)。

由式 (4.6-7) 可知，在保持信道容量 \(C_{1}\) 不变的条件下，带宽 B 和信号噪声功率比 S/N 可以互换，即若增大 B，可以降低 S/N，而保持 \(C_{1}\) 不变。

设噪声单边功率谱密度为 \(n_{0}\) (W/Hz)，则 \(N = n_{0}B\) ；故式 (4.6-7) 可以改写成：

\[ C _ {1} = B \log_ {2} \left(1 + \frac {S}{n _ {0} B}\right) (\mathrm{b/s}) \tag {4.6-8} \]

由式 (4.6-8) 可知，连续信道的容量 \(C_{1}\) 和信道带宽 \(B\) 、信号功率 \(S\) 及噪声功率谱密度 \(n_0\) 三个因素有关。增大信号功率 \(S\) 或减小噪声功率谱密度 \(n_0\) ，都可以使信道容量 \(C_{1}\) 增大。当 \(S \to \infty\) 或 \(n_0 \to 0\) 时， \(C_{1} \to \infty\) 。然而，在实际通信系统中，信号功率 \(S\) 不可能为无穷大，噪声功率谱密度 \(n_0\) 也不会等于 0，所以信道容量 \(C_{1}\) 也不可能达到无穷大。但是，当 \(B \to \infty\) 时， \(C_{1}\) 将趋向何值？为了回答这个问题，令 \(x = S / n_0 B\) ，这样式 (4.6-8) 可以改写为

\[ C _ {1} = \frac {S}{n _ {0}} \frac {B n _ {0}}{S} \log_ {2} \left(1 + \frac {S}{n _ {0} B}\right) = \frac {S}{n _ {0}} \log_ {2} (1 + x) ^ {1 / x} \tag {4.6-9} \]

利用关系式

\[ \lim _ {x \to 0} \ln (1 + x) ^ {1 / x} = 1 \tag {4.6-10} \]

及

\[ \log_ {2} a = \log_ {2} e \cdot \ln a \tag {4.6-11} \]

可以从式 \((4.6-9)\) 写出：

\[ \lim _ {B \to \infty} C _ {1} = \lim _ {x \to 0} \frac {S}{n _ {0}} \log_ {2} (1 + x) ^ {1 / x} = \frac {S}{n _ {0}} \log_ {2} e \approx 1. 4 4 \frac {S}{n _ {0}} \quad (\mathrm{b/s}) \tag {4.6-12} \]

式 (4.6-12) 表明，当给定 \(S/n_{0}\) 时，若带宽 B 趋于无穷大，信道容量不会趋于无限大，而只是 \(S/n_{0}\) 的 1.44 倍。这是因为当带宽 B 增大时，噪声功率也随之增大。图 4-28 示出按照式 (4.6-7) 画出的信道容量 \(C_{t}\) 和带宽 B 的关系曲线。

式 \((4.6-8)\) 还可以改写成如下形式：

\[ \begin{array}{l} C _ {1} = B \log_ {2} \left(1 + \frac {S}{n _ {0} B}\right) = B \log_ {2} \left(1 + \frac {E _ {\mathrm{b}} / T _ {\mathrm{b}}}{n _ {0} B}\right) \\ = B \log_ {2} \left(1 + \frac {E _ {\mathrm{b}}}{n _ {0}}\right) \tag {4.6-13} \\ \end{array} \]

式中： \(E_{b}\) 为每比特能量； \(T_{b}=1/B\) ，为每比特持续时间。

式 (4.6-13) 表明，为了得到给定的信道容量 \(C_{t}\) , 可以增大带宽 B 以换取 \(E_{b}\) 减小；另一方面，在接收功率受限的情况下，由于 \(E_{b}=ST_{b}\) ，可以增大 \(T_{b}\) 以减小 S 来保持 \(E_{b}\) 和 \(C_{t}\) 不变。例如在宇宙飞行和深空探测时，接收信号的功率 S 很微弱，就可以用增大带宽 B 和比特持续时间 \(T_{b}\) 的办法，保证对信道容量 \(C_{t}\) 的要求。

第 4 章 信道

【例 4-3】已知黑白电视图像信号每帧 (frame) 有 30 万个像素 (pixel)，每个像素有 8 个亮度电平，各电平独立地以等概率出现，图像每秒发送 25 帧。若要求接收图像信噪比达到 30dB，试求所需传输带宽。

【解】因为每个像素独立地以等概率取 8 个亮度电平，故每个像素的信息量为

\[ I _ {\mathrm{p}} = - \log_ {2} (1 / 8) = 3 (\mathrm{b/pix}) \]

并且每帧图像的信息量为

\[ I _ {\mathrm{F}} = 3 0 0 0 0 0 \times 3 = 9 0 0 0 0 0 (\mathrm{b/F}) \]

因为每秒传输 25 帧图像，所以要求传输速率为

\[ R _ {\mathrm{b}} = 9 0 0 0 0 0 \times 2 5 = 2 2 5 0 0 0 0 0 = 2 2. 5 \times 1 0 ^ {6} (\mathrm{b/s}) \]

信道的容量 \(C_{t}\) 必须不小于此 \(R_{b}\) 值。将上述数值代入式 (4.6-7):

\[ C _ {t} = B \log_ {2} (1 + S / N) \]

得到 \(22.5 \times 10^{6} = B \log_{2}(1 + 1000) \approx 9.97B\)

最后得出所需带宽为

\[ B = (2 2. 5 \times 1 0 ^ {6}) / 9. 9 7 \approx 2. 2 6 (\mathrm{MHz}) \]

4.7 小结

本章介绍有关信道的基础知识，包括信道特性及其对信号传输的影响。

无线信道按照传播方式区分，基本上有地波、天波和视线传播三种；另外，还有散射传播，包括对流层散射、电离层散射和流星余迹散射。为了增大通信距离，可以采用转发站转发信号。用地面转发站转发信号的方法称为无线电中继通信；用人造卫星转发信号的方法称为卫星通信；用平流层平台传发信号的方法称为平流层通信。

有线信道分为有线电信道和有线光信道两大类。有线电信道有明线、对称电缆、同轴电缆之分。有线光信道中的光信号在光纤中传输。光纤按照传输模式分为单模光纤和多模光纤。按照光纤中折射率变化的不同，光纤又分为阶跃型光纤和梯度型光纤。

信道的数学模型分为调制信道模型和编码信道模型两类。调制信道模型用加性干扰和乘性干扰表示信道对于信号传输的影响。加性干扰是叠加在信号上的各种噪声。乘性干扰使信号产生各种失真，包括线性失真、非线性失真、时间延迟以及衰减等。乘性干扰随机变化的信道称为随参信道；乘性干扰基本保持恒定的信道称为恒参信道。由于编码信道包含调制信道在内，故加性和乘性干扰都对编码信道有影响。这种影响的结果是使编码信道中传输的数字码元产生错误。所以编码信道模型主要用定量表示错误的转移概率描述其特性。

恒参信道产生的失真主要是线性失真，线性失真通常可以用线性网络补偿，得到克服。随参信道对于信号传输的影响主要是多径效应。多径效应会使数字信号的码间串扰增大。

经过信道传输后的数字信号分为三类：第一类为确知信号；第二类为随相信号；第三类为起伏信号。

噪声能使模拟信号失真，使数字信号发生错码，并限制着信息的传输速率。按照来源分类，噪声可以分成人为噪声和自然噪声两大类。自然噪声中的热噪声来自一切电阻性元器件中电子的热运动。热噪声本身是白色的。但是，热噪声经过接收机带通滤波器的过滤后，其带宽受到了限制，成为窄带噪声。

信道容量是指信道能够传输的最大平均信息量。按照离散信道和连续信道的不同，信道容量分别有不同的计算方法。离散信道的容量单位可以是 b / 符号或是 b/s；连续信道容量的单位是 b/s。

由连续信道容量的公式得知，带宽、信噪比是容量的决定因素。带宽和信噪功率比可以互换，增大带宽可以降低信噪功率比而保持信道容量不变。但是，无限增大带宽，并不能无限增大信道容量。当 \(S/n_{0}\) 给定时，无限增大带宽得到的容量只趋近于 \(1.44(S/n_{0})b/s\) 。

思考题

4-1 无线信道有哪些种？

4-2 地波传播距离能达到多远？它适用在什么频段？

4-3 天波传播距离能达到多远？它适用在什么频段？

4-4 视距传播距离和天线高度有什么关系？

4-5 散射传播有哪些种？各适用在什么频段？

4-6 何谓多径效应？

4-7 什么是快衰落？什么是慢衰落？

4-8 何谓恒参信道？何谓随参信道？它们分别对信号传输有哪些主要影响？

4-9 何谓加性干扰？何谓乘性干扰？

4-10 有线电信道有哪些种？

4-11 何谓阶跃型光纤？何谓梯度型光纤？

4-12 何谓多模光纤？何谓单模光纤？

4-13 适合在光纤中传输的光波波长有哪几个？

4-14 信道中的噪声有哪几种？

4-15 热噪声是如何产生的？

4-16 信道模型有哪几种？

4-17 试述信道容量的定义。

4-18 试写出连续信道容量的表示式。由此式看出信道容量的大小决定于哪些参量？

习题

4-1 设一条无线链路采用视距传播方式通信，其收发天线的架设高度都等于 40m,

第 4 章 信道

若不考虑大气折射率的影响，试求其最远通信距离。

参考文献

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