第7章 数字带通传输系统

第 7 章 数字带通传输系统

数字信号的传输方式分为基带传输（baseband transmission）和带通传输（bandpass transmission）。第 6 章已经详细地描述了数字信号的基带传输。然而，实际中的大多数信道（如无线信道）因具有带通特性而不能直接传送基带信号，这是因为数字基带信号往往具有丰富的低频分量。为了使数字信号在带通信道中传输，必须用数字基带信号对载波进行调制，以使信号与信道的特性相匹配。这种用数字基带信号控制载波，把数字基带信号变换为数字带通信号（已调信号）的过程称为数字调制（digital modulation）。在接收端通过解调器把带通信号还原成数字基带信号的过程称为数字解调（digital demodulation）。通常把包括调制和解调过程的数字传输系统叫做数字带通传输系统。

一般来说，数字调制与模拟调制的基本原理相同，但是数字信号有离散取值的特点。因此数字调制技术有两种方法:① 利用模拟调制的方法去实现数字式调制，即把数字调制看成是模拟调制的一个特例，把数字基带信号当做模拟信号的特殊情况处理；② 利用数字信号的离散取值特点通过开关键控载波，从而实现数字调制。这种方法通常称为键控法，比如对载波的振幅、频率和相位进行键控，便可获得振幅键控 (ASK)、频移键控 (FSK) 和相移键控 (PSK) 三种基本的数字调制方式。图 7-1 给出了相应的信号波形的示例。

数字信息有二进制和多进制之分，因此，数字调制可分为二进制调制和多进制调制。在二进制调制中，信号参量只有两种可能的取值；而在多进制调制中，信号参量可能有 \(M(M>2)\) 种取值。本章主要讨论二进制数字调制系统的原理及其抗噪声性能，并简要介绍多进制数字调制基本原理。一些改进的、现代的、特殊的调制方式如 QAM、MSK、GM-SK、OFDM 等将放在第 8 章中进行讨论。

7.1 二进制数字调制原理

调制信号是二进制数字基带信号时的调制称为二进制数字调制。在二进制数字调制中，载波的幅度、频率和相位只有两种变化状态。相应的调制方式有二进制振幅键控 (2ASK)、二进制频移键控 (2FSK) 和二进制相移键控 (2PSK)。

7.1.1 二进制振幅键控

1. 2ASK 基本原理

振幅键控是利用载波的幅度变化来传递数字信息，而其频率和初始相位保持不变。在 2ASK 中，载波的幅度只有两种变化状态，分别对应二进制信息 “0” 或 “1”。一种常用的、也是最简单的二进制振幅键控方式称为通一断键控 (OOK), 其表达式为

\[ e _ {0 0 \mathrm{K}} (t) = \left\{ \begin{array}{c l} A \cos \omega_ {\mathrm{c}} t & \text {以概率} P \text {发送}" 1" \text {时} \\ 0 & \text {以概率} 1 - P \text {发送}" 0" \text {时} \end{array} \right. \tag {7.1-1} \]

典型波形如图 7-2 所示。可见，载波在二进制基带信号 \(s(t)\) 控制下通一断变化，所以这种键控又称为通一断键控。在 OOK 中，某一种符号（“0” 或 “1”）用有没有电压来表示。

2ASK 信号的一般表达式为

\[ e _ {2 \mathrm{ASK}} (t) = s (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {7.1-2} \]

其中

\[ s (t) = \sum_ {n} a _ {n} g (t - n T _ {\mathrm{B}}) \tag {7.1-3} \]

式中： \(T_{B}\) 为码元持续时间； \(g(t)\) 为持续时间为 \(T_{B}\) 的基带脉冲波形。为简便起见，通常假设 \(g(t)\) 是高度为 1、宽度等于 \(T_{B}\) 的矩形脉冲； \(a_{n}\) 是第 n 个符号的电平取值。若取

\[ a _ {n} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \text {概率为} P \\ 0 & \text {概率为} 1 - P \end{array} \right. \tag {7.1-4} \]

则相应的 2ASK 信号就是 OOK 信号。

2ASK/OOK 信号的产生方法通常有两种：模拟调制法 (相乘器法) 和键控法，相应的调制器如图 7-3 所示。图 (a) 就是一般的模拟幅度调制的方法，用乘法器 (multiplier) 实现；图 (b) 是一种数字键控法，其中的开关电路受 \(s(t)\) 控制。

7.1 一进制数字调制原理

与 AM 信号的解调方法一样。2ASK/OOK 信号也有两种基本的解调方法：非相干 (noncoherent) 解调 (包络检波法) 和相干 (coherent) 解调 (同步检测法), 相应的接收系统组成方框图如图 7-4 所示。与模拟信号的接收系统相比，这里增加了一个 “抽样判决器” 方框，这对于提高数字信号的接收性能是必要的。

图 7-5 给出了 2ASK/OOK 信号非相干解调过程的时间波形。

2ASK 是 20 世纪初最早运用于无线电报中的数字调制方式之一。但是，ASK 传输技术受噪声影响很大。噪声电压和信号一起改变了振幅。在这种情况下，“0” 可能变为 “1”, “1” 可能变为 “0”。可以想象，对于主要依赖振幅来识别比特的 ASK 调制方法，噪声是一个很大的问题。由于 ASK 是受噪声影响最大的调制技术 (详见 7.3 节), 现已较少应用，不过，2ASK 常常作为研究其他数字调制的基础，还是有必要了解它。

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2. 2ASK 功率谱密度

由于 2ASK 信号是随机的功率信号，故研究它的频谱特性时，应该讨论它的功率谱密度。

根据式 \((7.1-2)\) ，2ASK 信号可以表示成

\[ e _ {2 \mathrm{ASK}} (t) = s (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {7.1-5} \]

式中： \(s(t)\) 为随机的单极性 (single-polarity) 二进制基带脉冲序列。

因为两个独立平稳过程乘积的功率谱密度等于它们各自功率谱密度的卷积 (见习题 3-4 的结果)，所以将 \(s(t)\) 的功率谱密度与 \(\cos\omega_{c}t\) 的功率谱密度 (见例 2-8) 进行卷积运算，可得到 2ASK 信号的功率谱密度表达式：

\[ P _ {2 \mathrm{ASK}} (f) = \frac {1}{4} \left[ P _ {\mathrm{s}} (f + f _ {\mathrm{c}}) + P _ {\mathrm{s}} (f - f _ {\mathrm{c}}) \right] \tag {7.1-6} \]

可见，2ASK 信号的功率谱 \(P_{2\mathrm{ASK}}(f)\) 是单极性基带信号功率谱 \(P_{s}(f)\) （见例 6-1 中式 (6.1-30) 和图 6-3 (a)）的线性搬移，其曲线如图 7-6 所示。

从以上分析及图 7-6 可以看出：第一，2ASK 信号的功率谱由连续谱和离散谱两部分组成；连续谱取决于 \(g(t)\) 经线性调制后的双边带谱，而离散谱由载波分量确定。第二，2ASK 信号的带宽 \(B_{2ASK}\) 是基带信号带宽的 2 倍，若只计谱的主瓣 (main lobe)(第一个谱零点位置), 则有

\[ B _ {2 \mathrm{ASK}} = 2 f _ {\mathrm{B}} \tag {7.1-7} \]

其中， \(f_{B}=1/T_{B}=R_{B}\) （码元速率）。

由此可见，2ASK 信号的传输带宽是码元速率的 2 倍。

7.1.2 二进制频移键控

1. 2FSK 基本原理

频移键控是利用载波的频率变化来传递数字信息。在 2FSK 中，载波的频率随二进制基带信号在 \(f_{1}\) 和 \(f_{2}\) 两个频率点间变化。故其表达式为

7.1 进制数字调制原理

\[ e _ {2 \mathrm{FSK}} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} A \cos (\omega_ {1} t + \varphi_ {n}) & \text { 发送“1”时 } \\ A \cos (\omega_ {2} t + \theta_ {n}) & \text { 发送“0”时 } \end{array} \right. \tag {7.1-8} \]

典型波形如图 7-7 所示。由图可见，2FSK 信号的波形 (a) 可以分解为波形 (b) 和波形 (c)，也就是说，一个 2FSK 信号可以看成是两个不同载频的 2ASK 信号的叠加。因此，2FSK 信号的时域表达式又可写成

\[ e _ {2 \mathrm{FSK}} (t) = s _ {1} (t) \cos (\omega_ {1} t + \varphi_ {n}) + s _ {2} (t) \cos (\omega_ {2} t + \theta_ {n}) \tag {7.1-9} \]

式中： \(S_{1}(t)\) 和 \(S_{2}(t)\) 均为单极性脉冲序列，且当 \(S_{1}(t)\) 为正电平脉冲时， \(S_{2}(t)\) 为零电平，反之亦然； \(\varphi_{n}\) 和 \(\theta_{n}\) 分别是第 n 个信号码元（1 或 0）的初始相位。在移频键控中， \(\varphi_{n}\) 和 \(\theta_{n}\) 不携带信息，通常可令 \(\varphi_{n}\) 和 \(\theta_{n}\) 均为零。因此，2FSK 信号的表达式可简化为

\[ e _ {2 \mathrm{FSK}} (t) = s _ {1} (t) \cos \omega_ {1} t + s _ {2} (t) \cos \omega_ {2} t \tag {7-10} \]

2FSK 信号的产生方法主要有两种。一种可以采用模拟调频电路来实现；另一种可以采用键控法来实现，即在二进制基带矩形脉冲序列的控制下通过开关电路对两个不同的独立频率源进行选通，使其在每一个码元 \(T_{B}\) 期间输出 \(f_{1}\) 或 \(f_{2}\) 两个载波之一，如图 7-8 所示。这两种方法产生 2FSK 信号的差异在于：由调频法产生的 2FSK 信号在相邻码元之间的相位是连续变化的，这是一类特殊的 FSK, 称为连续相位 FSK (CPFSK); 而键控法产生的 2FSK 信号，是由电子开关在两个独立的频率源之间转换形成，故相邻码元之间的相位不一定连续。

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2FSK 信号的常用解调方法是采用如图 7-9 所示的非相干解调（包络检波）和相干解调。其解调原理是将 2FSK 信号分解为上下两路 2ASK 信号分别进行解调，然后进行判决（decision）。这里的抽样判决是直接比较两路信号抽样值的大小，可以不专门设置门限。判决规则应与调制规则相呼应，调制时若规定 “1” 符号对应载波频率 \(f_{1}\) ，则接收时上支路的样值较大，应判为 “1”；反之则判为 “0”。

除此之外，2FSK 信号还有其他解调方法，比如鉴频法、差分检测法、过零（zero crossing) 检测法等。图 7-10 给出了过零检测法的原理框图及各点时间波形。过零检测的原理基于 2FSK 信号的过零点数随不同频率而异，通过检测过零点数目的多少，从而区分两个不同频率的信号码元。在图 7-10 中，2FSK 信号经限幅、微分、整流后形成与频率变化相对应的尖脉冲序列，这些尖脉冲的密集程度反映了信号的频率高低，尖脉冲的个数就是信号过零点数。把这些尖脉冲变换成较宽的矩形脉冲，以增大其直流分量，该直流分量的大小和信号频率的高低成正比。然后经低通滤波器取出此直流分量，这样就完成了频率一幅度变换，从而根据直流分量幅度上的区别还原出数字信号 “1” 和 “0”。

2FSK 在数字通信中应用较为广泛。国际电信联盟（ITU）建议在数据传输速率低于 1200b/s 时采用 2FSK 体制。2FSK 可以采用非相干接收方式，接收时不必利用信号的相位信息，因此特别适合应用于衰落信道 / 随参信道（如短波无线电信道）的场合，这些信道会引起信号的相位和振幅随机抖动和起伏。

7.1

一进制数字调制原理

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The quick brown fox jumps over the lazy dog.

2. 2FSK 功率谱密度

由式 (7.1-10) 可知，相位不连续的 2FSK 信号可以看成是两个不同载频的 2ASK 信号的叠加，因此，2FSK 的功率谱可以近似表示成中心频率分别为 \(f_{1}\) 和 \(f_{2}\) 的两个 2ASK 功率谱的组合，即

\[ \begin{array}{l} P _ {2 \mathrm{FSK}} (f) = \frac {1}{4} \left[ P _ {\mathrm{s} 1} (f - f _ {1}) + P _ {\mathrm{s} 1} (f + f _ {1}) \right] + \\ \frac {1}{4} \left[ P _ {\mathrm{s2}} (f - f _ {2}) + P _ {\mathrm{s2}} (f + f _ {2}) \right] \tag {7.1-11} \\ \end{array} \]

其典型曲线如图 7-11 所示。

由图 7-11 可以看出：第一，相位不连续 2FSK 信号的功率谱由连续谱和离散谱组成。其中，连续谱由两个中心位于 \(f_{1}\) 和 \(f_{2}\) 处的双边谱叠加而成，离散谱位于两个载频 \(f_{1}\) 和 \(f_{2}\) 处；第二，连续谱的形状随着两个载频之差 \(\left|f_1 - f_2\right|\) 的大小而变化，若 \(\left|f_1 - f_2\right| < f_{\mathrm{B}}\) 连续谱在 \(f_{0}\) 处出现单峰；若 \(\left|f_1 - f_2\right| > f_{\mathrm{B}}\) ，出现双峰；第三，若以功率谱第一个零点之间的频率间隔计算 2FSK 信号的带宽，则其带宽近似为

第 7 章 数字带通传输系统

\[ B _ {2 \mathrm{FSK}} \approx | f _ {2} - f _ {1} | + 2 f _ {\mathrm{B}} \tag {7.1-12} \]

式中： \(f_{B}=1/T_{B}\) 为基带信号的带宽。

7.1.3 二进制相移键控

1. 2PSK 基本原理

相移键控是利用载波的相位变化来传递数字信息，而振幅和频率保持不变。在 2PSK 中，通常用初始相位 0 和 \(\pi\) 分别表示二进制 “1” 和 “0”。因此，2PSK 信号的时域表达式为

\[ e _ {2 \mathrm{PSK}} (t) = \mathrm{A} \cos (\omega_ {\mathrm{c}} t + \varphi_ {n}) \tag {7.1-13} \]

式中： \(\varphi_{n}\) 表示第 n 个符号的绝对相位，即

\[ \varphi_ {n} = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \text { 发送“0”时 } \\ \pi & \text { 发送“1”时 } \end{array} \right. \tag {7.1-14} \]

因此，式 \((7.1-13)\) 可以改写为

\[ e _ {2 \mathrm{PSK}} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} \mathrm{Acos} \omega_ {\mathrm{c}} t & \text {概率为} P \\ - \mathrm{Acos} \omega_ {\mathrm{c}} t & \text {概率为} 1 - P \end{array} \right. \tag {7.1-15} \]

典型波形如图 7-12 所示。

由于表示信号的两种码元的波形相同，极性相反，故 2PSK 信号一般可以表述为一个双极性 (bipolarity) 全占空 (100% duty ratio) 矩形脉冲序列与一个正弦载波的相乘，即

\[ e _ {2 \mathrm{PSK}} (t) = s (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {7.1-16} \]

其中

\[ s (t) = \sum_ {n} a _ {n} g (t - n T _ {\mathrm{B}}) \]

这里，\(g(t)\) 为脉宽为 \(T_{B}\) 的单个矩形脉冲；\(a_{n}\) 的统计特性为

\[ a _ {n} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \text {概率为} P \\ - 1 & \text {概率为} 1 - P \end{array} \right. \tag {7.1-17} \]

即发送二进制符号 “0” 时 \((a_{n}=+1)\) ， \(e_{2\mathrm{PSK}}(t)\) 取 0 相位；发送二进制符号 “1” 时 \((a_{n}=-1)\) ， \(e_{2\mathrm{PSK}}(t)\) 取 \(\pi\) 相位。这种以载波的不同相位直接去表示相应二进制数字信号的调制方式，称为二进制绝对相移方式。

7.1 一进制数字调制原理

2PSK 信号的调制原理框图如图 7-13 所示。与 2ASK 信号的产生方法相比较，只是对 \(s(t)\) 的要求不同，在 2ASK 中 \(s(t)\) 是单极性的，而在 2PSK 中 \(s(t)\) 是双极性的基带信号。

2PSK 信号的解调通常采用相干解调法，解调器原理框图如图 7-14 所示。在相干解调中，如何得到与接收的 2PSK 信号同频同相的相干载波是个关键问题。这一问题将在第 13 章同步原理中介绍。

2PSK 信号相干解调各点时间波形如图 7-15 所示。图中，假设相干载波的基准相位与 2PSK 信号的调制载波的基准相位一致 (通常默认为 0 相位)。但是，由于在 2PSK 信号的载波恢复过程中存在着 \(180^{\circ}\) 的相位模糊 (phase ambiguity) (详见第 13 章), 即恢复的本地载波与所需的相干载波可能同相，也可能反相，这种相位关系的不确定性将会造成解调出的数字基带信号与发送的数字基带信号正好相反，即 “1” 变为 “0”, “0” 变为 “1”, 判决器输出数字信号全部出错。这种现象称为 2PSK 方式的 “倒 \(\pi\)” 现象或 “反相工作”。这也是 2PSK 方式在实际中很少采用的主要原因。另外，在随机信号码元序列中，信号波形有可能出现长时间连续的正弦波形，致使在接收端无法辨认信号码元的起止时刻。

为了解决上述问题，可以采用 7.1.4 节中将要讨论的差分相移键控 (DPSK) 体制。

2. 2PSK 功率谱密度

比较 2ASK 信号的表达式 (7.1-2) 和 2PSK 信号的表达式 (7.1-16) 可知，两者的表示形式完全一样，区别仅在于基带信号 \(s(t)\) 不同 \((a_{n}\) 不同），前者为单极性，后者为双极性。因此，可以直接引用 2ASK 信号功率谱密度的公式 (7.1-6) 来表述 2PSK 信号的功率谱，即

第 7 章

数字带通传输系统

\[ P _ {\mathrm{2PSK}} (f) = \frac {1}{4} \big [ P _ {\mathrm{s}} (f + f _ {\mathrm{c}}) + P _ {\mathrm{s}} (f - f _ {\mathrm{c}}) \big ] \tag {7.1-18} \]

应当注意，这里的 \(P_{s}(f)\) 是双极性的随机矩形脉冲序列的功率谱。

利用例 6-2 中式 (6.1-34) 和图 6-3 (b) 可得 2PSK 信号的功率谱密度为

\[ P _ {2 \mathrm{PSK}} (f) = \frac {T _ {\mathrm{B}}}{4} \left[ \left| \frac {\sin \pi (f + f _ {\mathrm{c}}) T _ {\mathrm{B}}}{\pi (f + f _ {\mathrm{c}}) T _ {\mathrm{B}}} \right| ^ {2} + \left| \frac {\sin \pi (f - f _ {\mathrm{c}}) T _ {\mathrm{B}}}{\pi (f - f _ {\mathrm{c}}) T _ {\mathrm{B}}} \right| ^ {2} \right] \tag {7.1-19} \]

其曲线如图 7-16 所示。

从以上分析可见，二进制相移键控信号的频谱特性与 2ASK 的十分相似，带宽也是基带信号带宽的 2 倍。区别仅在于当 P=1/2 时，其谱中无离散谱 (即载波分量), 此时 2PSK 信号实际上相当于抑制载波的双边带信号。因此，它可以看作是双极性基带信号作用下的调幅信号。

7.1 二进制数字调制原理

7.1.4 二进制差分相移键控

1. 2DPSK 基本原理

前面讨论的 2PSK 信号中，相位变化是以未调载波的相位作为参考基准的。由于它利用载波相位的绝对数值表示数字信息，所以又称为绝对相移。已经指出，2PSK 相干解调时，由于载波恢复中相位有 0、π 模糊性，导致解调过程出现 “反相工作” 现象，恢复出的数字信号 “1” 和 “0” 倒置，从而使 2PSK 难以实际应用。为了克服此缺点，提出了二进制差分相移键控 (2DPSK) 方式。

2DPSK 是利用前后相邻码元的载波相对相位变化传递数字信息，所以又称相对相移键控。假设 \(\Delta\varphi\) 为当前码元与前一码元的载波相位差，可定义一种数字信息与 \(\Delta\varphi\) 之间的关系为

\[ \Delta \varphi = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \text {表示数字信息“0”} \\ \pi & \text {表示数字信息“1”} \end{array} \right. \tag {7.1-20} \]

于是可以将一组二进制数字信息与其对应的 2DPSK 信号的载波相位关系示例如下：

二进制数字信息：1 1 0 1 0 0 1 1 0

2DPSK 信号相位：（0）π 0 0 π π π 0 π π

或 \((\pi)\) 0 \(\pi\) \(\pi\) 0 0 0 \(\pi\) 0 0

相应的 2DPSK 信号的典型波形如图 7-17 所示。数字信息与 \(\Delta \varphi\) 之间的关系也可定义为

\[ \Delta \varphi = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \text {表示数字信息“1”} \\ \pi & \text {表示数字信息“0”} \end{array} \right. \]

由此示例可知，对于相同的基带数字信息序列，由于序列初始码元的参考相位不同，2DPSK 信号的相位可以不同。也就是说，2DPSK 信号的相位并不直接代表基带信号，而前后码元相对相位的差才唯一决定信息符号。

为了更加直观地说明信号码元的相位关系，我们可以用矢量图来表述。按照 (7.1-20) 的定义关系，我们可以用如图 7-18 (a) 所示的矢量图来表示，图中，虚线矢量位置称为参考相位，并且假设在一个码元持续时间中有整数个载波周期。在绝对相移中，它是未调制载波的相位；在相对相移中，它是前一码元的载波相位，当前码元的相位可能是 0 或 \(\pi\) 。但是按照这种定义，在某个长的码元序列中，信号波形的相位可能仍没有突跳点，致使在接收端无法辨认信号码元的起止时刻。这样，2DPSK 方式虽然解决了载波相位不确定性问题，但是码元的定时问题仍没有解决。

第 7 章 数字带通传输系统

为了解决定时问题，可以采用图 7-18 (b) 所示的相移方式。这时，当前码元的相位相对于前一码元的相位改变 \(\pm\pi/2\) 。因此，在相邻码元之间必定有相位突跳。在接收端检测此相位突跳就能确定每个码元的起止时刻，即可提供码元定时信息 (此问题在第 13 章中讨论)。图 7-18 (a) 所示的相移方式称为 A 方式；图 7-18 (b) 所示的相移方式称为 B 方式。

2DPSK 信号的产生方法可以通过观察图 7-17 得到一种启示：先对二进制数字基带信号进行差分编码，即把表示数字信息序列的绝对码变换成相对码 (差分码), 然后再根据相对码进行绝对调相，从而产生二进制差分相移键控信号。2DPSK 信号调制器键控法原理框图如图 7-19 所示。

这里的差分码概念就是 6.1.1 节中介绍的一种差分波形。差分码可取传号差分码或空号差分码。其中，传号差分码的编码规则为

\[ b _ {n} = a _ {n} \oplus b _ {n - 1} \tag {7.1-21} \]

式中： \(a_{n}\) 为绝对码； \(b_{n}\) 为相对码； \(\oplus\) 为模 2 加； \(b_{n-1}\) 为 \(b_{n}\) 的前一码元，最初的 \(b_{n-1}\) 可任意设定。

由图 7-17 中已调信号的波形可知，这里使用的就是传号差分码，即载波的相位遇到原数字信息 “1” 变化，遇到 “0” 则不变，载波相位的这种相对变化就携带了数字信息。

式 (7.1-21) 称为差分编码 (码变换)，即把绝对码 \(a_{n}\) 变换为相对码 \(b_{n}\) ；其逆过程称为差分译码 (码反变换)，即

\[ a _ {n} = b _ {n} \oplus b _ {n - 1} \tag {7.1-22} \]

7.1 二进制数字调制原理

2DPSK 信号的解调方法之一是相干解调 (极性比较法) 加码反变换法。其解调原理是：对 2DPSK 信号进行相干解调，恢复出相对码，再经码反变换器变换为绝对码，从而恢复出发送的二进制数字信息。在解调过程中，由于载波相位模糊性的影响，使得解调出的相对码也可能是 “1” 和 “0” 倒置，但经差分译码 (码反变换) 得到的绝对码不会发生任何倒置的现象，从而解决了载波相位模糊性带来的问题。2DPSK 的相干解调器原理框图和各点波形如图 7-20 所示。

2DPSK 信号的另一种解调方法是差分相干解调 (相位比较法)，其原理框图和解调过程各点时间波形如图 7-21 所示。用这种方法解调时不需要专门的相干载波，只需由收到的 2DPSK 信号延时一个码元间隔 \(T_{\mathrm{B}}\) ，然后与 2DPSK 信号本身相乘。相乘器起着相位比较的作用，相乘结果反映了前后码元的相位差，经低通滤波后再抽样判决，即可直接恢复出原始数字信息，故解调器中不需要码反变换器。

2DPSK 系统是一种实用的数字调相系统，但其抗加性白噪声性能比 2PSK 的要差。

2. 2DPSK 功率谱密度

从前面讨论的 2DPSK 信号的调制过程及其波形可以知道，2DPSK 可以与 2PSK 具有相同形式的表达式，见式 (7.1-16)。所不同的是 2PSK 中的基带信号 \(s(t)\) 对应的是绝对码序列；而 2DPSK 中的基带信号 \(s(t)\) 对应的是码变换后的相对码序列。因此，2DPSK 信号和 2PSK 信号的功率谱密度是完全一样的，即上一节中的式 (7.1-19) 及图 7-16 也可用来表述 2DPSK 信号功率谱。信号带宽为

第 7 章 数字带通传输系统

\[ B _ {2 \mathrm{DPSK}} = B _ {2 \mathrm{PSK}} = 2 f _ {\mathrm{B}} \]

与 2ASK 相同，也是码元速率的 2 倍。

7.2 二进制数字调制系统的抗噪声性能

以上我们详细讨论了二进制数字调制系统的原理。本节将分别讨论 2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK 系统的抗噪声性能。

通信系统的抗噪声性能是指系统克服加性噪声影响的能力。在数字通信系统中，信道噪声有可能使传输码元产生错误，错误程度通常用误码率来衡量。因此，与分析数字基带系统的抗噪声性能一样，分析数字调制系统的抗噪声性能，也就是求系统在信道噪声干扰下的总误码率。

分析条件：假设信道特性是恒参信道，在信号的频带范围内具有理想矩形的传输特性 (可取其传输系数为 K); 信道噪声是加性高斯白噪声。并且认为噪声只对信号的接收带来影响，因而分析系统性能是在接收端进行的。

7.2.1 2ASK 系统的抗噪声性能

由 7.1 节可知，2ASK 信号的解调方法有包络检波法和相干解调。下面将分别讨论这

7.2 二进制数字调制系统的抗噪声性能

两种解调方法的误码率。

1. 相干解调法的系统性能

对 2ASK 信号，相干解调法的系统性能分析模型如图 7-22 所示。

对于 2ASK 系统，设在一个码元的持续时间 \(T_{B}\) 内，其发送端输出的信号波形 \(s_{\mathrm{T}}(t)\) 可以表示为

\[ s _ {\mathrm{T}} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} A \cos \omega_ {\mathrm{c}} t & \text { 发送“1”时 } \\ 0 & \text { 发送“0”时 } \end{array} \right. \tag {7.2-1} \]

则在每一段时间 \((0, T_{\mathrm{B}})\) 内，接收端的输入波形为

\[ y _ {i} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} a \cos \omega_ {\mathrm{c}} t + n _ {i} (t) & \text { 发送“1”时 } \\ n _ {i} (t) & \text { 发送“0”时 } \end{array} \right. \tag {7.2-2} \]

其中，a = AK, K 为信道传输系数（这里认为信号经过信道传输后只受到固定衰减，未产生失真）；而 \(n_{i}(t)\) 是均值为 0 的加性高斯白噪声。

假设接收端带通滤波器具有理想矩形传输特性，恰好使信号无失真通过，则带通滤波器的输出波形为

\[ y (t) = \left\{ \begin{array}{l l} a \cos \omega_ {\mathrm{c}} t + n (t) & \text { 发送“1”时 } \\ n (t) & \text { 发送“0”时 } \end{array} \right. \tag {7.2-3} \]

其中， \(n(t)\) 是高斯白噪声 \(n_{i}(t)\) 经过带通滤波器的输出噪声。由第 3 章随机信号分析可知， \(n(t)\) 为窄带高斯噪声，其均值为 0，方差为 \(\sigma_{n}^{2}\) ，且可表示为

\[ n (t) = n _ {\mathrm{c}} (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t - n _ {\mathrm{s}} (t) \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {7.2-4} \]

于是

\[ \begin{array}{l} y (t) = \left\{ \begin{array}{c} a \cos \omega_ {c} t + n _ {c} (t) \cos \omega_ {c} t - n _ {s} (t) \sin \omega_ {c} t \\ n _ {c} (t) \cos \omega_ {c} t - n _ {s} (t) \sin \omega_ {c} t \end{array} \right. \\ = \left\{ \begin{array}{l l} {[ a + n _ {\mathrm{c}} (t) ] \cos \omega_ {\mathrm{c}} t - n _ {\mathrm{s}} (t) \sin \omega_ {\mathrm{c}} t} & {\text {发“1”时}} \\ {n _ {\mathrm{c}} (t) \cos \omega_ {\mathrm{c}} t - n _ {\mathrm{s}} (t) \sin \omega_ {\mathrm{c}} t} & {\text {发“0”时}} \end{array} \right. \tag {7.2-5} \\ \end{array} \]

\(y(t)\) 与相干载波 \(2\cos \omega_{c}t\) 相乘，然后由低通滤波器滤除高频分量，在抽样判决器输入端得到的波形为

第 7 章 数字带通传输系统

\[ x (t) = \left\{ \begin{array}{l l} a + n _ {c} (t) & \text { 发送“1”符号 } \\ n _ {c} (t) & \text { 发送“0”符号 } \end{array} \right. \tag {7.2-6} \]

其中，a 为信号成分，由于 \(n_{\mathrm{c}}(t)\) 也是均值为 0，方差为 \(\sigma_{n}^{2}\) 的高斯噪声，所以 \(x(t)\) 也是一个高斯随机过程，其均值分别为 a（发 “1” 时）和 0（发 “0” 时），方差等于 \(\sigma_{n}^{2}\) 。

设对第 k 个符号的抽样时刻为 \(kT_{B}\) ，则 \(x(t)\) 在 \(kT_{B}\) 时刻的抽样值

\[ x = x (k T _ {\mathrm{B}}) = \left\{ \begin{array}{l l} a + n _ {\mathrm{c}} (k T _ {\mathrm{B}}) & \text {发送“1”时} \\ n _ {\mathrm{c}} (k T _ {\mathrm{B}}) & \text {发送“0”时} \end{array} \right. \tag {7.2-7} \]

是一个高斯随机变量。因此，发送 “1” 时， \(x\) 的一维概率密度函数为

\[ f _ {1} (x) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}} \exp \left\{- \frac {(x - a) ^ {2}}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \right\} \tag {7.2-8} \]

发送 “0” 时， \(x\) 的一维概率密度函数为

\[ f _ {0} (x) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}} \exp \left\{- \frac {x ^ {2}}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \right\} \tag {7.2-9} \]

\(f_{1}(x)\) 和 \(f_{0}(x)\) 的曲线形状如图 7-23 所示。

若取判决门限为 \(b\) ，规定判决规则为

\[ x > b \text { 时,判为“1” } \]

\[ x \leqslant b \text { 时,判为“0” } \]

则当发送 “1” 时，错误接收为 “0” 的概率是抽样值 \(x \leqslant b\) 的概率，即

\[ P (0 / 1) = P (x \leqslant b) = \int_ {- \infty} ^ {b} f _ {1} (x) \mathrm{d} x = 1 - \frac {1}{2} \mathrm{erfc} \left(\frac {b - a}{\sqrt {2} \sigma_ {\mathrm{n}}}\right) \tag {7.2-10} \]

其中， \(\operatorname{erfc}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{\infty} \mathrm{e}^{-u^2} \mathrm{d}u\) 。

同理，发送 “0” 时，错误接收为 “1” 的概率是抽样值 x > b 的概率，即

\[ P (1 / 0) = P (x > b) = \int_ {b} ^ {\infty} f _ {0} (x) \mathrm{d} x = \frac {1}{2} \mathrm{erfc} \left(\frac {b}{\sqrt {2} \sigma_ {\mathrm{n}}}\right) \tag {7.2-11} \]

7.2

1 进制数字调制系统的抗噪声性能

设发 “1” 的概率为 \(P(1)\) ，发 “0” 的概率为 \(P(0)\) ，则同步检测时 2ASK 系统的总误码率为

\[ P _ {\mathrm{e}} = P (1) P (0 / 1) + P (0) P (1 / 0) = P (1) \int_ {- \infty} ^ {b} f _ {1} (x) \mathrm{d} x + P (0) \int_ {b} ^ {\infty} f _ {0} (x) \mathrm{d} x \tag {7.2-12} \]

式 (7.2-12) 表明，当 \(P(1)\) 、 \(P(0)\) 及 \(f_{1}(x)\) 、 \(f_{0}(x)\) 一定时，系统的误码率 \(P_{e}\) 与判决门限 b 的选择密切相关，其几何表示如图 7-23 阴影部分所示。可见，误码率 \(P_{e}\) 等于图中阴影的面积。若改变判决门限 b, 阴影的面积将随之改变，即误码率 \(P_{e}\) 的大小将随判决门限 b 而变化。进一步分析可得，当判决门限 b 取 \(P(1)f_{1}(x)\) 与 \(P(0)f_{0}(x)\) 两条曲线相交点 \(b^{*}\) 时，阴影的面积最小。即判决门限取为 \(b^{*}\) 时，系统的误码率 \(P_{e}\) 最小。因此，\(b^{*}\) 称为最佳判决门限。

利用 6.5 节基带系统的抗噪声性能的分析方法和结果可知，2ASK 相干解调系统的最佳门限为

\[ b ^ {*} = \frac {a}{2} + \frac {\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}}{a} \ln \frac {P (0)}{P (1)} \tag {7.2-13} \]

若发送 “1” 和 “0” 的概率相等，即 \(P(1)=P(0)\) ，则最佳判决门限为

\[ b ^ {*} = \frac {a}{2} \tag {7.2-14} \]

此时，2ASK 相干解调时系统的误码率为

\[ P _ {\mathrm{c}} = \frac {1}{2} \mathrm{erfc} \left(\frac {a}{2 \sqrt {2} \sigma_ {\mathrm{n}}}\right) = \frac {1}{2} \mathrm{erfc} \left(\sqrt {\frac {r}{4}}\right) \tag {7.2-15} \]

式中： \(r=\frac{a^{2}}{2\sigma_{n}^{2}}\) ，为解调器输入端的信噪比，其中 \(\frac{a^{2}}{2}\) 为信号功率， \(\sigma_{n}^{2}=n_{o}B\) 为噪声功率。

当大信噪比 \(r \gg 1\) 时，式 (7.2-15) 可近似表示为

\[ P _ {\mathrm{e}} \approx \frac {1}{\sqrt {\pi r}} \mathrm{e} ^ {- r / 4} \tag {7.2-16} \]

2. 包络检波法的系统性能

参照图 7-4，只需将图 7-22 中的相干解调器（相乘一低通）替换为包络检波器（整流一低通），则可以得到 2ASK 采用包络检波法的系统性能分析模型，故这里不再重画。显然，带通滤波器的输出波形 \(y(t)\) 与相干解调法的相同，同为式 (7.2-5)。

由式 \((7.2-5)\) 可知，包络检波器的输出波形 \(V(t)\) 为

\[ V (t) = \left\{ \begin{array}{l l} \sqrt {[ a + n _ {c} (t) ] ^ {2} + n _ {s} ^ {2} (t)} & \text {发“1”时} \\ \sqrt {n _ {c} ^ {2} (t) + n _ {s} ^ {2} (t)} & \text {发“0”时} \end{array} \right. \tag {7.2-17} \]

由 3.6 节的讨论可知，发 “1” 时的抽样值是广义瑞利型随机变量；发 “0” 时的抽样值

第 7 章 数字带通传输系统

是瑞利型随机变量，它们的一维概率密度函数分别为

\[ f _ {1} (V) = \frac {V}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} I _ {0} \left(\frac {a V}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}}\right) \mathrm{e} ^ {- (1 ^ {2} + a ^ {2}) / 2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \tag {7.2-18} \]

\[ f _ {0} (V) = \frac {V}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \mathrm{e} ^ {- V ^ {2} / 2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \tag {7.2-19} \]

式中： \(\sigma_{n}^{2}\) 为窄带高斯噪声 \(n(t)\) 的方差。

\(f_{1}(V)\) 和 \(f_{0}(V)\) 的曲线如图 7-24 所示。设判决门限为 b，规定判决规则为，抽样值 V > b 时，判为 “1”；抽样值 \(V \leqslant b\) 时，判为 “0”。则发送 “1” 时错判为 “0” 的概率为

\[ P (0 / 1) = P (V \leqslant b) = \int_ {0} ^ {b} f _ {1} (V) \mathrm{d} V \tag {7.2-20} \]

它对应图 7-24 中 b 左边的阴影面积。

同理，当发送 “0” 时错判为 “1” 的概率为

\[ \begin{array}{l} P (1 / 0) = P (V > b) = \int_ {b} ^ {\infty} f _ {0} (V) \mathrm{d} V \\ = \int_ {b} ^ {\infty} \frac {V}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \mathrm{e} ^ {- V ^ {2} / 2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \mathrm{d} V = \mathrm{e} ^ {- b ^ {2} / 2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \tag {7.2-21} \\ \end{array} \]

它对应于图 7-24 中 \(b\) 右边的阴影面积。

当 \(P(1) = P(0)\) 时，系统的总误码率为

\[ \begin{array}{l} P _ {e} = P (1) P (0 / 1) + P (0) P (1 / 0) \\ = \frac {1}{2} \left[ \int_ {0} ^ {b} f _ {1} (V) \mathrm{d} V + \int_ {b} ^ {\infty} f _ {0} (V) \mathrm{d} V \right] \tag {7.2-22} \\ \end{array} \]

它等于图 7-24 所示的两块阴影面积之和的 1/2。显然，当门限 b 处于 \(f_{1}(V)\) 和 \(f_{0}(V)\) 两条曲线的相交点 \(b^{*}\) 时，阴影部分的面积最小，即误码率最小。因此， \(b^{*}\) 就是最佳判决门限值。

解方程

\[ f _ {1} (b ^ {*}) = f _ {0} (b ^ {*}) \]

得

\[ \frac {a ^ {2}}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} = \ln I _ {0} \left(\frac {a b ^ {*}}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}}\right) \tag {7.2-23} \]

式中： \(r = \frac{a^{2}}{2\sigma_{n}^{2}}\) 为解调器输入端的信噪比。

在大信噪比 \((r \gg 1)\) 时，利用公式

\[ I _ {0} (x) \approx \frac {e ^ {x}}{\sqrt {2 \pi x}}, x \gg 1 \]

可将式 \((7.2-23)\) 近似为

7.2 1 进制数字调制系统的抗躁性能

\[ \frac {a ^ {2}}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} = \frac {a b ^ {*}}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} - \ln \sqrt {2 \pi \frac {a b ^ {*}}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}}} \approx \frac {a b ^ {*}}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} (r \gg 1) \tag {7.2-24} \]

故最佳判决门限为

\[ b ^ {*} = \frac {a}{2}, \quad r \gg 1 \tag {7.2-25} \]

在实际工作中，系统总是工作在大信噪比 \((r\gg1)\) 的情况下。此时，\(f_{1}(V)\) 退化为正态分布 (见 3.6 节), 即

\[ f _ {1} (V) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}} \exp \left(- \frac {(V - a) ^ {2}}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}}\right) \tag {7.2-26} \]

因此，利用式 (7.2-10) 的结果可知，发 “1” 错判为 “0” 的概率则变成

\[ \begin{array}{l} P (0 / 1) = P (V \leqslant b) = \int_ {- \infty} ^ {b} \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}} \exp \left(- \frac {(x - a) ^ {2}}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}}\right) \mathrm{d} x \\ = 1 - \frac {1}{2} \operatorname{erfc} \left(\frac {b - a}{\sqrt {2} \sigma_ {\mathrm{n}}}\right) \tag {7.2-27} \\ \end{array} \]

将 \(b = b^{*} = a/2\) 带入式 (7.2 - 27)，并利用 \(\operatorname{erfc}(-x) = 2 - \operatorname{erfc}(x)\) ，则式 (7.2 - 27) 可写成

\[ P (0 / 1) = \frac {1}{2} \operatorname{erfc} \left(\frac {a}{2 \sqrt {2} \sigma_ {\mathrm{n}}}\right) = \frac {1}{2} \operatorname{erfc} \left(\sqrt {\frac {r}{4}}\right) \tag {7.2-28} \]

在最佳门限条件下，式 \((7.2-21)\) 可写成

\[ P (1 / 0) = \mathrm{e} ^ {- b ^ {2} / 2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} = \mathrm{e} ^ {- a ^ {2} / 8 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} = \mathrm{e} ^ {- r / 4} \tag {7.2-29} \]

这时，式 \((7.2-22)\) 所表示的总误码率可简化为

\[ P _ {\mathrm{e}} = \frac {1}{4} \operatorname{erfc} \left(\sqrt {\frac {r}{4}}\right) + \frac {1}{2} \mathrm{e} ^ {- r / 4} \tag {7.2-30} \]

当 \(r \to \infty\) 时，式 (7.2-30) 的下界为

\[ R _ {\mathrm{e}} = \frac {1}{2} \mathrm{e} ^ {- r / 4} \tag {7.2-31} \]

比较相干解调的误码率公式 (7.2-15)、式 (7.2-16) 和包络检波法的误码率公式 (7.2-31) 可以看出：在相同的信噪比条件下，相干解调法的抗噪声性能优于包络检波法，但在大信噪比时，两者性能相差不大。然而，包络检波法不需要相干载波，因而设备比较简单。另外，包络检波法存在门限效应，相干解调法无门限效应。

【例 7-1】设有一 2ASK 信号传输系统，其码元速率为 \(R_{B}=4.8\times10^{6}\) 波特，发 “1” 和发 “0” 的概率相等，接收端分别采用相干解调法和包络检波法解调。已知接收端输入信号的幅度 a=1mV, 信道中加性高斯白噪声的单边功率谱密度 \(n_{0}=2\times10^{-15}W/Hz\) 。试求:

【解】（1）根据 2ASK 信号的频谱分析可知，2ASK 信号所需的传输带宽近似为码元速率的 2 倍，所以接收端带通滤波器带宽为

\[ B = 2 R _ {\mathrm{B}} = 9. 6 \times 1 0 ^ {6} (\mathrm{Hz}) \]

第 7 章 数字带通传输系统

带通滤波器输出噪声平均功率为

\[ \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2} = n _ {0} B = 1. 9 2 \times 1 0 ^ {- 8} (\mathrm{W}) \]

信噪比为

\[ r = \frac {a ^ {2}}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} = \frac {1 \times 1 0 ^ {- 6}}{2 \times 1 . 9 2 \times 1 0 ^ {- 8}} \approx 2 6 \gg 1 \]

于是，相干解调法解调时系统的误码率为

\[ P _ {e} \approx \frac {1}{\sqrt {\pi r}} \mathrm{e} ^ {- r / 4} = \frac {1}{\sqrt {3 . 1 4 1 6 \times 2 6}} \times \mathrm{e} ^ {- 6. 5} = 1. 6 6 \times 1 0 ^ {- 4} \]

(2) 包络检波法解调时系统的误码率为

\[ P _ {e} = \frac {1}{2} \mathrm{e} ^ {- r / 4} = \frac {1}{2} \mathrm{e} ^ {- 6. 5} = 7. 5 \times 1 0 ^ {- 4} \]

可见，在大信噪比的情况下，包络检波法解调性能接近相干解调法解调性能。

7.2.2 2FSK 系统的抗噪声性能

由 7.1 节分析可知，2FSK 信号的解调方法有多种，而误码率和接收方法相关。下面仅就相干解调法和包络检波法这两种方法的系统性能进行分析。

1. 相干解调法的系统性能

2FSK 信号采用相干解调法的性能分析模型如图 7-25 所示。

设 “1” 符号对应载波频率 \(f_{1}(\omega_{1})\) ，“0” 符号对应载波频率 \(f_{2}(\omega_{2})\) ，则在一个码元的持续时间 \(T_{B}\) 内，发送端产生的 2FSK 信号可表示为

\[ s _ {\mathrm{T}} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} A \mathrm{cos} \omega_ {1} t & \text { 发送“1”时 } \\ A \mathrm{cos} \omega_ {2} t & \text { 发送“0”时 } \end{array} \right. \tag {7.2-32} \]

因此，在 \((0, T_{\mathrm{B}})\) 时间内，接收端的输入合成波形为

\[ y _ {i} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} a \cos \omega_ {1} t + n _ {i} (t) & \text { 发送“1”时 } \\ a \cos \omega_ {2} t + n _ {i} (t) & \text { 发送“0”时 } \end{array} \right. \tag {7.2-33} \]

式中： \(a=KA;n_{i}(t)\) 为加性高斯白噪声，其均值为 0。

7.2

二进制数字调制系统的抗噪声性能

在图 7-25 中，解调器采用两个带通滤波器来区分中心频率分别为 \(f_{1}\) 和 \(f_{2}\) 的信号。中心频率为 \(f_{1}\) 的带通滤波器只允许中心频率为 \(f_{1}\) 的信号频谱成分通过，而滤除中心频率为 \(f_{2}\) 的信号频谱成分；中心频率为 \(f_{2}\) 的带通滤波器只允许中心频率为 \(f_{2}\) 的信号频谱成分通过，而滤除中心频率为 \(f_{1}\) 的信号频谱成分。这样，接收端上下支路两个带通滤波器的输出波形分别为

\[ y _ {1} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} a \mathrm{cos} \omega_ {1} t + n _ {1} (t) & \text {发送“1”时} \\ n _ {1} (t) & \text {发送“0”时} \end{array} \right. \tag {7.2-34} \]

\[ y _ {2} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} n _ {2} (t) & \text {发送“1”时} \\ a \cos \omega_ {2} t + n _ {2} (t) & \text {发送“0”时} \end{array} \right. \tag {7.2-35} \]

式中： \(n_{1}(t)\) 和 \(n_{2}(t)\) 分别为高斯白噪声 \(n_{i}(t)\) 经过上下两个带通滤波器的输出噪声 —— 窄带高斯噪声，其均值同为 0，方差同为 \(\sigma_{n}^{2}\) ，只是中心频率不同而已，即

\[ n _ {1} (t) = n _ {1 c} (t) \cos \omega_ {1} t - n _ {1 s} (t) \sin \omega_ {1} t \]

\[ n _ {2} (t) = n _ {2 \mathrm{e}} (t) \cos \omega_ {2} t - n _ {2 \mathrm{s}} (t) \sin \omega_ {2} t \]

现在假设在 \((0,T_{B})\) 时间内发送 “1” 符号 (对应 \(\omega_{1}\)), 则上下支路两个带通滤波器的输出波形分别为

\[ y _ {1} (t) = [ a + n _ {\mathrm{lc}} (t) ] \cos \omega_ {1} t - n _ {\mathrm{ls}} (t) \sin \omega_ {1} t \tag {7.2-36} \]

\[ y _ {2} (t) = n _ {2 \mathrm{c}} (t) \cos \omega_ {2} t - n _ {2 \mathrm{s}} (t) \sin \omega_ {2} t \tag {7.2-37} \]

它们分别经过相干解调 (相乘 — 低通) 后，送入抽样判决器进行比较。比较的两路输入波形分别为

上支路 \(x_{1}(t)=a+n_{1c}(t)\) (7.2-38)

下支路 \(x_{2}(t)=n_{2c}(t)\) (7.2-39)

式中：a 为信号成分； \(n_{1c}(t)\) 和 \(n_{2c}(t)\) 均为低通型高斯噪声，其均值为零，方差为 \(\sigma_{n}^{2}\) 。

因此， \(x_{1}(t)\) 和 \(x_{2}(t)\) 抽样值的一维概率密度函数分别为

\[ f (x _ {1}) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}} \exp \left\{- \frac {(x _ {1} - a) ^ {2}}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \right\} \tag {7.2-40} \]

\[ f (x _ {2}) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}} \exp \left\{- \frac {x _ {2} ^ {2}}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \right\} \tag {7.2-41} \]

当 \(x_{1}(t)\) 的抽样值 \(x_{1}\) 小于 \(x_{2}(t)\) 的抽样值 \(x_{2}\) 时，判决器输出 “0” 符号，造成将 “1” 判为 “0” 的错误，故这时错误概率为

\[ P (0 / 1) = P (x _ {1} \leqslant x _ {2}) = P (x _ {1} - x _ {2} \leqslant 0) = P (z \leqslant 0) \tag {7.2-42} \]

第 7 章 数字带通传输系统

其中， \(z=x_{1}-x_{2}\) ，则 z 是高斯型随机变量，其均值为 a，方差为 \(\sigma_{z}^{2}=2\sigma_{n}^{2}\) 。

设 z 的一维概率密度函数为 \(f(z)\) ，则由式 (7.2-42)，得

\[ \begin{array}{l} P (0 / 1) = P (z \leqslant 0) = \int_ {- \infty} ^ {0} f (z) \mathrm{d} z \\ = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {z}} \int_ {- \infty} ^ {0} \exp \left\{- \frac {(x - a) ^ {2}}{2 \sigma_ {z} ^ {2}} \right\} \mathrm{d} z = \frac {1}{2} \operatorname{erfc} \left(\sqrt {\frac {r}{2}}\right) \tag {7.2-43} \\ \end{array} \]

同理可得，发送 “0” 错判为 “1” 的概率为

\[ P (1 / 0) = P (x _ {1} > x _ {2}) = \frac {1}{2} \mathrm{erfc} \left(\sqrt {\frac {r}{2}}\right) \tag {7.2-44} \]

显然，由于上下支路的对称性，以上两个错误概率相等。于是，采用同步检测时 2FSK 系统的总误码率为

\[ P _ {\mathrm{e}} = \frac {1}{2} \mathrm{erfc} \left(\sqrt {\frac {r}{2}}\right) \tag {7.2-45} \]

其中， \(r=\frac{a^{2}}{2\sigma_{n}^{2}}\) 为解调器输入端（带通滤波器输出端）的信噪比。在大信噪比 \((r\gg1)\) 条件下，式 (7.2-45) 可近似表示为

\[ P _ {\mathrm{e}} \approx \frac {1}{\sqrt {2 \pi r}} \mathrm{e} ^ {- \frac {r}{2}} \tag {7.2-46} \]

2. 包络检波法的系统性能

接收 2FSK 信号的包络检波法的系统性能分析模型，可参照图 7-9, 只需将图 7-25 中的相干解调器 (相乘 — 低通) 替换为包络检波器 (整流 — 低通) 即可，故不再重画。

在前面讨论的基础上，我们很容易求得采用包络检波法接收 2FSK 信号的系统性能。

仍然假定在 \((0,T_{\mathrm{B}})\) 时间内发送 “1” 符号 (对应 \(\omega_{1}\)), 由式 (7.2-36) 和式 (7.2-37) 可得到这时两路包络检波器的输出 (即送入抽样判决器进行比较的两路输入包络) 分别为

上支路 \(V_{1}(t)=\sqrt{\left[a+n_{1c}(t)\right]^{2}+n_{1s}^{2}(t)}\) (7.2-47)

下支路 \(V_{2}(t) = \sqrt{n_{2c}^{2}(t) + n_{2s}^{2}(t)}\) (7.2 - 48)

由随机信号分析可知， \(V_{1}(t)\) 的抽样值 \(V_{1}\) 服从广义瑞利分布， \(V_{2}(t)\) 的抽样值 \(V_{2}\) 服从瑞利分布。其一维概率密度函数分别为

\[ f (V _ {1}) = \frac {V _ {1}}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} I _ {0} \left(\frac {a V _ {1}}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}}\right) \mathrm{e} ^ {- (V _ {1} ^ {2} + a ^ {2}) / 2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \tag {7.2-49} \]

\[ f (V _ {2}) = \frac {V _ {2}}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \mathrm{e} ^ {- V _ {2} ^ {2} / 2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \tag {7.2-50} \]

显然，发送 “1” 时，若 \(V_{1}\) 小于 \(V_{2}\) , 则发生判决错误，其错误概率为

7.2

二进制数字调制系统的抗噪声性能

\[ \begin{array}{l} P (0 / 1) = P \left(V _ {1} \leqslant V _ {2}\right) = \iint_ {c} f \left(V _ {1}\right) f \left(V _ {2}\right) \mathrm{d} V _ {1} \mathrm{d} V _ {2} \\ = \int_ {0} ^ {\infty} f (V _ {1}) \left[ \int_ {V _ {2} = V _ {1}} ^ {\infty} f (V _ {2}) \mathrm{d} V _ {2} \right] \mathrm{d} V _ {1} \\ = \int_ {0} ^ {\infty} \frac {V _ {1}}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} I _ {0} \left(\frac {a V _ {1}}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}}\right) \exp \left[ (- 2 V _ {1} ^ {2} - a ^ {2}) / 2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2} \right] \mathrm{d} V _ {1} \tag {7.2-51} \\ \end{array} \]

令

\[ t = \frac {\sqrt {2} V _ {1}}{\sigma_ {\mathrm{n}}}, \quad z = \frac {a}{\sqrt {2} \sigma_ {\mathrm{n}}} \]

并代入式 \((7.2-51)\) ，经过简化可得

\[ P (0 / 1) = \frac {1}{2} \mathrm{e} ^ {- z ^ {2} / 2} \int_ {0} ^ {\infty} t I _ {0} (z t) \mathrm{e} ^ {- (t ^ {2} + z ^ {2}) / 2} \mathrm{d} t \tag {7.2-52} \]

根据 \(\int_{0}^{\infty}tI_{0}(zt)e^{-(t^{2}+z^{2})/2}dt=1\) ，所以

\[ P (0 / 1) = \frac {1}{2} \mathrm{e} ^ {- z ^ {2} / 2} = \frac {1}{2} \mathrm{e} ^ {- r / 2} \tag {7.2-53} \]

式中： \(r=z^{2}=\frac{a^{2}}{2\sigma_{n}^{2}}\) 。

同理可求得发送 “0” 时判为 “1” 的错误概率 \(P(1/0)\) ，其结果与式 (7.2-53) 完全一样，即有

\[ P (1 / 0) = P \left(V _ {1} > V _ {2}\right) = \frac {1}{2} \mathrm{e} ^ {- r / 2} \tag {7.2-54} \]

于是，2FSK 信号包络检波时系统的总误码率为

\[ P _ {e} = \frac {1}{2} \mathrm{e} ^ {- r / 2} \tag {7.2-55} \]

将式 (7.2-55) 与 2FSK 相干解调时系统的误码率公式 (7.2-46) 比较可见，在大信噪比条件下，2FSK 信号包络检波时的系统性能与相干解调时的性能相差不大，但相干解调法的设备却复杂得多。因此，在满足信噪比要求的场合，多采用包络检波法。另外，对 2FSK 信号还可以采用其他方式进行解调，有兴趣的读者可以参考其他有关书籍。

【例 7-2】采用 2FSK 方式在等效带宽为 \(2400\mathrm{Hz}\) 的传输信道上传输二进制数字。2FSK 信号的频率分别为 \(f_{1} = 980\mathrm{Hz}, f_{2} = 1580\mathrm{Hz}\) ，码元速率 \(R_{\mathrm{B}} = 300\) 波特。接收端输入（即信道输出端）的信噪比为 \(6\mathrm{dB}\) 。试求：

第 7 章 数字带通传输系统

【解】（1）根据式 (7.1-16)，该 2FSK 信号的带宽为

\[ B _ {2 \mathrm{FSK}} = | f _ {2} - f _ {1} | + 2 f _ {\mathrm{B}} = 1 5 8 0 - 9 8 0 + 2 \times 3 0 0 = 1 2 0 0 (\mathrm{Hz}) \]

(2) 由式 (7.2-55) 可知，误码率 \(P_{e}\) 取决于带通滤波器输出端的信噪比 r。由于 FSK 接收系统中上、下支路带通滤波器的带宽近似为

\[ B = 2 f _ {\mathrm{B}} = 2 R _ {\mathrm{B}} = 6 0 0 (\mathrm{Hz}) \]

它仅是信道等效带宽 (2400Hz) 的 1/4, 故噪声功率也减小为 1/4, 因而带通滤波器输出端的信噪比 r 比输入信噪比提高到了 4 倍。又由于接收端输入信噪比为 6dB, 即 4 倍，故带通滤波器输出端的信噪比为

\[ r = 4 \times 4 = 1 6 \]

将此信噪比值代入式 \((7.2-55)\) ，可得包络检波法解调时系统的误码率为

\[ P _ {e} = \frac {1}{2} \mathrm{e} ^ {- r / 2} = \frac {1}{2} \mathrm{e} ^ {- 8} = 1. 7 \times 1 0 ^ {- 4} \]

(3) 同理，由式 (7.2-46) 可得相干解调法解调时系统的误码率为

\[ P _ {r} \approx \frac {1}{\sqrt {2 \pi r}} \mathrm{e} ^ {- \frac {r}{2}} = \frac {1}{\sqrt {3 2 \pi}} \mathrm{e} ^ {- 8} = 3. 3 9 \times 1 0 ^ {- 5} \]

7.2.3 2PSK 和 2DPSK 系统的抗噪声性能

由 7.1.3 节和 7.1.4 节我们了解到，2PSK 可分为绝对相移和相对相移两种。并且指出，无论是 2PSK 信号还是 2DPSK, 从信号波形上看，无非是一对倒相信号的序列，或者说，其表达式的形式完全一样。因此，不管是 2PSK 信号还是 2DPSK 信号，在一个码元的持续时间 \(T_{B}\) 内，都可表示为

\[ s _ {\mathrm{T}} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} A \mathrm{cos} \omega_ {\mathrm{c}} t & \text {发送“1”时} \\ - A \mathrm{cos} \omega_ {\mathrm{c}} t & \text {发送“0”时} \end{array} \right. \tag {7.2-56} \]

当然， \(s_{\mathrm{T}}(t)\) 代表 2PSK 信号时，上式中 “1” 及 “0” 是原始数字信息（绝对码）；当 \(s_{\mathrm{T}}(t)\) 代表 2DPSK 信号时，上式中 “1” 及 “0” 并非原始数字信息，而是绝对码变换成相对码后的 “1” 及 “0”。

下面，我们将分别讨论 2PSK 相干解调 (极性比较法) 系统、2DPSK 相干解调 (极性比较 — 码反变换) 系统以及 2DPSK 差分相干解调系统的误码性能。

1. 2PSK 相干解调系统性能

2PSK 相干解调方式又称为极性比较法，其性能分析模型如图 7-26 所示。

设发送端发出的信号如式 \((7.2-56)\) 所示，则接收端带通滤波器输出波形为

\[ y (t) = \left\{ \begin{array}{l l} {[ a + n _ {c} (t) ] \cos \omega_ {c} t - n _ {s} (t) \sin \omega_ {c} t} & {\text { 发送“1”时 }} \\ {[ - a + n _ {c} (t) ] \cos \omega_ {c} t - n _ {s} (t) \sin \omega_ {c} t} & {\text { 发送“0”时 }} \end{array} \right. \tag {7.2-57} \]

7.2 二进制数字调制系统的抗噪声性能

\(y(t)\) 经过相干解调 (相乘 — 低通) 后，送入抽样判决器的输入波形为

\[ x (t) = \left\{ \begin{array}{l l} a + n _ {c} (t) & \text { 发送“1”符号 } \\ - a + n _ {c} (t) & \text { 发送“0”符号 } \end{array} \right. \tag {7.2-58} \]

由于 \(n_{c}(t)\) 是均值为 0，方差为 \(\sigma_{n}^{2}\) 的高斯噪声，所以 \(x(t)\) 的一维概率密度函数为

\[ f _ {1} (x) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}} \exp \left\{- \frac {(x - a) ^ {2}}{2 \eta_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \right\} \quad \text {发送“1”时} \tag {7.2-59} \]

\[ f _ {0} (x) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}} \mathrm{exp} \Bigl \{- \frac {(x + a) ^ {2}}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \Bigr \} \quad \text { 发送“0”时 } \tag {7.2-60} \]

由最佳判决门限分析可知，在发送 “1” 符号和发送 “0” 符号概率相等时，即 \(P(1)=P(0)\) 时，最佳判决门限 \(b^{*}=0\) 。此时，发 “1” 而错判为 “0” 的概率为

\[ P (0 / 1) = P (x \leqslant 0) = \int_ {- \infty} ^ {0} f _ {1} (x) \mathrm{d} x = \frac {1}{2} \mathrm{erfc} (\sqrt {r}) \tag {7.2-61} \]

式中： \(r=\frac{a^{2}}{2\sigma_{n}^{2}}\) 。

同理，发送 “0” 而错判为 “1” 的概率为

\[ P (1 / 0) = P (x > 0) = \int_ {0} ^ {\infty} f _ {0} (x) \mathrm{d} x = \frac {1}{2} \operatorname{erfc} (\sqrt {r}) \tag {7.2-62} \]

故 2PSK 信号相干解调时系统的总误码率为

\[ P _ {e} = P (1) P (0 / 1) + P (0) P (1 / 0) = \frac {1}{2} \mathrm{erfc} (\sqrt {r}) \tag {7.2-63} \]

在大信噪比 \((r\gg1)\) 条件下，式 (7.2-63) 可近似为

\[ P _ {e} \approx \frac {1}{2 \sqrt {\pi r}} \mathrm{e} ^ {- r} \tag {7.2-64} \]

2. 2DPSK 信号相干解调系统性能

2DPSK 的相干解调法，又称极性比较一码反变换法，其模型如图 7-27 所示。其解调原理：对 2DPSK 信号进行相干解调，恢复出相对码序列 \(\{b_{n}\}\) , 再通过码反变换器变换为绝对码序列 \(\{a_{n}\}\) , 从而恢复出发送的二进制数字信息。因此，码反变换器输入端的误码率 \(P_{c}\) 可由 2PSK 信号采用相干解调时的误码率公式 (7.2-63) 来确定。于是，2DPSK 信号采用极性比较 — 码反变换法的系统误码率，只需在式 (7.2-63) 基础上再考虑码反变换器对误码率的影响即可。简化模型如图 7-27 所示。

第 7 章 数字带通传输系统

码反变换器的功能是将相对码变成绝对码。由式 (7.1-22) 可知，只有当码反变换器的两个相邻输入码元中，有一个且仅有一个码元出错时，其输出码元才会出错。设码反变换器输入信号的误码率是 \(P_{e}\) ，则两个码元中前面码元出错且后面码元不错的概率是 \(P_{e}(1-P_{e})\) ，后面码元出错而前面码元不错的概率也是 \(P_{e}(1-P_{e})\) 。所以，输出码元发生错码的误码率为

\[ P _ {e} ^ {\prime} = 2 (1 - P _ {e}) P _ {e} \tag {7.2-65} \]

由式 (7.2-65) 可见，若 \(P_{c}\) 很小，则有

\[ \frac {P _ {\mathrm{e}} ^ {\prime}}{P _ {\mathrm{e}}} \approx 2 \tag {7.2-66} \]

若 \(P_{c}\) 很大，即 \(P_{c} \approx 1 / 2\) ，则有

\[ \frac {P _ {\mathrm{e}} ^ {\prime}}{P _ {\mathrm{e}}} \approx 1 \tag {7.2-67} \]

这意味着 \(P_{e}^{\prime}\) 总是大于 \(P_{e}\) 。也就是说，反变换器总是使误码率增加，增加的系数在 1～2 之间变化。将式 (7.2-63) 代入式 (7.2-65)，则可得到 2DPSK 信号采用相干解调加码反变换器方式时的系统误码率为

\[ P _ {e} ^ {\prime} = \frac {1}{2} [ 1 - (\operatorname{erf} \sqrt {r}) ^ {2} ] \tag {7.2-68} \]

当 \(P_{c} \ll 1\) 时，式 (7.2-65) 可近似为

\[ P _ {e} ^ {\prime} = 2 P _ {e} \tag {7.2-69} \]

3. 2DPSK 信号差分相干解调系统性能

2DPSK 信号差分相干解调方式，也称为相位比较法，是一种非相干解调方式，其性能分析模型如图 7-28 所示。

由图 7-28 可见，解调过程中需要对间隔为 \(T_{\mathrm{B}}\) 的前后两个码元进行比较，并且前后两个码元中都含有噪声。假设当前发送的是 “1”，且令前一个码元也是 “1”（也可以令其为 “0”），则送入相乘器的两个信号 \(y_{1}(t)\) 和 \(y_{2}(t)\) （延迟器输出）可表示为

\[ y _ {1} (t) = a \cos \omega_ {\mathrm{c}} t + n _ {1} (t) = [ a + n _ {1 \mathrm{c}} (t) ] \cos \omega_ {\mathrm{c}} t - n _ {1 \mathrm{s}} (t) \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {7.2-70} \]

7.2 1 进制数分调制系统的抗躁性性能

\[ y _ {2} (t) = a \cos \omega_ {\mathrm{c}} t + n _ {2} (t) = [ a + n _ {2 \mathrm{c}} (t) ] \cos \omega_ {\mathrm{c}} t - n _ {2 \mathrm{s}} (t) \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {7.2-71} \]

式中：a 为信号振幅； \(n_{1}(t)\) 为叠加在前一码元 \(y_{1}(t)\) 上窄带高斯噪声； \(n_{2}(t)\) 为叠加在后一码元 \(y_{2}(t)\) 上的窄带高斯噪声，并且 \(n_{1}(t)\) 和 \(n_{2}(t)\) 相互独立。

则低通滤波器的输出 \(x(t)\) 为

\[ x (t) = \frac {1}{2} \left\{\left[ a + n _ {1 c} (t) \right] \left[ a + n _ {2 c} (t) \right] + n _ {1 s} (t) n _ {2 s} (t) \right\} \tag {7.2-72} \]

经抽样后的样值为

\[ x = \frac {1}{2} \left[ (a + n _ {1 c}) (a + n _ {2 c}) + n _ {1 s} n _ {2 s} \right] \tag {7.2-73} \]

然后，按下述判决规则判决：若 x>0, 则判为 “1”—— 正确接收；若 x<0, 则判为 “0”—— 错误接收。这时将 “1” 错判为 “0” 的错误概率为

\[ \begin{array}{l} P (0 / 1) = P \mid x < 0 \\ = P \left\{\frac {1}{2} \left[ (a + n _ {1 c}) (a + n _ {2 c}) + n _ {1 s} n _ {2 s} \right] < 0 \right\} \tag {7.2-74} \\ \end{array} \]

利用恒等式

\[ \begin{array}{l} x _ {1} x _ {2} + y _ {1} y _ {2} = \frac {1}{4} \left[ \left(x _ {1} + x _ {2}\right) ^ {2} + \left(y _ {1} + y _ {2}\right) ^ {2} \right] - \\ \left[ \left(x _ {1} - x _ {2}\right) ^ {2} + \left(y _ {1} - y _ {2}\right) ^ {2} \right] \tag {7.2-75} \\ \end{array} \]

令式 \((7.2-75)\) 中

\[ x _ {1} = a + n _ {1 \mathrm{e}}, \quad x _ {2} = a + n _ {2 \mathrm{e}}; \quad y _ {1} = n _ {1 \mathrm{s}}, \quad y _ {2} = n _ {2 \mathrm{s}} \]

则式 \((7.2-74)\) 可以改写为

\[ \begin{array}{l} P (0 / 1) = P \left[ \left(2 a + n _ {1 c} + n _ {2 c}\right) ^ {2} + \left(n _ {1 s} + n _ {2 s}\right) ^ {2} - \right. \\ \left. \left(n _ {1 c} - n _ {2 c}\right) ^ {2} - \left(n _ {1 s} - n _ {2 s}\right) ^ {2} \right] < 0 \tag {7.2-76} \\ \end{array} \]

令

\[ R _ {1} = \sqrt {\left(2 a + n _ {1 c} + n _ {2 c}\right) ^ {2} + \left(n _ {1 s} + n _ {2 s}\right) ^ {2}} \tag {7.2-77} \]

\[ R _ {2} = \sqrt {\left(n _ {1 c} - n _ {2 c}\right) ^ {2} + \left(n _ {1 s} - n _ {2 s}\right) ^ {2}} \tag {7.2-78} \]

第 7 章 数字带通传输系统

则式 \((7.2-76)\) 化简为

\[ P (0 / 1) = P \left\{R _ {1} < R _ {2} \right\} \tag {7.2-79} \]

因为 \(n_{1c}, n_{2c}, n_{1s}, n_{2s}\) 是相互独立的高斯随机变量，且均值为 0，方差相等为 \(\sigma_{\mathrm{n}}^{2}\) 。根据高斯随机变量的代数和仍为高斯随机变量，且均值为各随机变量的均值的代数和、方差为各随机变量方差之和的性质，则 \(n_{1c} + n_{2c}\) 是零均值且方差为 \(2\sigma_{\mathrm{n}}^{2}\) 的高斯随机变量。同理， \(n_{1s} + n_{2s}, n_{1c} - n_{2c}, n_{1s} - n_{2s}\) 都是零均值且方差为 \(2\sigma_{\mathrm{n}}^{2}\) 的高斯随机变量。由随机信号分析理论可知， \(R_{1}\) 的一维分布服从广义瑞利分布， \(R_{2}\) 的一维分布服从瑞利分布，其概率密度函数分别为

\[ f (R _ {1}) = \frac {R _ {1}}{2 \sigma_ {n} ^ {2}} I _ {0} \left(\frac {a R _ {1}}{\sigma_ {n} ^ {2}}\right) \mathrm{e} ^ {- (R _ {1} ^ {2} + 4 a ^ {2}) / 4 \sigma_ {n} ^ {2}} \tag {7.2-80} \]

\[ f \left(R _ {2}\right) = \frac {R _ {2}}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \mathrm{e} ^ {- R _ {2} ^ {2} / 4 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \tag {7.2-81} \]

将以上两式代入 (7.2-79)，并应用式 (7.2-53) 的分析方法，可得

\[ \begin{array}{l} P (0 / 1) = P \left\{R _ {1} < R _ {2} \right\} = \int_ {0} ^ {\infty} f (R _ {1}) \left[ \int_ {R _ {2} = R _ {1}} ^ {\infty} f (R _ {2}) \mathrm{d} R _ {2} \right] \mathrm{d} R _ {1} \\ = \int_ {0} ^ {\infty} \frac {R _ {1}}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} I _ {0} \left(\frac {a R _ {1}}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}}\right) \mathrm{e} ^ {- 2 (R _ {1} ^ {2} + 4 a ^ {2}) / 4 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \mathrm{d} R _ {1} = \frac {1}{2} \mathrm{e} ^ {- r} \tag {7.2-82} \\ \end{array} \]

式中： \(r=\frac{a^{2}}{2\sigma_{n}^{2}}\) 为解调器输入端信噪比。

同理，可以求得将 “0” 错判为 “1” 的概率，即

\[ P (1 / 0) = P (0 / 1) = \frac {1}{2} \mathrm{e} ^ {- r} \tag {7.2-83} \]

因此，2DPSK 信号差分相干解调系统的总误码率为

\[ P _ {\mathrm{e}} = \frac {1}{2} \mathrm{e} ^ {- r} \tag {7.2-84} \]

【例 7-3】假设采用 2DPSK 方式在微波线路上传送二进制数字信息。已知码元速率 \(R_{\mathrm{B}} = 10^{6} \mathrm{~B}\) ，信道中加性高斯白噪声的单边功率谱密度 \(n_0 = 2 \times 10^{-10} \mathrm{~W/Hz}\) 。今要求误码率不大于 \(10^{-4}\) 。试求：

【解】（1）接收端带通滤波器的带宽为

\[ B = 2 R _ {\mathrm{B}} = 2 \times 1 0 ^ {6} (\mathrm{Hz}) \]

其输出的噪声功率为

\[ \sigma_ {n} ^ {2} = n _ {0} B = 2 \times 1 0 ^ {- 1 0} \times 2 \times 1 0 ^ {6} = 4 \times 1 0 ^ {- 4} (\mathrm{W}) \]

7.2 二进制数字调制系统的抗噪声性能

根据式 \((7.2-84)\) ，2DPSK 采用差分相干接收的误码率为

\[ P _ {\mathrm{e}} = \frac {1}{2} \mathrm{e} ^ {- r} \leqslant 1 0 ^ {- 4} \]

求解可得

\[ r \geqslant 8. 5 2 \]

又因为

\[ r = \frac {a ^ {2}}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \]

所以，接收机输入端所需的信号功率为

\[ \frac {a ^ {2}}{2} \geqslant 8. 5 2 \times \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2} = 8. 5 2 \times 4 \times 1 0 ^ {- 4} = 3. 4 \times 1 0 ^ {- 3} (\mathrm{W}) \]

(2) 对于相干解调 — 码反变换的 2DPSK 系统，由式 (7.2-69) 可得

\[ P _ {\mathrm{e}} ^ {\prime} \approx 2 P _ {\mathrm{e}} = 1 - \operatorname{erf} (\sqrt {r}) \]

根据题意有

\[ P _ {+} ^ {\prime} \leqslant 1 0 ^ {- 4} \]

因而有

\[ 1 - \operatorname{erf} (\sqrt {r}) \leqslant 1 0 ^ {- 4} \]

即

\[ \operatorname{erf} (\sqrt {r}) \geqslant 1 - 1 0 ^ {- 4} = 0. 9 9 9 9 \]

查误差函数表，可得

\[ \sqrt {r} \geqslant 2. 7 5, \text { 即 } r \geqslant 7. 5 6 \]

由 \(r=\frac{a^{2}}{2\sigma_{n}^{2}}\) ，可得接收机输入端所需的信号功率为

\[ \frac {a ^ {2}}{2} \geqslant 7. 5 6 \times \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2} = 7. 5 6 \times 4 \times 1 0 ^ {- 4} = 3. 0 2 \times 1 0 ^ {- 3} (\mathrm{W}) \]

7.3 二进制数字调制系统的性能比较

第 1 章中已经指出，衡量一个数字通信系统性能好坏的指标有多种，但最为主要的是有效性和可靠性。基于前面的讨论，下面将针对二进制数字调制系统的误码率性能、频带利用率、对信道的适应能力等方面的性能作一简要的比较。通过比较，可以为在不同的应用场合选择什么样的调制和解调方式提供一定的参考依据。

1. 误码率

误码率是衡量一个数字通信系统性能的重要指标。通过 7.2 节的分析可知，在信道高斯白噪声的干扰下，各种二进制数字调制系统的误码率取决于解调器输入信噪比，而误码率表达式的形式则取决于解调方式：相干解调时为互补误差函数 \(\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{r}{k}}\right)\) 形式 (k 只取决于调制方式), 非相干解调时为指数函数形式。如表 7-1 所列。

第 7 章 数字带通传输系统

由表 7-1 可以看出，从横向来比较，对同一调制方式，采用相干解调方式的误码率低于采用非相干解调方式的误码率。从纵向来比较，若采用相同的解调方式（如相干解调），在误码率 \(P_{\mathrm{r}}\) 相同的情况下，所需要的信噪比 2ASK 比 2FSK 高 3dB,2FSK 比 2PSK 高 3dB,2ASK 比 2PSK 高 6dB。反过来，若信噪比 \(r\) 一定，2PSK 系统的误码率比 2FSK 的小，2FSK 系统的误码率比 2ASK 的小。由此看来，在抗加性高斯白噪声方面，相干 2PSK 性能最好，2FSK 次之，2ASK 最差。

调制方式\Pe解调方式	相干解调	非相干解调
2ASK	$\frac{1}{2} \text{erfc} \left( \sqrt{\frac{r}{4}} \right)$	$\frac{1}{2} e^{-r/4}$
2FSK	$\frac{1}{2} \text{erfc} \left( \sqrt{\frac{r}{2}} \right)$	$\frac{1}{2} e^{-r/2}$
2PSK	$\frac{1}{2} \text{erfc} (\sqrt{r})$
2DPSK	$\text{erfc} (\sqrt{r})$	$\frac{1}{2} e^{-r}$

根据表 7-1 所画出的三种数字调制系统的误码率 \(P_{\mathrm{e}}\) 与信噪比 \(r\) 的关系曲线如图 7-29 所示。可以看出，在相同的信噪比 \(r\) 下，相干解调的 2PSK 系统的误码率 \(P_{\mathrm{e}}\) 最小。

2. 频带宽度

由 7.1 节可知，当信号码元宽度为 \(T_{B}\) 时，2ASK 系统和 2PSK (2DPSK) 系统的频带宽度近似为 \(2/T_{B}\) , 即

\[ B _ {2 \mathrm{ASK}} = B _ {2 \mathrm{PSK}} = \frac {2}{T _ {\mathrm{R}}} \tag {7.3-1} \]

2FSK 系统的频带宽度近似为

7.3

二进制数字调制系统的性能比较

\[ B _ {2 \mathrm{FSK}} = | f _ {2} - f _ {1} | + \frac {2}{T _ {\mathrm{B}}} \tag {7.3-2} \]

因此，从频带宽度或频带利用率上看，2FSK 系统的频带利用率最低。

3. 对信道特性变化的敏感性

7.2 节分析二进制数字调制系统抗噪声性能时，假定了信道参数恒定的条件。但在实际通信系统中，有很多信道属于随参信道，即信道参数随时间变化。因此，在选择数字调制方式时，还应考虑最佳判决门限对信道特性的变化是否敏感。

在 2FSK 系统中，判决器是根据上下两个支路解调输出样值的大小来作出判决，不需要人为地设置判决门限，因而对信道的变化不敏感。

在 2PSK 系统中，当发送不同符号的概率相等时，判决器的最佳判决门限为零，与接收机输入信号的幅度无关。因此，判决门限不随信道特性的变化而变化，接收机总能保持工作在最佳判决门限状态。

对于 2ASK 系统，判决器的最佳判决门限为 \(a / 2\) （当 \(P(1) = P(0)\) 时），它与接收机输入信号的幅度有关。当信道特性发生变化时，接收机输入信号的幅度将随着发生变化，从而导致最佳判决门限也将随之而变。这时，接收机不容易保持在最佳判决门限状态，因此，2ASK 对信道特性变化敏感，性能最差。

通过以上几个方面的比较可以看出，对调制和解调方式的选择需要考虑的因素较多。通常，只有对系统的要求作全面的考虑，并且还应抓住其中最主要的要求，才能作出比较恰当的抉择。如果抗噪声性能是最主要的，则应考虑相干 2PSK 和 2DPSK，而 2ASK 最不可取；如果要求较高的频带利用率，则应选择相干 2PSK、2DPSK 及 2ASK，而 2FSK 最不可取；如果要求较高的功率利用率，则应选择相干 2PSK 和 2DPSK，而 2ASK 最不可取；若传输信道是随参信道，则 2FSK 具有更好的适应能力。另外，若从设备复杂度方面考虑，则非相干方式比相干方式更适宜。这是因为相干解调需要提取相干载波，故设备相对复杂些，成本也略高。目前用得最多的数字调制方式是相干 2DPSK 和非相干 2FSK。相干 2DPSK 主要用于高速数据传输，而非相干 2FSK 则用于中、低速数据传输中，特别是在衰落信道中传输数据时，它有着广泛的应用。

7.4 多进制数字调制原理

二进制键控调制系统中，每个码元只传输 1b 信息，其频带利用率不高。而频率资源是极其宝贵和紧缺的。为了提高频带利用率，最有效的办法是使一个码元传输多个比特的信息。这就是将要讨论的多进制键控体制。多进制键控可以看作是二进制键控体制的推广。这时，为了得到相同的误码率，和二进制系统相比，接收信号信噪比需要更大，即需要用更大的发送信号功率。这就是为了传输更多信息量所要付出的代价。由 7.3 节中的讨论得知，各种键控体制的误码率都决定于信噪比:

\[ r = \frac {a ^ {2}}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \tag {7.4-1} \]

第 7 章 数字带通传输系统

式 (7.4-1) 表示 r 是信号码元功率 \((a^{2}/2)\) 和噪声功率 \(\sigma_{n}^{2}\) 之比。

现在，设多进制码元的进制数为 M, 一个码元中包含信息 k 比特，则有

\[ k = \log_ {2} M \tag {7.4-2} \]

若设想把码元功率 \((a^{2}/2)\) 平均分配给每比特，则每比特分得的功率为

\[ P _ {\mathrm{b}} = a ^ {2} / (2 k) \tag {7.4-3} \]

这样，每比特的信噪功率比为

\[ r _ {\mathrm{b}} = a ^ {2} / (2 k \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}) = r / k \tag {7.4-4} \]

在 M 进制中，由于每个码元包含的比特数 k 和进制数 M 有关，故在研究不同 M 值下的错误率时，适合用 \(r_{b}\) 为单位来比较不同体制的性能优劣。

和二进制类似，基本的多进制键控也有 ASK、FSK、PSK 和 DPSK 等几种。相应的键控方式可以记为多进制振幅键控（MASK）、多进制频移键控（MFSK）、多进制相移键控（MPSK）和多进制差分相移键控（MDPSK）。下面将分别予以讨论。

7.4.1 多进制振幅键控

在 6.1 节中介绍过多电平波形，它是一种基带多进制信号。若用这种单极性多电平信号去键控载波，就得到 MASK 信号。在图 7-30 中给出了这种基带信号和相应的 MASK 信号的波形举例。图中的信号是 4ASK 信号，即 M=4 。每个码元含有 2b 的信息。

7.4 多进制数字调制原理

多进制振幅键控又称多电平调制，它是 2ASK 体制的推广。和 2ASK 相比，这种体制的优点在于单位频带的信息传输速率高，即频带利用率高。

在 6.4.2 节中讨论奈奎斯特准则时曾经指出，在二进制条件下，对于基带信号，信道频带利用率最高可达 \(2b/s\cdot Hz\) ，即每赫带宽每秒可以传输 2b 的信息。按照这一准则，由于 2ASK 信号的带宽是基带信号的 2 倍，故其频带利用率最高是 \(1b/s\cdot Hz\) 。由于 MASK 信号的带宽和 2ASK 信号的带宽相同，故 MASK 信号的频带利用率可以超过 \(1b/s\cdot Hz\) 。

在图 7-30 (a) 中示出的基带信号是多进制单极性不归零脉冲，它有直流分量。若改用多进制双极性不归零脉冲作为基带调制信号，如图 7-30 (c) 所示，则在不同码元出现概率相等条件下，得到的是抑制载波的 MASK 信号，如图 7-30 (d) 所示。需要注意，这里每个码元的载波初始相位是不同的。例如，第 1 个码元的初始相位是 \(\pi\) , 第 2 个码元的初始相位是 0 。在 7.1.3 节中提到过，二进制抑制载波双边带信号就是 2PSK 信号。不难看出，这里的抑制载波 MASK 信号是振幅键控和相位键控结合的已调信号。

二进制抑制载波双边带信号和不抑制载波的信号相比，可以节省载波功率。现在的抑制载波 MASK 信号同样可以节省载波功率。

7.4.2 多进制频移键控

多进制频移键控 (MFSK) 体制同样是 2FSK 体制的简单推广。例如，在 4 进制频移键控 (4FSK) 中采用 4 个不同的频率分别表示四进制的码元，每个码元含有 2b 的信息，如图 7-31 所示。这时仍和 2FSK 时的条件相同，即要求每个载频之间的距离足够大，使不同频率的码元频谱能够用滤波器分离开，或者说使不同频率的码元互相正交。由于 MFSK 的码元采用 \(M\) 个不同频率的载波，所以它占用较宽的频带。设 \(f_{1}\) 为其最低载频， \(f_{M}\) 为其最高载频，则 MFSK 信号的带宽近似为

\[ B = f _ {M} - f _ {1} + \Delta f \tag {7.4-5} \]

式中： \(\Delta f\) 为单个码元的带宽，它决定于信号传输速率。

(a) 4FSK 信号波形 (b) 4FSK 信号的取值 图 7-31 双比特与频率的关系

$f_{1}$	$f_{2}$	$f_{3}$	$f_{4}$
00	01	11	10

MFSK 调制器原理和 2FSK 的基本相同，这里不另作讨论。MFSK 解调器也分为非相干解调和相干解调两类。MFSK 非相干解调器的原理方框图示于图 7-32 中。图中有 M 路带通滤波器用于分离 M 个不同频率的码元。当某个码元输入时，M 个带通滤波器的输出中仅有一个是信号加噪声，其他各路都是只有噪声。因为通常有信号的一路检波输出电压最大，故在判决时将按照该路检波电压作判决。

第 7 章 数字带通传输系统

MFSK 相干解调器的原理方框图和上述非相干解调器类似，只是用相干检波器代替了图中的包络检波器而已。由于 MFSK 相干解调器较复杂，应用较少，这里不再专门介绍。

7.4.3 多进制相移键控

1. 基本原理

在 2PSK 信号的表示式中一个码元的载波初始相位 \(\theta\) 可以等于 0 或 \(\pi\) 。将其推广到多进制时， \(\theta\) 可以取多个可能值。所以，一个 MPSK 信号码元可以表示为

\[ \mathrm{e} _ {k} (t) = A \cos (\omega_ {\mathrm{c}} t + \theta_ {k}) \quad k = 1, 2, \dots , M \tag {7.4-6} \]

式中：A 为常数； \(\theta_{k}\) 为一组间隔均匀的受调制相位，其值决定于基带码元的取值，所以它可以写为

\[ \theta_ {k} = \frac {2 \pi}{M} (k - 1) k = 1, 2, \dots , M \tag {7.4-7} \]

通常 \(M\) 取 2 的整数次幂

\[ M = 2 ^ {k} \quad k = \text {正整数} \tag {7.4-8} \]

如图 7-33 所示，当 \(k = 3\) 时， \(\theta_{k}\) 取值的一例。图中示出当发送信号的相位为 \(\theta_{1} = 0\) 时，能够正确接收的相位范围在 \(\pm \pi /8\) 内。对于多进制 PSK 信号，不能简单地采用一个相干载波进行相干解调。例如，若用 \(\cos 2\pi f_c t\) 作为相干载波时，因为 \(\cos \theta_{k} = \cos (2\pi -\theta_{k})\) ，使解调存在模糊。只有在 2PSK 中才能够仅用一个相干载波进行解调。这时需要用两个正交的相干载波解调。在后面分析中，不失一般性，我们可以令式 (7.4-6) 中的 \(A = 1\) ，然后将 MPSK 信号码元表示式展开写成

\[ \mathrm{e} _ {k} (t) = \cos (\omega_ {\mathrm{c}} t + \theta_ {k}) = a _ {k} \cos \omega_ {\mathrm{c}} t - b _ {k} \sin \omega_ {\mathrm{c}} t \tag {7.4-9} \]

式中： \(a_{k}=\cos\theta_{k},b_{k}=\sin\theta_{k}\)

式 (7.4-9) 表明，MPSK 信号码元 \(s_{k}(t)\) 可以看作是由正弦和余弦两个正交分量合成的信号，它们的振幅分别是 \(a_{k}\) 和 \(b_{k}\) ，并且 \(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}=1\) 。这就是说，MPSK 信号码元可以看作是两个特定的 MASK 信号码元之和。因此，其带宽和 MASK 信号的带宽相同。

本节下面主要以 M=4 为例，对 4PSK 作进一步的分析。4PSK 常称为正交相移键控（QPSK）。它的每个码元含有 2b 的信息，现用 ab 代表这两个比特。发送码元序列在编码时需要先将每两个比特分成一个双比特组 ab。ab 有 4 种排列，即 00、01、10、11。然后用 4 种相位之一去表示每种排列。各种排列的相位之间的关系通常都按格雷（Gray）码安排，表 7-2 列出了 4PSK 信号的这种编码方案之一，其矢量图画在图 7-34 中。这种编码方案称为 A 方式。

7.4 多进制数字调制原理

由此表和图可以看出，采用格雷码的好处在于相邻相位所代表的两个比特只有一位不同。由于因相位误差造成错判至相邻相位上的概率最大，故这样编码可使总误比特率降低。表 7-2 和图 7-34 中 QPSK 信号和格雷码的对应关系不是唯一的，图中的参考相位的位置也不是必须在横轴位置上。例如，可以规定图 7-34 中的参考相位代表格雷码 00, 并将其他双比特组的相位依次顺时针方向移 90°, 所得结果仍然符合用格雷码产生 QPSK 信号的规则。在表 7-2 中只给出了 2 位格雷码的编码规则。在表 7-3 中我们给出了多位格雷码的编码方法。由此表可见，在 2 位格雷码的基础上，若要产生 3 位格雷码，只需将序号为 0\~3 的 2 位格雷码 (表中黑体字) 按相反的次序 (成镜像) 排列写出序号为 4\~7 的码组，并在序号为 0\~3 的格雷码组前加一个 “0”, 在序号为 4\~7 的码组前加一个 “1”, 得出 3 位格雷码。3 位格雷码可以用于 8PSK 调制。若要产生 4 位格雷码，则可以在 3 位格雷码的基础上，仿照上述方法，将序号为 0\~7 的格雷码按相反次序写出序号为 8\~15 的码组，并在序号为 0\~7 的格雷码组前加一个 “0”, 在序号为 8\~15 的码组前加一个 “1”。依此类推可以产生更多位的格雷码。由于格雷码的这种产生规律，格雷码又称反射码。由此表可见，这样构成的相邻码组仅有 1b 差别。作为比较，在表 7-3 中还给出了二进码作为比较。

表7-2	QPSK信号的编码
a	b	$\theta_{k}$	a	b	$\theta_{k}$
0	0	90°	1	1	270°
0	1	0°	1	0	180°

序号	格雷码				二进码				序号	格雷码				二进码
0	0	0	0	0	0	0	0	0	8	1	1	0	0	1	0	0	0
1	0	0	0	1	0	0	0	1	9	1	1	0	1	1	0	0	1
2	0	0	1	1	0	0	1	0	10	1	1	1	1	1	0	1	0
3	0	0	1	0	0	0	1	1	11	1	1	1	0	1	0	1	1
4	0	1	1	0	0	1	0	0	12	1	0	1	0	1	1	0	0
5	0	1	1	1	0	1	0	1	13	1	0	1	1	1	1	0	1
6	0	1	0	1	0	1	1	0	14	1	0	0	1	1	1	1	0
7	0	1	0	0	0	1	1	1	15	1	0	0	0	1	1	1	1

第 7 章 数字带通传输系统

最后，需要对码元相位的概念着重给予说明。在码元的表示式 (7.4-6) 中， \(\theta_{k}\) 称为初始相位，常简称为相位，而把 \((\omega_0 t + \theta_k)\) 称为信号的瞬时相位。当码元中包含整数个载波周期时，初始相位相同的相邻码元的波形和瞬时相位才是连续的，如图 7-35 (a) 所示。若每个码元中的载波周期数不是整数，则即使初始相位相同，波形和瞬时相位也可能不连续，如图 7-35 (b) 所示；或者波形连续而相位不连续，如图 7-35 (c) 所示。在码元边界，当相位不连续时，信号的频谱将展宽，包络也将出现起伏。通常这是我们不希望并想尽量避免的。在后面讨论各种调制体制时，还将遇到这个问题。并且有时将码元中包含整数个载波周期的假设隐含不提，认为 PSK 信号的初始相位相同，则码元边界的瞬时相位一定连续。

2. QPSK 调制

QPSK 信号的产生方法有两种方法。第一种是用相乘电路，如图 7-36 所示。图中输入基带信号 \(s(t)\) 是二进制不归零双极性码元，它被 “串 / 并变换” 电路变成两路码元 \(a\) 和 b。变成并行码元 a 和 b 后，其每个码元的持续时间是输入码元的 2 倍，如图 7-37 所示。这两路并行码元序列分别用以和两路正交载波相乘。相乘结果用虚线矢量示于图 7-38 中。图中矢量 a (1) 代表 a 路的信号码元二进制 “1”，a (0) 代表 a 路信号码元二进制 “0”；类似地，b (1) 代表 b 路信号码元二进制 “1”，b (0) 代表 b 路信号码元二进制 “0”。这两路信号在相加电路中相加后得到的每个矢量代表 2bit，如图中实线矢量所示。这种编码方式称为 B 方式。应当注意的是，上述二进制信号码元 “0” 和 “1” 在相乘电路中与不归零双极性矩形脉冲振幅的关系如下：

二进制码元 “1”→双极性脉冲 “+1”;

二进制码元 “0”→双极性脉冲 “-1”。

第二种产生方法是相位选择法，其原理方框图示于图 7-39 中。这时输入基带信号经过串 / 并变换后用于控制一个相位选择电路，按照当时的输入双比特 ab, 决定选择哪个相位的载波输出。候选的 4 个相位 \(\theta_{1}\) 、 \(\theta_{2}\) 、 \(\theta_{3}\) 和 \(\theta_{4}\) 可以是图 7-38 中的 4 个实线矢量，也可以是图 7-35 中按 A 方式规定的 4 个相位。

7.4 多进制数字调制原理

3. QPSK 解调

QPSK 信号的解调原理如图 7-40 所示。由于 QPSK 信号可以看作是两个正交 2PSK 信号的叠加，见图 7-38，所以用两路正交的相干载波去解调，可以很容易地分离这两路正交的 2PSK 信号。相干解调后的两路并行码元 \(a\) 和 \(b\) ，经过并 / 串变换后，成为串行数据输出。

4. 偏置 QPSK

在 QPSK 体制中，它的相邻码元最大相位差达到 \(180^{\circ}\) 。由于这样的相位突变在频带受限的系统中会引起信号包络的很大起伏，这是不希望的，所以为了减小此相位突变，将两个正交分量的两个比特 a 和 b 在时间上错开半个码元，使之不可能同时改变。由表 7-2 可见，这样安排后相邻码元相位差的最大值仅为 \(90^{\circ}\) , 从而减小了信号振幅的起伏。这种体制称为偏置正交相移键控 (OQPSK)。在图 7-41 中示出 QPSK 信号的波形与 OQPSK 信号波形的比较。

OQPSK 和 QPSK 的唯一区别在于：对于 QPSK, 表 7-2 中的两个比特 a 和 b 的持续时间原则上可以不同；而对于 OQPSK, a 和 b 的持续时间必须相同。

第 7 章 数字带通传输系统

5. \(\pi /4\) 相移 QPSK

\(\pi / 4\) 相移 QPSK 信号是由两个相差 \(\pi / 4\) 的 QPSK 星座图 (图 7-42) 交替产生的。它也是一个四进制信号。当前码元的相位相对于前一码元的相位改变 \(\pm 45^{\circ}\) 或 \(\pm 135^{\circ}\) 。例如，若连续输入 “11 11 11 11…”，则信号码元相位为 “\(45^{\circ}90^{\circ}45^{\circ}90^{\circ}\cdots\)” 由于这种体制中相邻码元间总有相位改变，故有利于在接收端提取码元同步。另外，由于其最大相移为 \(\pm 135^{\circ}\) ，比 QPSK 的最大相移小，故在通过频带受限的系统传输后其振幅起伏也较小。

7.4.4 多进制差分相移键控

1. 基本原理

类似于 2DPSK 体制，也有多进制差分相移键控 (MDPSK)。在较详细地讨论了 MPSK 之后，很容易理解 MDPSK 的原理和实现方法。7.4.3 节中讨论 MPSK 信号用的式 (7.4-6)、式 (7.4-7)、表 7-2 和矢量图 7-34 对于分析 MDPSK 信号仍然适用，只是需要把其中的参考相位当作是前一码元的相位，把相移 \(\theta_{k}\) 当作是相对于前一码元相位的相移。这里仍以四进制 DPSK 信号为例作进一步的讨论。

7.4 多进制数字调制原理

四进制 DPSK 通常记为 QDPSK。QDPSK 信号编码方式示于表 7-4。表中 \(\Delta \theta_{k}\) 是相对于前一相邻码元的相位变化。这里有 \(A\) 和 \(B\) 两种方式。 \(A\) 方式中的 \(\Delta \theta_{k}\) 取值 \(0^{\circ}, 90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}; B\) 方式中的 \(\Delta \theta_{k}\) 取值 \(45^{\circ}, 135^{\circ}, 225^{\circ}, 315^{\circ}\) 。在 ITU-T 的建议 V.22 中速率 \(1200\mathrm{b / s}\) 的双工调制解调器标准采用的就是表 7-4 中 \(A\) 方式的编码规则。

B 方式中相邻码元间总有相位改变，故有利于在接收端提取码元同步。另外，由于其相邻码元相位的最大相移为 \(\pm135^{\circ}\) , 比 A 方式的最大相移小，故在通过频带受限的系统传输后其振幅起伏也较小。

A 方式和 B 方式区别仅在于两者的星座图相差 \(45^{\circ}\) ; 并且两者和格雷码双比特组间的对应关系也不是唯一的。

2. 产生方法

QDPSK 信号的产生方法和 QPSK 信号的产生方法类似，只是需要把输入基带信号先经过码变换器把绝对码变成相对码再去调制 (或选择) 载波。在图 7-43 中给出了用正交调相法按照表 7-4 中 A 方式规则产生 QDPSK 信号的原理方框图。图中 a 和 b 为经过串 / 并变换后的一对码元，它需要再经过码变换器变换成相对码 c 和 d 后才与载波相乘。c 和 d 对载波的相乘实际是完成绝对相移键控。这部分电路和产生 QPSK 信号的原理方框图 7-36 完全一样，只是为了改用 A 方式编码，而采用两个 \(\pi/4\) 相移器代替一个 \(\pi/2\) 相移器。

图 7-43 正交调相法产生 \(A\) 方式 QDPSK 信号的原理方框图

表7-4		QDPSK编码规则
a	b	$\Delta {\theta }_{k}$		a	b	$\Delta {\theta }_{k}$
		A方式	B方式			A方式	B方式
0	0	90°	225°	1	1	270°	45°
0	1	0°	135°	1	0	180°	315°

3. 解调方法

QDPSK 信号的解调方法和 QPSK 信号的解调方法类似也有两类，即极性比较法和相位比较法。下面将分别予以讨论。

A 方式 QDPSK 信号极性比较法解调原理方框图如图 7-44 所示。由图可见 QDPSK 信号的极性比较法解调原理和 QPSK 信号的一样，只是多一步逆码变换，将相对码变成绝对码。

第 7 章 数字带通传输系统

QDPSK 信号相位比较法解调原理方框图如图 7-45 所示。由此图可见，它和 2DPSK 信号相位比较法解调的原理基本一样，只是由于现在的接收信号包含正交的两路已调载波，故需用两个支路差分相干解调。

7.5 多进制数字调制系统的抗噪声性能

7.5.1 MASK 系统的抗噪声性能

下面就抑制载波 MASK 信号在白色高斯噪声信道条件下的误码率进行分析。

设抑制载波 MASK 信号的基带调制码元可以有 M 个电平，如图 7-46 所示。这些电平位于 ±d, ±3d, …, ±(M-1) d, 相邻电平的振幅相距 2d。于是，此抑制载波 MASK 信号的表示式可以写为

\[ \mathrm{e} (t) = \left\{ \begin{array}{c l} \pm d \mathrm{cos} 2 \pi f _ {v} t & \text {发送电平} \pm d \text {时} \\ \pm 3 d \mathrm{cos} 2 \pi f _ {v} t & \text {发送电平} \pm 3 d \text {时} \\ \vdots & \vdots \\ \pm (M - 1) d \mathrm{cos} 2 \pi f _ {v} t & \text {发送电平} \pm (M - 1) d \text {时} \end{array} \right. \]

7.5 多进制数字调制系统的抗噪声性能

式中： \(f_{c}\) 为载频。

若接收端的解调前信号无失真，仅附加有窄带高斯噪声，则在忽略常数衰减因子后，解调前的接收信号可以表示为

\[ e (t) = \left\{ \begin{array}{c c} \pm d \mathrm{cos} 2 \pi f _ {\mathrm{c}} t + n (t) & \text {发送电平} \pm d \text {时} \\ \pm 3 d \mathrm{cos} 2 \pi f _ {\mathrm{c}} t + n (t) & \text {发送电平} \pm 3 d \text {时} \\ \vdots & \vdots \\ \pm (M - 1) d \mathrm{cos} 2 \pi f _ {\mathrm{c}} t + n (t) & \text {发送电平} \pm (M - 1) d \text {时} \end{array} \right. \tag {7.5-2} \]

式中： \(n(t)=n_{c}(t)\cos2\pi f_{c}t-n_{s}(t)\sin2\pi f_{c}t\) ，为窄带高斯噪声。

设接收机采用相干解调，则噪声中只有和信号同相的分量有影响。这时，信号和噪声在相干解调器中相乘，并滤除高频分量之后，得到解调器输出电压为

\[ v (t) = \left\{ \begin{array}{c c} \pm d + n _ {c} (t) & \text {发送电平} \pm d \text {时} \\ \pm 3 d + n _ {c} (t) & \text {发送电平} \pm 3 d \text {时} \\ \vdots & \vdots \\ \pm (M - 1) d + n _ {c} (t) & \text {发送电平} \pm (M - 1) d \text {时} \end{array} \right. \tag {7.5-3} \]

式中已经忽略了常数因子 1/2。

这个电压将被抽样判决。对于抑制载波 MASK 信号，由图 7-46 可见，判决电平应该选择在 \(0, \pm 2d, \cdots, \pm (M - 2)d\) 。当噪声抽样值 \(|n_c|\) 超过 \(d\) 时，会发生错误判决。但是，也有例外情况发生，这就是对于信号电平等于 \(\pm (M - 1)d\) 的情况。当信号电平等于 \(+(M - 1)d\) 时，若 \(n_c > +d\) ，不会发生错判；同理，当信号电平等于 \(-(M - 1)d\) 时，若 \(n_c < -d\) ，也不会发生错判。所以，当抑制载波 MASK 信号以等概率发送时，即每个电平的发送概率等于 \(1/M\) 时，平均误码率为

\[ \begin{array}{l} P _ {e} = \frac {M - 2}{M} P (\mid n _ {e} \mid > d) + \frac {2}{M} \cdot \frac {1}{2} P (\mid n _ {e} \mid > d) \\ = \left(1 - \frac {1}{M}\right) P (\mid n _ {c} \mid > d) \tag {7.5-4} \\ \end{array} \]

式中： \(P(\left|n_{c}\right|>d)\) 为噪声抽样绝对值大于 d 的概率。

因为 \(n_{c}\) 是均值为 0、方差为 \(\sigma_{n}^{2}\) 的正态随机变量，故有

\[ P (\mid n _ {c} \mid > d) = \frac {2}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {n}} \int_ {d} ^ {\infty} \mathrm{e} ^ {- x ^ {2} / 2 \sigma_ {n} ^ {2}} \mathrm{d} x \tag {7.5-5} \]

将式 \((7.5-5)\) 代入式 \((7.5-4)\) ，得到

\[ P _ {\mathrm{c}} = \left(1 - \frac {1}{M}\right) \frac {2}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {\mathrm{n}}} \int_ {d} ^ {\infty} \mathrm{e} ^ {- x ^ {2} / 2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \mathrm{d} x = \left(1 - \frac {1}{M}\right) \operatorname{erfc} \left(\frac {d}{\sqrt {2} \sigma_ {\mathrm{n}}}\right) \tag {7.5-6} \]

式中： \(\mathrm{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}\mathrm{e}^{-z^{2}}\mathrm{d}z\) 。

为了找到误码率 \(P_{r}\) 和解调器输入端信噪比 r 的关系，我们将式 (7.5-6) 作进一步的

第 7 章 数字带通传输系统

推导。首先来求信号平均功率。对于等概率的抑制载波 MASK 信号，其平均功率为

\[ P _ {s} = \frac {2}{M} \sum_ {i = 1} ^ {M / 2} [ d (2 i - 1) ] ^ {2} / 2 = d ^ {2} \frac {M ^ {2} - 1}{6} \tag {7.5-7} \]

式 \((7.5-7)\) 计算中利用了如下公式 \(^{[2]}\) ：

\[ \sum_ {k = 1} ^ {n} (2 k - 1) ^ {2} = \frac {1}{3} n (4 n ^ {2} - 1) \tag {7.5-8} \]

由式 \((7.5-7)\) 得到

\[ d ^ {2} = \frac {6 P _ {\mathrm{s}}}{M ^ {2} - 1} \tag {7.5-9} \]

将式 \((7.5-9)\) 代入式 \((7.5-6)\) ，得误码率为

\[ P _ {e} = \left(1 - \frac {1}{M}\right) \operatorname{erfc} \left(\sqrt {\frac {3}{M ^ {2} - 1} \cdot \frac {P _ {\mathrm{s}}}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}}}\right) \tag {7.5-10} \]

式 (7.5-10) 中的 \(P_{s}/\sigma_{n}^{2}\) 就是信噪比 r, 所以可以改写为

\[ P _ {e} = \left(1 - \frac {1}{M}\right) \operatorname{erfc} \left(\sqrt {\frac {3}{M ^ {2} - 1}} r\right) \tag {7.5-11} \]

按照式 \((7.5-11)\) 画出的误码率曲线如图 7-47 所示。

当 M=2 时，式 (7.5-11) 变为

\[ P _ {r} = \frac {1}{2} \operatorname{erfc} (\sqrt {r}) \tag {7.5-12} \]

它就是 2PSK 系统的误码率公式，见式 \((7.2-63)\) 。不难理解，当 M=2 时，抑制载波 MASK 信号就变成 2PSK 信号了，故两者的误码率相同。

MASK 信号是用信号振幅传递信息的。信号振幅在传输时受信道衰落的影响大，故在远距离传输的衰落信道中应用较少。

7.5

多进制数字调制系统的抗噪声性能

7.5.2 MFSK 系统的抗噪声性能

1. 非相干解调时的误码率

MFSK 信号非相干解调器有 M 路带通滤波器用于分离 M 个不同频率的码元，见图 7-32。当某个码元输入时，M 个带通滤波器的输出中仅有一个是信号加噪声，其他各路都是只有噪声。现在假设 M 路带通滤波器中的噪声是互相独立的窄带高斯噪声，由 3.5.2 节的分析可知其包络服从瑞利分布，故这 \((M-1)\) 路噪声的包络都不超过某个门限电平 h 的概率为

\[ \left[ 1 - P (h) \right] ^ {M - 1} \tag {7.5-13} \]

其中， \(P(h)\) 是一路滤波器的输出噪声包络超过此门限 h 的概率，由瑞利分布，得

\[ P (h) = \int_ {h} ^ {\infty} \frac {N}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \mathrm{e} ^ {- N ^ {2} / 2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \mathrm{d} N = \mathrm{e} ^ {- h ^ {2} / 2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \tag {7.5-14} \]

式中：N 为滤波器输出噪声的包络； \(\sigma_{n}^{2}\) 为滤波器输出噪声的功率。

假设这 \((M-1)\) 路噪声都不超过此门限电平 h 就不会发生错误判决，则式 \((7.5-13)\) 的概率就是不发生错判的概率。因此，有任意一路或一路以上噪声输出的包络超过此门限就将发生错误判决，此错判的概率为

\[ \begin{array}{l} P _ {r} (h) = 1 - [ 1 - P (h) ] ^ {M - 1} = 1 - [ 1 - \mathrm{e} ^ {- h ^ {2} / 2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} ] ^ {M - 1} \\ = \sum_ {n = 1} ^ {M - 1} (- 1) ^ {n - 1} \binom {M - 1} {n} \mathrm{e} ^ {- n h ^ {2} / 2 \sigma_ {n} ^ {2}} \tag {7.5-15} \\ \end{array} \]

显然，它和门限值 h 有关。下面就来讨论 h 值如何决定。

有信号码元输出的那路带通滤波器，其输出电压是信号和噪声之和。由 3.6 节可知，其包络服从广义瑞利分布

\[ p (x) = \frac {x}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} I _ {0} \left(\frac {A x}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}}\right) \exp \left[ - \frac {1}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} (x ^ {2} + a ^ {2}) \right] \quad x \geqslant 0 \tag {7.5-16} \]

式中： \(I_{0}(\cdot)\) 为第一类零阶修正贝塞尔函数；x 为输出信号和噪声之和的包络；a 为输出信号码元振幅； \(\sigma_{n}^{2}\) 为输出噪声功率。

其他路中任何路的输出电压值超过了有信号这路的输出电压值 x 就将发生错判。因此，这里的输出信号和噪声之和 x 就是上面的门限值 h。因此，发生错误判决的概率为

\[ P _ {e} = \int_ {0} ^ {\infty} p (h) P _ {e} (h) \mathrm{d} h \tag {7.5-17} \]

将式 \((7.5-15)\) 和式 \((7.5-16)\) 代入式 \((7.5-17)\) ，得到计算结果为

\[ \begin{array}{l} P _ {e} = \mathrm{e} ^ {- \frac {a ^ {2}}{2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}}} \sum_ {n = 1} ^ {M - 1} (- 1) ^ {n - 1} \binom {M - 1} {n} \int_ {0} ^ {\infty} \frac {h}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} I _ {0} \left(\frac {a h}{\sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}}\right) \mathrm{e} ^ {- (1 + n) h ^ {2} / 2 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \mathrm{d} h \tag {7.5-18} \\ = \sum_ {n = 1} ^ {M - 1} (- 1) ^ {n - 1} \binom {M - 1} {n} \frac {1}{n + 1} \mathrm{e} ^ {- n a ^ {2} / 2 (n + 1) \sigma_ {n} ^ {2}} \\ \end{array} \]

第 7 章 数字带通传输系统

式中： \(\binom{M-1}{n}\) 为二项式展开系数。

式 \((7.5-18)\) 中的积分利用如下公式：

\[ \int_ {0} ^ {\infty} t I _ {0} (\alpha t) \mathrm{e} ^ {- (\alpha^ {2} + t ^ {2}) / 2} \mathrm{d} t = 1 \tag {7.5-19} \]

并令 \(t=\frac{h}{\sigma_{n}}\sqrt{1+n}\) ，就可以计算出来（见附录 D）。

式 (7.4-18) 是一个正负项交替的多项式，在计算求和时，随着项数增加，其值起伏振荡，但是可以证明 (见附录 D) 它的第 1 项是它的上界，即有

\[ P _ {e} \leqslant \frac {M - 1}{2} \mathrm{e} ^ {- a ^ {2} / 4 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \tag {7.5-20} \]

由式 \((7.4-1)\) ，式 \((7.5-20)\) 可以改写为

\[ P _ {e} \leqslant \frac {M - 1}{2} \mathrm{e} ^ {- r / 2} \tag {7.5-21} \]

式中：r 为信噪比。

由式 \((7.4-4)\) 可知

\[ r _ {\mathrm{b}} = r / k \tag {7.5-22} \]

将 \(r = kr_{b}\) 代入式 (7.5 - 20)，得

\[ P _ {\mathrm{e}} \leqslant \frac {M - 1}{2} \exp (- k r _ {\mathrm{b}} / 2) \tag {7.5-23} \]

在式 \((7.5-23)\) 中若用 M 代替 \((M-1)/2\) ，不等式右端的值将增大，但是此不等式仍然成立，所以有

\[ P _ {\mathrm{e}} < M \exp (- k r _ {\mathrm{b}} / 2) \tag {7.5-24} \]

这是一个比较弱的上界，但是它可以用来说明下面的问题。因为

\[ M = 2 ^ {k} = \mathrm{e} ^ {\ln 2 ^ {k}} \tag {7.5-25} \]

所以式 \((7.5-25)\) 可以改写为

\[ P _ {\mathrm{e}} < \exp \left[ - k \left(\frac {r _ {\mathrm{b}}}{2} - \ln 2\right) \right] \tag {7.5-26} \]

由式 (7.5-26) 可以看出，当 \(k\to\infty\) 时，\(P_{e}\) 按指数规律趋近于 0, 但要保证

\[ \frac {r _ {\mathrm{b}}}{2} - \ln 2 > 0, \text { 即 } r _ {\mathrm{b}} > 2 \ln 2 \]

上式条件表示，只要保证比特信噪比 \(r_{b}\) 大于 \(2\ln2 = 1.39 = 1.42dB\) , 则不断增大 k, 就能得到任意小的误码率。对于 MFSK 体制而言，就是以增大占用带宽换取误码率的降低。但是，随着 k 的增大，设备的复杂程度也按指数规律增大。所以 k 的增大是受到实际应用条件的限制的。

上面求出的是误码率，即码元错误概率。现在来看 MFSK 信号的码元错误率 \(P_{e}\) 和比特错误率 \(P_{b}\) 之间的关系。我们假定当一个 M 进制码元发生错误时，将随机地错成其他 (M-1) 个码元之一。由于 M 进制信号共有 M 种不同的码元，每个码元中含有 k 个比特， \(M=2^{k}\) 。所以，在一个码元中的任一给定比特的位置上，出现 “1” 和 “0” 的码元各占一半，即出现信息 “1” 的码元有 M/2 种，出现信息 “0” 的码元有 M/2 种。在图 7-48 中给出一个例子。图中，M=8, k=3，在任一列中均有 4 个 “0” 和 4 个 “1”。所以若一个码元错成另一个码元时，在给定的比特位置上发生错误的概率只有 4/7。一般而言，在一个给定的码元中，任一比特位置上的信息和其他 \((2^{k-1}-1)\) 种码元在同一位置上的信息相同，和其他 \(2^{k-1}\) 种码元在同一位置上的信息则不同。所以，比特错误率 \(P_{b}\) 和码元错误率 \(P_{r}\) 之间的关系为

7.5 多进制数字调制系统的抗噪声性能

图 7-48 \(M = 8\) 时的码元

码元	比特
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

\[ P _ {\mathrm{b}} = \frac {2 ^ {k - 1}}{2 ^ {k} - 1} P _ {\mathrm{e}} = \frac {P _ {\mathrm{e}}}{2 [ 1 - (1 / 2 ^ {k}) ]} \tag {7.5-27} \]

当 \(k\) 很大时

\[ P _ {\mathrm{b}} \approx P _ {\mathrm{c}} / 2 \tag {7.5-28} \]

按式 (7.5-18) 画出的误码率曲线如图 7-49 (a) 所示。图中横坐标是 \(r_{b}\) ，即每比特的能量和噪声功率谱密度之比。由图可见，对于给定的误码率，需要的 \(r_{b}\) 随 M 的增大而下降，即所需信号功率随 M 的增大而下降。但是由于 M 的增大，MFSK 信号占据的带宽也随之增加。这正如上面提到过的用频带换取了功率。

2. 相干解调时的误码率

MFSK 信号在相干解调时的设备复杂，所以应用较少。其误码率的分析计算原理和 2FSK 时的相似，这里不另作讨论，仅将计算结果给出如下 \(^{[3]}\) :

第 7 章 数字带通传输系统

\[ P _ {\mathrm{e}} = \frac {1}{\sqrt {2 \pi}} \int_ {- \infty} ^ {\infty} \mathrm{e} ^ {- (x - a) ^ {2} / 2 \sigma_ {n} ^ {2}} \left[ 1 - \frac {1}{\sqrt {2 \pi}} \int_ {- \infty} ^ {x} \mathrm{e} ^ {- u ^ {2} / 2} \mathrm{d} u \right] ^ {M - 1} \mathrm{d} x \tag {7.5-29} \]

按照式 (7.5-29) 画出的误码率曲线如图 7-49 (b) 所示。由此图可见，当信息传输速率和误码率给定时，增大 \(M\) 值也可以降低对信噪比 \(r_{\mathrm{b}}\) 的要求。

式 (7.5-29) 较难作数值计算，为了估计相干解调时 MFSK 信号的误码率，可以采用下式给出的误码率上界公式 \(^{[4]}\) :

\[ P _ {e} \leqslant (M - 1) \mathrm{erfc} (\sqrt {r}) \tag {7.5-30} \]

比较相干和非相干解调的两个误码率曲线图可见，当 k > 7 时，两者的区别可以忽略。这时相干和非相干解调误码率的上界都可以用式 (7.5 - 20) 表示:

\[ P _ {\mathrm{e}} \leqslant \frac {M - 1}{2} \mathrm{e} ^ {- a ^ {2} / 4 \sigma_ {\mathrm{n}} ^ {2}} \tag {7.5-31} \]

7.5.3 MPSK 系统的抗噪声性能

我们首先对于 QPSK 系统的性能作较详细的分析。在 QPSK 体制中，由其矢量图（图 7-50) 可以看出，错误判决是由于信号矢量的相位因噪声而发生偏离造成的。例如，设发送矢量的相位为 \(45^{\circ}\) ，它代表基带信号码元 “11”，若因噪声的影响使接收矢量的相位变成 \(135^{\circ}\) ，则将错判为 “01”。当不同发送矢量以等概率出现时，合理的判决门限应该设定在和相邻矢量等距离的位置。在图中对于矢量 “11” 来说，判决门限应该设在 \(0^{\circ}\) 和 \(90^{\circ}\) 。当发送 “11” 时，接收信号矢量的相位若超出这一范围（图中阴影区），则将发生错判。设 \(f(\theta)\) 为接收矢量（包括信号和噪声）相位的概率密度，则发生错误的概率为

\[ P _ {e} = 1 - \int_ {0} ^ {\pi / 2} f (\theta) \mathrm{d} \theta \tag {7.5-32} \]

这一误码率公式的计算步骤很繁。我们现在用一个简单的方法来分析。由式 (7.4-9)，即

\[ e _ {k} (t) = \cos (\omega_ {c} t + \theta_ {k}) = a _ {k} \cos \omega_ {c} t - b _ {k} \sin \omega_ {c} t \]

可知，当 QPSK 码元的相位 \(\theta_{k}=45^{\circ}\) 时，有

\[ a _ {k} = b _ {k} = 1 / \sqrt {2} \]

故信号码元相当于是互相正交的两个 2PSK 码元，其幅度分别为接收信号幅度的 \((1 / \sqrt{2})\) 倍，功率为接收信号功率的 (1/2) 倍。另一方面，由 3.6 节分析得知，接收信号与噪声之和为

\[ r (t) = a \cos (\omega_ {c} t + \theta) + n (t) \]

式中： \(n(t)=n_{c}(t)\cos\omega_{c}t-n_{s}(t)\sin\omega_{c}t;n(t)\) 的方差为 \(\sigma_{n}^{2}\) ，噪声的两个正交分量的方差为 \(\sigma_{c}^{2}=\sigma_{s}^{2}=\sigma_{n}^{2}\) 。

7.5

多进制数字调制系统的抗噪声性能

若把此 QPSK 信号当作两个 2PSK 信号分别在两个相干检测器中解调时，只有和 2PSK 信号同相的噪声才有影响。由于误码率决定于各个相干检测器输入的信噪比，而此处的信号功率为接收信号功率的 1/2 倍，噪声功率为 \(\sigma_{n}^{2}\) 。若输入信号的信噪比为 r，则每个解调器输入端的信噪比将为 r/2。在 7.2 节中已经给出 2PSK 相干解调的误码率为

\[ P _ {\mathrm{e}} = \frac {1}{2} \mathrm{erfc} \sqrt {r} \]

其中，r 为解调器输入端的信噪比，故现在应该用 r/2 代替 r，即误码率为

\[ P _ {\mathrm{e}} = \frac {1}{2} \mathrm{erfc} \sqrt {r / 2} \]

所以，正确概率为 \([1 - (1/2)\mathrm{erfc}\sqrt{r/2}]\) 。因为只有两路正交的相干检测都正确，才能保证 QPSK 信号的解调输出正确。由于两路正交相干检测都正确的概率为 \([1 - (1/2)\mathrm{erfc}\sqrt{r}]^2\) ，所以 QPSK 信号解调错误的概率为

\[ P _ {e} = 1 - \left[ 1 - \frac {1}{2} \mathrm{erfc} \sqrt {r / 2} \right] ^ {2} \tag {7.5-33} \]

对于任意 M 进制 PSK 信号，其误码率公式为 \(^{[5]}\)

\[ P _ {\mathrm{e}} = 1 - \frac {1}{2 \pi} \int_ {- \pi / M} ^ {\pi / M} \mathrm{e} ^ {- r} \left[ 1 + \sqrt {4 \pi r} \cos \theta \mathrm{e} ^ {r \cos^ {2} \theta} \frac {1}{\sqrt {2 \pi}} \int_ {- \infty} ^ {\sqrt {2 r} \cos \theta} \mathrm{e} ^ {- x ^ {2} / 2} \mathrm{d} x \right] \mathrm{d} \theta \tag {7.5-34} \]

按照式 (7.5-34) 画出的曲线示于图 7-51 中。图中横坐标 \(r_{b}\) 是每比特的信噪比。它与码元信噪比 r 的关系为

\[ r _ {\mathrm{b}} = r / k = r / \log_ {2} M \tag {7.5-35} \]

从此图曲线可以看出，当保持误码率 \(P_{e}\) 和信息传输速率不变时，随着 M 的增大，需要使 \(r_{b}\) 增大，即需要增大发送功率，但需用的传输带宽降低了，即用增大功率换取了节省带宽。

当 M 大时，MPSK 误码率公式可以近似写为 \(^{[6]}\)

\[ P _ {\mathrm{e}} \approx \operatorname{erfc} \left(\sqrt {r} \sin \frac {\pi}{M}\right) \tag {7.5-36} \]

OQPSK 的抗噪声性能和 QPSK 完全一样。

7.5.4 MDPSK 系统的抗噪声性能

对于 MDPSK 信号，误码率计算近似公式为 \(^{[5]}\)

\[ P _ {e} \approx \operatorname{erfc} \left(\sqrt {2 r} \sin \frac {\pi}{2 M}\right) \tag {7.5-37} \]

在图 7-52 中给出了 MDPSK 信号的误码率曲线。

第 7 章 数字带通传输系统

7.6 小结

二进制数字调制的基本方式有：二进制振幅键控 (2ASK)—— 载波信号的振幅变化；二进制频移键控 (2FSK)—— 载波信号的频率变化；二进制相移键控 (2PSK)—— 载波信号的相位变化。由于 2PSK 体制中存在相位不确定性，又发展出了差分相移键控 2DPSK。

2ASK 和 2PSK 所需的带宽是码元速率的 2 倍；2FSK 所需的带宽比 2ASK 和 2PSK 都要高。

各种二进制数字调制系统的误码率取决于解调器输入信噪比 r。在抗加性高斯白噪声方面，相干 2PSK 性能最好，2FSK 次之，2ASK 最差。

ASK 是一种应用最早的基本调制方式。其优点是设备简单，频带利用率较高；缺点是抗噪声性能差，并且对信道特性变化敏感，不易使抽样判决器工作在最佳判决门限状态。

FSK 是数字通信中不可或缺的一种调制方式。其优点是抗干扰能力较强，不受信道参数变化的影响，因此 FSK 特别适合应用于衰落信道；缺点是占用频带较宽，尤其是 MF-SK，频带利用率较低。目前，调频体制主要应用于中、低速数据传输中。

PSK 或 DPSK 是一种高传输效率的调制方式，其抗噪声能力比 ASK 和 FSK 都强，且不易受信道特性变化的影响，因此在高、中速数据传输中得到了广泛的应用。绝对相移 (PSK) 在相干解调时存在载波相位模糊度的问题，在实际中较少采用于直接传输。MDPSK 应用更为广泛。

本章介绍的各种数字调制获得了广泛应用。例如，在无线局域网标准 IEEE 802.11b-1999 中，按照不同数据速率采用了多种 DPSK 体制。对于基本数据速率 1Mb/s，它采用 2DPSK。对于扩展速率 2Mb/s，它采用 QDPSK 体制。在数据速率达到 5.5 Mb/s 和 11Mb/s

时，采用了 QPSK。

在高速无线局域网标准 IEEE 802.11g-2003 中有 8 种数据速率: 6Mb/s, 9Mb/s, 12Mb/s, 18Mb/s, 24Mb/s, 36Mb/s, 48Mb/s 和 54 Mb/s。在 6Mb/s 和 9 Mb/s 速率模式中，采用第 8 章将讲述的 OFDM 调制，其中每个子载波采用 2PSK 调制。在 12Mb/s 和 18Mb/s 数据速率模式中，采用 QPSK 的 OFDM。在速率最高的 4 种模式中，采用 QAM 体制的 OFDM。

在 IEEE802.15.4 标准中，在 868-915MHZ 频段采用 2PSK 调制；在 2.4GHZ 频段采用 OQPSK 调制。

因为 2PSK 简单，适合用于廉价的无源发射机中，所以在射频识别 (Radio Frequency Identification, RFID) 技术标准 (如 ISO/IEC 14443) 中采用。

蓝牙是一种支持设备短距离通信 (一般 10m 内) 的无线电技术，能在移动电话，笔记本电脑等设备与相关的外部设备之间进行无线信息交换。

蓝牙 (Bluetooth) 2 在低数据速率 (2 Mb/s) 时使用 \(\pi/4\) 相移 DQPSK, 在高数据速率 (3Mb/s) 时采用 8DPSK。蓝牙 1 的调制采用将在第 8 章讲述的高斯最小频移键控 (GMSK)。

注意：8PSK 在各种标准中较少应用，因为其误码率接近 16QAM, 但是其数据速率仅有 16QAM 的 3/4。8QAM 因为实现较困难，所以在各种标准中，八进制用得较少，多从四进制直接跳用 16QAM。

思考题

7-1 什么是数字调制？它与模拟调制相比有哪些异同点？

7-2 数字调制的基本方式有哪些？其时间波形上各有什么特点？

7-3 什么是振幅键控？OOK 信号的产生和解调方法有哪些？

7-4 2ASK 信号传输带宽与波特率或基带信号的带宽有什么关系？

7-5 什么是频移键控？2FSK 信号产生和解调方法有哪些？

7-6 2FSK 信号相邻码元的相位是否连续变化与其产生方法有何关系？

7-7 相位不连续 2FSK 信号的传输带宽与波特率或基带信号的带宽有什么关系？

7-8 什么是绝对相移？什么是相对相移？它们有何区别？

7-9 2PSK 信号和 2DPSK 信号可以用哪些方法产生和解调？

7-10 2PSK 信号和 2DPSK 信号的功率谱及传输带宽有何特点？它们与 OOK 的有何异同？

7-11 二进制数字调制系统的误码率与哪些因素有关？

7-12 试比较 OOK 系统、2FSK 系统、2PSK 系统和 2DPSK 系统的抗噪声性能。

7-13 2FSK 与 2ASK 相比有哪些优势？

7-14 2PSK 与 2ASK 和 2FSK 相比有哪些优势？

7-15 2DPSK 与 2PSK 相比有哪些优势？

7-16 何谓多进制数字调制？与二进制数字调制相比较，多进制数字调制有哪些优缺点？

第 7 章 数字带通传输系统

习题

7-1 设发送的二进制信息序列为 1011001，码元速率为 2000Baud，载波信号为 \(\sin(8\pi \times 10^{3}t)\) 。试确定：

7-2 设某 2FSK 调制系统的码元速率为 \(2000\mathrm{Baud}\) ，已调信号的载频分别为 \(6000\mathrm{Hz}\) （对应 “1” 码）和 \(4000\mathrm{Hz}\) （对应 “0” 码）。

7-3 设二进制信息为 0101，采用 2FSK 系统传输的码元速率为 \(1200\mathrm{Baud}\) ，已调信号的载频分别为 \(4800\mathrm{Hz}\) （对应 “1” 码）和 \(2400\mathrm{Hz}\) （对应 “0” 码）。

7-4 设某 2PSK 传输系统的码元速率为 1200Baud, 载波频率为 \(2400\mathrm{Hz}\) , 发送数字信息为 010110。

7-5 设发送的绝对码序列为 011010，采用 2DPSK 系统传输的码元速率为 1200Baud，载频为 \(1800\mathrm{Hz}\) ，并定义 \(\Delta \varphi\) 为后一码元起始相位和前一码元结束相位之差。试画出：

7-6 对 OOK 信号进行相干接收，已知发送 “1” 和 “0” 符号的概率分别为 \(P\) 和 1-P，接收端解调器输入信号振幅为 \(a\) ，窄带高斯噪声方差为 \(\sigma_{\mathrm{n}}^{2}\) 。试确定：

7-7 在 OOK 系统中，设发射信号振幅 \(A\) 为 \(5\mathrm{V}\) ，接收端带通滤波器输出噪声功率 \(\sigma_{\mathrm{n}}^{2} = 3\times 10^{-12}\mathrm{W}\) ，若要求系统误码率 \(P_{e} = 10^{-4}\) 。试求：

7-8 若采用 2FSK 方式传输二进制信息，其他条件与习题 7-7 相同。试求：

7-9 设二进制调制系统的码元速率 \(R_{\mathrm{B}} = 2 \times 10^{6} \mathrm{~Baud}\) ，信道加性高斯白噪声的单边功率谱密度 \(n_{0}=4\times10^{-15}W/Hz\) ，接收端解调器输入信号的峰值振幅 \(a=800\mu V\) 。试计算和比较：

习题

7-10 在二进制数字调制系统中，已知码元速率 \(R_{\mathrm{B}} = 10^{6}\mathrm{Baud}\) ，信道白噪声的单边功率谱密度 \(n_0 = 4\times 10^{-16}\mathrm{W / Hz}\) ，若要求系统的误码率 \(P_{e}\leqslant 10^{-4}\) ，试求：

	10	11	00	01
$\varphi/(^\circ)$	180	270	90	0
$\Delta\varphi/(^\circ)$	180	270	90	0

7-14 设发送的二进制信息为 10110001，试按下表所示的 \(B\) 方式编码规则，画出 QDPSK 信号波形示意图。

	10	11	00	01
$\Delta \varphi /\left( ^{\circ}\right)$	225	315	135	45

7-15 在四进制数字相位调制系统中，已知解调器输入端信噪比 \(r = 20\) ，试求 QPSK 和 QDPSK 方式系统误码率。

7-16 已知 2PSK 系统的传输速率为 2400 b/s, 试确定:

7-17 设某 MPSK 系统的比特率为 \(4800\mathrm{b / s}\) ，并设基带信号采用 \(\alpha = 1\) 余弦滚降滤波预处理。试问：

参考文献

第 7 章 数字带通传输系统

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